专题02 相似三角形的判定（4大基础题型+1大提升题型）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题02 相似三角形的判定 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 三边对应成比例，两三角形相似............................................... 1 题型2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似......................................... 6 题型3 两角对应相等，两三角形相似 12 题型4 选择或填充条件使两个三角形相似 16 【优选提升题】 23 题型1 相似三角形判定综合 23 【经典基础题】 题型1 三边对应成比例，两三角形相似 1．如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 2．如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 3．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 4．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 5．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 6．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 题型2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 1．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，．进而得出，再根据相似三角形的判定方法即可得出． 【详解】证明， ． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 3．如图，在中，点、在边上，连接、，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 4．如图，在中，分别在边上，连接．若是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似． 利用题目条件得到，，可证明． 【详解】证明：是的中点，， ， ， ． ， ． 5．如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 6．如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 7．如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 8．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 9．如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质， 先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线， ∴和都是等腰直角三角形，     ∴，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 题型3 两角对应相等，两三角形相似 1．如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义，先根据正方形的性质得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定．利用平行线的性质求得，再利用相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，，，是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得，从而可得出，又，得出，即可证明． 【详解】证明： ，， ． 即． ， ． ． ， ． 4．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键． 由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又，   ，         ， ， ． 5．如图，在平行四边形中，点为边上一点，连结，点为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定．根据平行四边形的性质，得到，得到，，根据，，推出，即可得证． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 6．已知，如图所示，在中，点D在边上，点E在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定．由等角的补角相等得到，再由公共角即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质可，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴ ∴． 题型4 选择或填充条件使两个三角形相似 1．如图，线段，交于点O，连结，，现要添加一个条件，使∽，下列添加不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A：∵， ∴，， ∴∽，故该选项不合题意； B：∵，， ∴∽，故该选项不合题意； C：∵，， ∴∽，故该选项不合题意； D：，而和不一定相等，不能证明∽， 故该选项符合题意． 故选：D ． 2．如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，关键是对相似三角形判定定理的理解与应用．本题需逐一分析每个选项是否能依据判定定理推出，从而找出无法判定的条件． 【详解】解：选项A、 ， ， 若， 可得，， ， 因此选项A不符合要求；   选项B、若，且， 则（两直线平行，同位角相等）， 此时满足“两边对应成比例且夹角相等”，可判定， 因此选项B不符合要求；   选项C、若，结合产生的内错角、同位角等角度关系， 可推导出另一组角相等，进而通过：两角对应相等判定， 因此选项C不符合要求；   选项D、若，该比例式中对应的角并非与的夹角， （即不满足“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件）， 也无法通过其他相似判定定理推导相似， 因此该条件无法判定， 所以选项D符合要求． 故选：D． 3．如图，，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，不可以证明，故此选项符合题意； D、添加条件，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合得，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，不能证明，本选项符合题意； D、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由图可知：， A、 ，不能判定与相似，故该选项符合题意； B、 根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； C、 即，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故该选项不符合题意； D、根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．如图，在和中，，若添加一个条件，使得 ，则下列条件中不符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、 ，， ，故该选项不符合题意； B、 ，， ，故该选项不符合题意； C、 ，， ，故该选项不符合题意； D、与，与不是对应边，无法判断，故该选项符合题意． 故选：D． 7．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 8．如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，不能判定，故A不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故B不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故C不符合题意； ∵， ∴， 再结合，能判定，故D符合题意； 故选：D． 【优选提升题】 题型1 相似三角形判定综合 1．如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：A：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； B：∵，对应边， 即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故该选项符合题意； C：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； D：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意． 故选：B． 2．如图，在中，F为延长线上一点，则图中相似三角形有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 3．中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F． (1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______； (2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：； (3)若，试探究，的数量关系． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据证明，得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）分点D在上和点D在延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识求解即可． 【详解】（1）解∶ 连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点E是的中点，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）证明 ∶连接， ∵，，点D是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解∶当点D在上时，如图，过D作交于G， ∴， ∴，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，，的数量关系是． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 4．如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．如图，点是等边三角形的边上的一点，下面四个选项中的条件不能判定与相似的是（   ） A． B．， C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A选项：∵， ， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． B选项：∵， ∴，， ∴ ， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． C选项：当时，无法得到的度数，故无法判定与相似， ∴本选项不能判定与相似，符合题意． D选项：∵， ∴， ∴本选项能判定与相似，不符合题意． 故选：C ． 6．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，，和相似，共6个． 故答案为：6． 7．在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 8．如图将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点，连结、、． (1)求证：； (2)如图，擦去折痕、线段，连结动点在线段上（点M与点P、A不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点探究：当点M、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，矩形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的折叠与性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可知得到，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）作交于Q，根据等角对等边，得，再见由等腰三角形的性质得，然后证明，得，得出，最后由求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ． 由折叠可得：， ． ， ∽； （2）解：作，交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 9．如图，在正方形中，，．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设，，则，，利用勾股定理解决问题即可； （2）证明，利用两边成比例夹角相等，证明三角形相似． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 设，， ，， ，，， ； （2）， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02相似三角形的判定 【题型导航】 【经典基础题】 题型1三边对应成比例，两三角形相似， ..1 题型2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 3 题型3两角对应相等，两三角形相似.… 6 题型4选择或填充条件使两个三角形相似 ..8 【优选提升题】 10 题型1相似三角形判定综合 .10 【经典基础题】 题型1三边对应成比例，两三角形相似 1,如图，在4×4的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是() A C. 0 2.如图，下列阴影部分的三角形与△ABC(顶点均在正方形网格格点上)相似的是() B 1/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3,如图，选项中的阴影三角形与△ABC相似的为() D 4,一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条 为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是() A,15厘米、18厘米 B,20厘米、24厘米 C,25厘米、50厘米 D,36厘米、60厘米 5,如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A,B,C三点均在格点上 B (山分别球是与脂的值。 (2)在网格中画△ABE,使A,B,E三点组成的三角形与△ABC相似.（只需画出一个） 6.如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空：∠BAC=,EF= (2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论， 2/13 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 题型2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 1.如图，已知LB=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25. (1)求CE的长； (2)求证：△ABC△DEF. 2.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，BE=4,EC=12,CF=3.求证：△ABE~△ECF. D B E 3,如图，在△PAD中，点C、B在AD边上，连接PC、PB,△PCB是等边三角形，且AC=1,CB=2,BD=4 ·求证：△ACP~△PBD. 3/13 而学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 4.如图，在△ABC中，D,E分别在边AB,AC上，连接DE.若D是AB的中点，AB=6,AE=2,AC=9.求证： △ADE~△ACB, 5.如图，△ABC中，点D在AB上，连接CD.己知AC=3Cm,AD=2cm,BD=cm,求证△ACD~△ABC B 6.如图，在△ABC与△DBE中，∠ABD=∠CBE,BD·BC=BA·BE,求证：∠A=∠D 4/13 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 7.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD,CD上，连接BE和EF,AB=9,AE=3,DF=2.求证： △ABE-△DEF. A B E 8.如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD,AC=4,AD=2,BD=6,求证：△ACD一△ABC. B D 9.如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,连接AC、DG, 求证：△AFC一△AGD. D G 5/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. 小星：若∠ACP=∠B,则可证： 小红：若长治则可证： 小亮：若品瓷测可证： △ACP∽△ABC △ACP∽△ABC △ACP∽△ABC (1)请判断三人的对错：小星，小红 ,小亮 (填“对”"错”) (2)选择一种正确的方法求证：△ACP一△ABC. 题型3两角对应相等，两三角形相似 1.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且AE⊥EF,求证：△ABE一△ECF, 2.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，连接EF,过点B作BG⊥EF于点G,FHCD交AD 于点H,求证：△BGF一△FHE. H 6/13 命学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC=135°.求证： △CPA~△APB. 4,如图，AC为□ABCD的对角线，若点E、F分别是CD、BC边上的点，连接AE,AF,若∠EAF=∠CAB, AC=BC.求证：△ABF~△ACE. D 5.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE,点F为线段DE上一点，且LAFE=∠B.求 证：△ADF一△DEC. A D B E 6,已知，如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC=∠ADB,求证△AED一△ADC 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B 7.如图，在平行四边形ABCD中，点M为BC边上一点，连接DM,点N为线段DM上一点，且∠ANM=∠B. 求证：△ADN一△DMC, M 题型4选择或填充条件使两个三角形相似 1.如图，线段AC,BD交于点O,连结AB,CD,现要添加一个条件，使△AOB~△COD,下列添加不正确 的是() B A.AB II DC B.∠A=∠C c.%-8 0.得-8 2.如图，在五边形ABCDE中，AEI‖BC,延长BA,BC分别交直线DE与点M,N.若添加一个条件后，仍无 法判定△MAE一△DCN,则这个条件是() M E 2 ®.2总=8 AM ME A,∠B+∠4=180 C.21=24 D.CD=DN 3,如图，∠1=∠2，下列条件不能判定△ADE一△ABC的是() 8/13 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D B A.∠B=∠D B.∠C=∠E c能=船 D.24c AD AE 4.如图，在△ABC与△ADE中，∠C=∠E,添加下列条件，不能得到△ABC与△ADE相似的是() E A.∠B=∠D B.∠BAD=∠CAE c8-船 0能-脂 5,如图，线段AC与BD相交于点O,补充下列一个条件后，仍不能判定△AOB和△DOC相似的是() D A品-器 B.∠B=∠C C.OA·OC=OD.OB D.∠A=∠D 6.如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠ACB=∠A'CB=90°，若添加一个条件，使得Rt△ABC一Rt△A' BC,则下列条件中不符合要求的是() B D A AA=AB.既=9 0是=品 7.如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：①LAPB=∠EPC;② AB·PC=EC·BP;③P为BC的中点；④PB:BC=23,其中能得到△ABP与△ECP相似的是( ) 9/13 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D E B P A.①②③④B.①③④ c.①②④ D.②③ 8.如图，点D,E分别在AB,AC边上，下列条件中能判定△ADE一△ACB的是() y E A.AD·AE=AB·AC B.DB·BC=AB·AD C.DB·BC=AE·AC D.AD·AB=AE·AC 【优选提升题】 题型1相似三角形判定综合 1.如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,BC=8,AC=4.沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似 的是() 6 4 B P B B. X2 3 C. B C D. B3 2.如图，在口ABCD中，F为BC延长线上一点，则图中相似三角形有() 10/13