专题02 解直角三角形及应用（5大基础题型+1大提升题型）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题02 解直角三角形及应用 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 解直角三角形的相关计算 1 题型2 解直角三角形的应用-坡度坡角 7 题型3 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 10 题型4 解直角三角形的应用-方位角 13 题型5 解直角三角形的应用-其他问题 13 【优选提升题】 16 题型1 解非直角三角形 16 【经典基础题】 题型1 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线、交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线相交于点，且，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 6．如图，在中，，是高．若，则 = ． 7．如图，在中，分别为的对边，，解这个直角三角形． 8．如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 9．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 题型2 解直角三角形的应用-坡度坡角 1．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了，此时小球距离桌面的高度为，则这个斜坡的坡度为（   ） A．2 B． C． D． 2．2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若 米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为 ． 4．如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 5．一电线杆用拉绳固定，点在斜坡的顶端，斜坡，坡比为，测得拉绳与水平线的夹角，求电线杆的高．（参考数据：，，，结果保留） 6．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 7．某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明    说明：测量仪、居民棱．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼（）处的斜坡上的点D处放置测角仪，测得居民楼楼顶A的仰角为，斜坡的坡度，， 参考数据 ，， 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度． 8．如图，在大楼的正前方有一斜坡长为13米，坡度为，高为．在斜坡底的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为，其中点在同一直线上，求大楼的高度．（参考数据：） 9．如图是某学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成角的楼梯和一段水平天台构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度为9.6米，与地面垂直的平台立柱的高度为6米，整个楼梯的水平跨度为16米． (1)求楼梯的长度； (2)求水平天台的长度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 题型3 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 1．如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 3．如图，老师带领数学小组测量河里面一颗大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 4．如图，在建筑物前面的平地上取点C，测得建筑物顶端的仰角为，从C点沿方向走100米到D点（C，D，B在同一直线上），测得建筑物顶端的仰角为，则的高度为 米． 5．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米． 6．某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（结果保留根号） 7．某市为避免施工路段交通事故的发生，交警队在主要路口设立交通警示牌．如图所示，警示牌地面，从处测得警示牌顶端的仰角，测得警示牌底端的仰角，且米．（参考数据：，，，，，） (1)求警示牌顶端距地面的高度（的长）； (2)由于气象台预报12级台风即将登陆该市区，为固定警示牌的牌面，需要从点，处分别拉一根钢丝绳固定在点处，已知相关部门准备了6米长的钢丝绳，请通过计算判断准备的钢丝绳是否够用． 8．如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离为米，小普在甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角为． (1)问：甲楼比乙楼高多少米？ (2)如果小普在两幢大楼之间的点处（点在同一条直线上），分别测得甲楼顶部处的仰角为，乙楼顶部处的仰角为，求甲楼的高度． （参考数据：，） 9．在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高度，同学们设计了两个测量方案，如下： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 测角仪、皮尺及两根的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 为建筑物旁边的小楼 C，E，B在同一直线上，，为直立于地面的标杆 测量数据 从点D处测得A点的仰角为35°，． 从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，． (1)根据以上数据请你判断，第_________小组无法测量出建筑物的高度； (2)请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 题型4 解直角三角形的应用-方位角 1．如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 3．如图，某活动小组为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳处测得古亭位于北偏东方向，他们向南走50m到达点，测得古亭位于北偏东方向．古亭与古柳之间的距离约为 m（结果精确到1m，参考数据：）． 4．一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为 米（结果保留根号）． 5．为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向．（参考数据：，） (1)求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②．已知甲班的步行速度为千米/小时，且在途经点B处休息了1小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．（结果精确到） 6.为了满足市民健身需求，万州区市政部门在望江公园内沿江边修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向．（参考数据： (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小花准备从点跑步到点去见小华，小花决定选择一条较短线路，请计算说明小花应选择路线，还是路线？ 7．如图是一块四边形的荷花池，顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向，点位于点的北偏东方向，点位于点的北偏西方向，测得米． (1)求荷花池边的长．（结果保留整数） (2)小渝和小北同时从出发前往，小渝以50米/分的速度沿走，小北以40米/分的速度沿走，请通过计算说明谁先到达点． 参考数据：，，，，． 8．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 题型5 解直角三角形的应用-其他问题 1．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（    ） A． B． C． D． 2．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A．2.1 B．1.9 C．1.8 D．1.6 3．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 4．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，一架云梯斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，此时云梯与地面之间形成的为．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，此时，为．求云梯底端在水平方向滑动的距离．（参考数据：，，，，，） 6．图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度． (1)当时，求到的距离． (2)若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？ 7．圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 8．如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） (1)求此时该展板点B到地面的距离； (2)该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【优选提升题】 题型1 解非直角三角形 1．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 2．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 4．根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时是45°，长为20cm．（参考数据：，，，，结果精确到1cm） （1）求固定点到窗框的距离； （2）若测得，求的长度． 5．如图，是切线，是直径，交于，连接并延长交于，． （1）证明：； （2）连接交于，，求． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形及应用 【题型导航】 【经典基础题】 1 题型1 解直角三角形的相关计算 1 题型2 解直角三角形的应用-坡度坡角 16 题型3 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 25 题型4 解直角三角形的应用-方位角 34 题型5 解直角三角形的应用-其他问题 34 【优选提升题】 42 题型1 解非直角三角形 42 【经典基础题】 题型1 解直角三角形的相关计算 1．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，，故该选项不符合题意； B、在中，，故该选项符合题意； C、在中，，故该选项不符合题意； D、在中，，故该选项不符合题意； 故选：B 2．如图，菱形的对角线、交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，特殊角的三角比等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活应用． 利用菱形对角线的性质得出的度数，再利用特殊角的三角比求出长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 故选：B． 3．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形，旋转的性质 ；根据旋转的性质得到，，得到，即可求出． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴ 米； 故选：B． 4．如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则下列三角函数值错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义及其增减性，计算时要将锐角置于直角三角形中并要充分利用格点． 根据锐角三角函数的定义，将放在直角三角形中，分别计算，可判断A、B、C，再根据锐角正切函数的增减性可判断D． 【详解】解：如图，过点A作于． 在中，， ， ，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意； ， ，故D错误，符合题意； 故选：D． 5．如图，矩形的对角线相交于点，且，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质，解直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的对角线相等且互相平分可得，根据，，则把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴． ∴ 解得 故选：A． 6．如图，在中，，是高．若，则 = ． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据锐角三角函数的计算得到，则，，由此即可求解． 【详解】解：在中，，是高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 7．如图，在中，分别为的对边，，解这个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形．根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可求解． 【详解】解：∵， ． 即． 8．如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题关键． （1）根据在中，即可求解； （2）根据在中，求得，通过特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ． （2）解：在中，， ． 9．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据题意得出，进一步得出，再由点F在的垂直平分线上得出，据此求出的度数即可解决问题． （2）由的长得出的长，再进一步求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， 点F在BC的垂直平分线上， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：，， 在中， 在中， ． 题型2 解直角三角形的应用-坡度坡角 1．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了，此时小球距离桌面的高度为，则这个斜坡的坡度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理． 过B作，由题意得，，再由勾股定理求出的长度，然后由坡度的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，过B作， 由题意得：，， ∴， ∴这个斜坡的坡度． 故选：D． 2．2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若 米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 3．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的应用．过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足分别为、， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：8． 4．如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． 5．一电线杆用拉绳固定，点在斜坡的顶端，斜坡，坡比为，测得拉绳与水平线的夹角，求电线杆的高．（参考数据：，，，结果保留） 【答案】电线杆的高约是 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作于点，于点，由坡比可得，设，，在中，由勾股定理可求的值，继而可得，，的长，在中，利用解直角三角形，，即可解答． 【详解】解：过点作于点，于点，如图． 斜坡的坡比为， ． 设，， ， 解得， ，． 在中， ， ． ． 答：电线杆的高约是． 6．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 7．某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明    说明：测量仪、居民棱．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼（）处的斜坡上的点D处放置测角仪，测得居民楼楼顶A的仰角为，斜坡的坡度，， 参考数据 ，， 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，根据斜坡的坡度，可得，，从而得到．在中，根据锐角三角函数可得，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，    ，． ∵，坡度， ∴，， ． ， ． 在中，， 即 ，则， ， 该居民楼的高度为． 8．如图，在大楼的正前方有一斜坡长为13米，坡度为，高为．在斜坡底的点处测得楼顶的仰角为，在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为，其中点在同一直线上，求大楼的高度．（参考数据：） 【答案】大楼的高度为34米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度及仰俯角，灵活运用相关知识是解题关键．根据坡度比设设，，利用勾股定理，求出，进而得到，，过点作于点，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，进而表示出，再利用锐角三角函数，得出，然后利用，即可求出的长． 【详解】解：坡度为， ， 设，， 由勾股定理得：， ， ，， 如图，过点作于点， ∵， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ， 即大楼的高度为34米． 9．如图是某学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成角的楼梯和一段水平天台构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度为9.6米，与地面垂直的平台立柱的高度为6米，整个楼梯的水平跨度为16米． (1)求楼梯的长度； (2)求水平天台的长度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10 (2)3 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于F，根据正弦的定义求出； （2）延长交于G，根据正切的定义分别求出，计算即可． 【详解】（1） 解：如图，过点D作于F， 则米， 在中，，米， , （米）， 答：楼梯的长度约为10米； （2）解；如图，延长交于G， 则米，（米）， 在中，， 则（米）， 在中，米， 则（米）， （米）， 所以水平天台的长度约为3米， 故答案为：3． 题型3 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 1．如图．是地平线上的一点，小明在点的正上方飞无人机，他将无人机升高，此时无人机测得点的俯角为．若点，，在同一平面内，则点，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正切的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 即点A，B之间的距离为． 故选：D． 2．如图，从点观测点的仰角是，则在点观测点的俯角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，以及仰角俯角的定义，根据“两直线平行，内错角相等”可得结论． 【详解】解：如图，是水平线，由题意得， ∴， ∴ ∵ ∴即在点观测点的俯角是， 故选：A． 3．如图，老师带领数学小组测量河里面一颗大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定及解分式方程，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据题意可得，，，，，根据，得出是等腰直角三角形，设，根据的正切函数可得，解方程求出的值，根据即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意得：，，，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 故选：A． 4．如图，在建筑物前面的平地上取点C，测得建筑物顶端的仰角为，从C点沿方向走100米到D点（C，D，B在同一直线上），测得建筑物顶端的仰角为，则的高度为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角函数可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， 解得：； 故答案为． 5．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．过点作于点，分别解和，求得和，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意，，，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， 故答案为：． 6．某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．要测量学校一幢教学楼的高度如图所示，他们先在点测得教学楼的顶部的仰角为，然后向教学楼前进米到达点，又测得点的仰角为．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边及，构造方程关系式，进而即可求出答案． 【详解】解：由已知，可得：，， 在中，． 又在中， ∴ ∵ ∴ ∵ 7．某市为避免施工路段交通事故的发生，交警队在主要路口设立交通警示牌．如图所示，警示牌地面，从处测得警示牌顶端的仰角，测得警示牌底端的仰角，且米．（参考数据：，，，，，） (1)求警示牌顶端距地面的高度（的长）； (2)由于气象台预报12级台风即将登陆该市区，为固定警示牌的牌面，需要从点，处分别拉一根钢丝绳固定在点处，已知相关部门准备了6米长的钢丝绳，请通过计算判断准备的钢丝绳是否够用． 【答案】(1)警示牌顶端距地面的高度为米 (2)准备的钢丝绳够用 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先解求出的长，再解求出的长即可得到答案； （2）先解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：， ． 在中，米， 在中，米． 答：警示牌顶端距地面的高度为米； （2）解：在中，米． 在中，米， （米）． ， 准备的钢丝绳够用． 8．如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离为米，小普在甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角为． (1)问：甲楼比乙楼高多少米？ (2)如果小普在两幢大楼之间的点处（点在同一条直线上），分别测得甲楼顶部处的仰角为，乙楼顶部处的仰角为，求甲楼的高度． （参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）过点作于，则米，，再解求出即可求解； （）设米，则米，分别解和，得，，进而得到，解方程求出的值即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则米，， 由题意得，， 在中，， ∴米， ∴甲楼比乙楼高米； （2）解：设米，则米， 由题意得，，， 在中，， ∴米， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：甲楼的高度为米． 9．在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高度，同学们设计了两个测量方案，如下： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 测角仪、皮尺及两根的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 为建筑物旁边的小楼 C，E，B在同一直线上，，为直立于地面的标杆 测量数据 从点D处测得A点的仰角为35°，． 从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，． (1)根据以上数据请你判断，第_________小组无法测量出建筑物的高度； (2)请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题中的仰角问题、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角的定义，根据锐角三角函数解决实际问题． （1）根据第一组没有测量的长度，即可解答； （2）根据第二组的测量数据，延长交于点G，可得是等腰直角三角形，得，在中，由锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：∵第一组没有测量的长度， ∴第一组无法测量出建筑物的高度， 故答案为：一； （2）解：根据第二组的测量数据，如图，延长交于点G， 由题意可得：，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，，即， ∴， 经检验，是所列分式方程的解， 则， ∴． 题型4 解直角三角形的应用-方位角 1．如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，含角直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 过点C作于点E，根据，得出，求出，得出，根据三角函数求出． 【详解】解：过点C作于点E，如图所示： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 2．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 3．如图，某活动小组为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳处测得古亭位于北偏东方向，他们向南走50m到达点，测得古亭位于北偏东方向．古亭与古柳之间的距离约为 m（结果精确到1m，参考数据：）． 【答案】137 【分析】过点作的垂线，交延长线于点．设，则，在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义也表示出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交延长线于点． 由题意得，． 设，则． 在中，． 在中，，， 则， 解得，则（m）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，米， 在中，米， 故答案为：． 5．为了锻炼学生的身体素质和意志品质，某校组织学生野外徒步训练，现有两条线路供大家选择，如图：①；②．经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向．（参考数据：，） (1)求A，B两地之间的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙两班同时从A地出发，分别选择徒步线路①和线路②．已知甲班的步行速度为千米/小时，且在途经点B处休息了1小时；乙班的步行速度为3千米/小时，且在途经点C处休息了50分钟，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处．（结果精确到） 【答案】(1) (2)甲班先到 【分析】（1）过点C作于点F，过点D作于点E，根据特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，解直角三角形即可； （2）分别求出两个班用的时间，比较后即可得到结论． 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数是关键． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点D作于点E， ∵点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，且千米，点D在点C南偏东方向． ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据（1），得， 甲选择①，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 乙选择②，路程距离之和为, 运动需要时间：， 总时间为：； 故甲先到达． 6.为了满足市民健身需求，万州区市政部门在望江公园内沿江边修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向米处，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向．（参考数据： (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小花准备从点跑步到点去见小华，小花决定选择一条较短线路，请计算说明小花应选择路线，还是路线？ 【答案】(1)米 (2)选择路线，理由见解析 【分析】本题考查方位角问题，解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出，再根据正弦的定义即可求出； （2）先根据余弦的定义求得，进而求得，再根据正切的定义求出，进而可求出，分别求出路线、路线的距离，比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 由题意得，，米， 在中， （米）， 由题意得， ， 在中， （米）； ∴的长度为490米． （2）解：，， 为等腰直角三角形， 米， 在中， 米， 米， 由题意得，， ∵点在点的正南方，点在点的正东方， ， 在中， 米， 则米， 路线的长为：（米）， 的长为：（米）， ， 小花应选择路线比较． 7．如图是一块四边形的荷花池，顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向，点位于点的北偏东方向，点位于点的北偏西方向，测得米． (1)求荷花池边的长．（结果保留整数） (2)小渝和小北同时从出发前往，小渝以50米/分的速度沿走，小北以40米/分的速度沿走，请通过计算说明谁先到达点． 参考数据：，，，，． 【答案】(1)荷花池边的长约为米； (2)小渝先到达点． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，根据矩形的性质、解直角三角形，求出、，根据计算结果即可； （2）在中，利用勾股定理求得的长，再利用路程、速度和时间的关系求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，    又∵顶点位于点的正北方向，点位于点的正东方向， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米），， ∵在中，，（米）． ∴米，（米）， ∴（米），（米）， ∵，在中，， ∴， ∴（米）， 答：荷花池边的长约为米； （2）解：在中，米，（米）， ∴（米）， 小渝走的路程为（米），时间为（分）， 小北走的路程为（米），时间为（分）， ， 答：小渝先到达点． 8．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)海里 (2)有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， （海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； （2）解：有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险． 题型5 解直角三角形的应用-其他问题 1．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数及解直角三角形的实际应用，关键是在直角三角形中使用恰当的三角函数解题；在直角三角形中，利用余弦求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 2．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A．2.1 B．1.9 C．1.8 D．1.6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案． 【详解】解：过点作于点． ∵ ，， ∴ 是直角三角形，． 在中，，， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 3．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点C，解三角形求出的长度，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点A作于点C， 在中， ∴车门边缘的点A处与墙的距离为． 故选：A． 4．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 故选D． 5．如图，一架云梯斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，此时云梯与地面之间形成的为．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，此时，为．求云梯底端在水平方向滑动的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形；设，则，利用锐角三角函数表示出、，利用建立方程求出x，再利用锐角三角函数求出、，最后利用即可求出. 【详解】解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 即云梯底端在水平方向滑动的距离为． 6．图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度． (1)当时，求到的距离． (2)若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？ 【答案】(1) (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，过点作于点，运用等腰三角形的性质，得，再列式计算，求出的长度， （2）与（1）同理得，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：连接，过点作于点， ， ，， ， ， 即到的距离为； （2）解：连接，过点作于点， ， ∵，的最大张角为75度． 此时，， 在中，， ∴， 则， ∴此时能用取碗夹夹起这个盘子． 7．圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 【答案】9米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．设，根据三角函数求出的值，再得出的长． 【详解】解：设， ∵， ∴（）， 在中，， ∴（）， 在中，'， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴（）， 答：损坏的“表”原来的高度（即的长）约为米． 8．如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） (1)求此时该展板点B到地面的距离； (2)该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）分和两种情况，用对应角度的三角函数求的竖直高度，结合B到地面的距离算出A的高度，作差得增加了． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； （2）解：最高点A到地面的高度为， 当时，， 在中， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 同理得， ∴， ∴． 故当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了． 【优选提升题】 题型1 解非直角三角形 1．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 2．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点． （1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； （2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值； （3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论； （2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案； （3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则（）， ∵，， 同（1）得：， ∴， 在中，， 过作于，如图2所示： 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点作于，如图3所示： ∵， ∴设，则（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。 4．根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时是45°，长为20cm．（参考数据：，，，，结果精确到1cm） （1）求固定点到窗框的距离； （2）若测得，求的长度． 【答案】（1）14cm；（2）23cm． 【分析】（1）过作于，解直角三角形ABD即可； （2）根据（1）中AD的长，解直角三角形ADO即可． 【详解】解：（1）过作于， 则的长就是到的距离， 在中， ∵， ，， ∴， 即， ∴cm． （2）∵， 在中， ∵， ，， ∴， 即， ∴cm． 【点睛】本题考查了作高构造直角三角形，并解直角三角形，熟练掌握构造高线构造直角三角形，并灵活求解是解题的关键． 5．如图，是切线，是直径，交于，连接并延长交于，． （1）证明：； （2）连接交于，，求． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接，由切线的性质及切线长定理解得，设，根据题意，由邻补角和为180°列方程解得，继而得到，最后由同位角相等，两直线平行解题即可； （2）连接、，过E点作EM⊥CD，垂足为M，易求，，，过E点作EP⊥AC，过H点作HN⊥AC，先求出，再解三角形求出，，进而求出，即可得． 【详解】解：（1）设，则， 是切线， 又 ； （2）连接、，过E点作EM⊥CD，垂足为M， ∵是切线，，易得△ADC为等边三角形， ∴，， 易证， ∴， 由AB是直径，∠AEB=60°，易得AE=2GE=2， ∴， 过E点作EM⊥CD，垂足为M， 由∠EDM=60°，ED=1，易求、， ∴、， ∴， ∵是切线，易得∠HAC=∠ECD， ∴， 过E点作EP⊥AC，过H点作HN⊥AC， 在Rt△APE中，AE=2，∠PAE=30°，易求AP=1，， ∴CP=2，， ∴， 又∵， 设，则，， 由AC=3，可得，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线长定理、切线的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、解三角形等知识，是重要考点，难度较难，利用30°直角三角形性质和勾股定理求线段长，再构造直角三角形解三角形是解题关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $