10.2.1 实数及其分类 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第10章 数的开方 10.2.1实数及其分类 1．掌握实数的概念，并且学会根据要求对实数进行分类； 2．掌握实数范围内相关概念的意义； 3、掌握数轴与实数的一一对应关系，能用数轴上的点表示无理数； # 幻灯片分页内容：10.2.1 实数及其分类 ## 第1页：课题引入——数的范围再拓展 - 情境展示： - 问题1：我们已经学过哪些数？（有理数：整数、分数，可化为有限小数或无限循环小数）； - 问题2：边长为1的正方形，对角线的长度是多少？（设对角线为x，由勾股定理得x²=2，引导学生思考√2是什么数）； - 问题3：√2是有理数吗？（√2≈1.41421356…，是无限不循环小数，不是有理数）。 - 提问引导： - 像√2这样的无限不循环小数，我们把它归为哪一类数？ - 有理数和这样的数统称为什么数？ - 课题：今天我们学习——实数及其分类（板书课题），拓展数的范围，认识实数的定义、分类和相关性质。 ## 第2页：核心概念1——无理数的定义 - 无理数的定义： - 无限不循环小数叫做无理数（“无理”即“无限不循环”）。 - 关键词解析： - 无限：小数部分的位数是无限的； - 不循环：小数部分没有固定的循环节。 - 常见无理数类型： 1. 开方开不尽的数（如√2、√3、√5、∛7等）； 2. 含π的数（如π、2π、π/3等，π≈3.1415926…是无限不循环小数）； 3. 有规律但不循环的无限小数（如0.1010010001…，每两个1之间依次多一个0）。 - 易错提醒： - 无限循环小数是有理数（如1/3=0.333…），不是无理数； - 带根号的数不一定是无理数（如√4=2、∛8=2，是有理数）。 ## 第3页：核心概念2——实数的定义与分类 - 实数的定义： - 有理数和无理数统称为实数（即实数=有理数+无理数）。 - 分类方法1：按定义分类 - 实数分为有理数和无理数； - 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数），可化为有限小数或无限循环小数； - 无理数：无限不循环小数。 - 分类方法2：按性质（符号）分类 - 实数分为正实数、0、负实数； - 正实数：正有理数（正整数、正分数）、正无理数（如√2、π）； - 负实数：负有理数（负整数、负分数）、负无理数（如-√3、-π）。 - 图示分类： - 画出实数分类树状图（实数→有理数/无理数；实数→正实数/0/负实数），直观呈现分类逻辑。 ## 第4页：实数与数轴的关系 - 核心结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数（即实数与数轴上的点一一对应）。 - 具体说明： - 有理数在数轴上的表示（整数、分数对应的点）； - 无理数在数轴上的表示（以√2为例：画边长为1的正方形，以其对角线为半径，从原点出发画弧，与数轴正半轴的交点即为表示√2的点）。 - 意义： - 数轴上的点不再只对应有理数，而是覆盖了所有实数，数轴成为表示实数的直观工具； - 实数的大小关系可以通过数轴上点的位置关系来判断（数轴上右边的点表示的实数总比左边的大）。 ## 第5页：实数的相关性质（与有理数类比） - 1. 相反数： - 实数a的相反数是-a（与有理数一致）； - 示例：√2的相反数是-√2，-π的相反数是π，0的相反数是0。 - 2. 绝对值： - 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0； - 符号表示：|a| = - a（a>0）， - 0（a=0）， - -a（a<0）； - 示例：|√3|=√3，|-√5|=√5，|π-3|=π-3（∵π≈3.14>3）。 - 3. 倒数： - 非零实数a的倒数是1/a（与有理数一致）； - 示例：2的倒数是1/2，√2的倒数是1/√2（化简为√2/2），-π的倒数是-1/π。 - 强调：实数的相反数、绝对值、倒数的性质与有理数完全相同，可直接类比应用。 ## 第6页：例题解析——实数的识别与分类 - 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是正实数？ - 3.14、π、-√4、√5、1/3、0.1010010001…、-2/7、0 - 解： - 有理数：3.14（有限小数）、-√4=-2（整数）、1/3（无限循环小数）、-2/7（分数）、0； - 无理数：π（无限不循环）、√5（开方不尽）、0.1010010001…（有规律不循环）； - 正实数：3.14、π、√5、1/3、0.1010010001…。 - 例2：求下列实数的相反数、绝对值和倒数（若有）： - （1）√6 解：相反数是-√6，绝对值是√6，倒数是1/√6（或√6/6）； - （2）-√3 解：相反数是√3，绝对值是√3，倒数是-1/√3（或-√3/3）； - （3）0 解：相反数是0，绝对值是0，没有倒数。 ## 第7页：易错点辨析与纠正 - 易错点1：无理数识别错误 - 错误：认为无限小数是无理数（如0.333…是有理数）；认为带根号的数是无理数（如√9=3是有理数）； - 纠正：无理数必须同时满足“无限”和“不循环”，带根号的数需看是否能开尽方。 - 易错点2：实数分类逻辑混乱 - 错误：将实数分为正数、负数（遗漏0）；将无理数归为有理数的一部分； - 纠正：按符号分类需包含0，有理数和无理数是实数的并列子集，无包含关系。 - 易错点3：绝对值计算错误（含无理数） - 错误：|π-4|=π-4（忽略π≈3.14<4）； - 纠正：先判断实数的正负，再计算绝对值，|π-4|=4-π（负数的绝对值是相反数）。 - 易错点4：忽视实数与数轴的一一对应关系 - 错误：认为数轴上的点只能表示有理数； - 纠正：每一个实数都对应数轴上一个点，每一个点都表示一个实数，无理数也能在数轴上表示。 ## 第8页：课堂小结（核心回顾） - 1. 两个核心概念： - 无理数：无限不循环小数（开方不尽的数、含π的数、有规律不循环的数）； - 实数：有理数和无理数的统称。 - 2. 两种分类方法： - 按定义：实数→有理数/无理数； - 按符号：实数→正实数/0/负实数。 - 3. 一个重要关系： - 实数与数轴上的点一一对应。 - 4. 相关性质： - 相反数、绝对值、倒数的性质与有理数一致，可直接类比应用。 ## 第9页：课堂练习（即时巩固） - 1. 填空： - 实数包括______和______； - 无理数的特征是______和______； - √7的相反数是______，绝对值是______，倒数是______； - 数轴上表示-√2的点在原点的______侧（填“左”或“右”）。 - 2. 选择： - （1）下列数中是无理数的是（ ） A. 0.25 B. √3 C. √16 D. 22/7 - （2）下列说法正确的是（ ） A. 实数就是有理数 B. 无理数是无限小数 C. 数轴上的点都表示实数 D. 带根号的数都是无理数 - 3. 解答： - 把下列各数填入相应的集合： -5、√8、3.14、-π、0、1/4、0.121221222… - 有理数集合：{ }； - 无理数集合：{ }； - 负实数集合：{ }。 - 比较√5和2的大小（提示：利用数轴或平方比较，2=√4，∵√5>√4，∴√5>2）。 学习目标 问题1：利用计算器，把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？ 发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 情景导入 思考：除了有限小数和无限循环小数，还有什么类型的数呢？ 做 一 做 （2）利用平方运算验算（1）中所得的结果. （1）用计算器求 ； 用计算器求 ，显示结果为1.414213562.再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.这说明计算器求得的只是2的近似值. 探究新知 用计算机计算 ，你会发现： 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835… 不是一个有理数，它是一个无限不循环小数. 类似地数还有 、圆周率π等，它们都是无限不循环小数. 探究新知 知识点一 无理数的概念 无限不循环的小数叫做无理数. 无理数也像有理数一样广泛存在着. 有理数和无理数统称实数. 你能举几个无理数的例子吗？ 最典型的无理数是π 探究新知 １．圆周率 及一些含有 的数 ２．开方开不尽的数，如： ３．有一定的规律，但不循环的无限小数，如： 无理数的特征 注：含根号的数不一定都是无理数，如 探究新知 判定一个数是不是无理数: (1)是看它是不是无限小数； (2)看它是不是不循环小数； (3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能. 具体从以下几方面来判断: (1)开方开不尽的数是无理数； (2) 是无理数； (3)无理数与有理数的和、差一定是无理数； (4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数. 归纳总结 探究新知 典例精析 【例1】在实数中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：，0，是有理数， 无理数有：，,共2个． 故选：B． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 探究新知 练一练 1．在，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：∵=3， ∴在中，无理数有，，，共3个， 故选：C. 探究新知 讲授新课 知识点二 实数的分类 按概念分类 实数 有理数 分数 整数 正整数 0 负整数 自然数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 有限小数及无限循环小数 无限不循环小数 （1）含π的数； （2）开方开不尽的数； （3）有规律但不循环的无限小数. 探究新知 实数 正实数 0 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 按性质分类 探究新知 讲授新课 典例精析 【例2】下列说法正确的个数是（ ） ①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③无理数与无理数的和一定是无理数；④无理数与有理数的和一定是无理数；⑤是分数；⑥无理数与有理数的积一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 探究新知 知识点三 实数与数轴上点的关系 思考：每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？ 无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ 试 一 试 你能在数轴上找到表示 的点吗？ 探究新知 如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 . 探究新知 这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图所示. 发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 概括 实数与数轴上的点是一一对应的. 探究新知 典例精析 【例3】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB=AE，则点E所表示的数为（    ）      A． B． C． D． 探究新知 知识点四 实数的计算 试一试：（1）分别写出 的相反数； 解： 的相反数是 ；π-3.14的相反数是3.14-π. （2）指出 分别是什么数的相反数. 解： 是 的相反数； 是 的相反数. 探究新知 试一试：（3）求 的绝对值； 解： （4）已知一个数的绝对值是 ，求这个数. 解：绝对值为 的数是 或 . 探究新知 涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行. 试比较 与π的大小. 解：用计算器求得 而π≈3.141592654， 因此 探究新知 1.完成下列表格： 实数 π 相反数 绝对值 ﹣π π 课堂练习 1. 下列各数： ， ， ，， ，其中无理数有( ) C A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. ［2025驻马店模拟］已知下列结论：①在数轴上的点只能 表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③ 实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有 有限个.其中正确的结论是( ) B A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 返回 考试考法 22 3. 若无理数满足，则 可以为 _________________________.（写出两个） 4.如图，数轴上，两点表示的数分别为， ，且 ，则点 所表示的数为_________. ，（答案不唯一） 返回 考试考法 23 5.把下列各数分别填入相应的集合里： ，,,,,,,, （每两个2之间依次增加一个1）,， . 正有理数集合：_____________ ； 负有理数集合：_________________________ ； 正无理数集合： ______________________________________ ______________ ； 负无理数集合：______________ . , , ,, （每两个2之间依次增加一个1）， ，， 返回 考试考法 24 （第6题） 6. 如图，面积为 7的正方形的顶点 在数轴上， 且表示的数为1，若 ，则 数轴上点 所表示的数为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 25 7.下列六个数：，，， ， ， （相邻两个2之间0的个数逐次加1），若 其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为 ， 则 ___. 6 考试考法 26 实数 有理数和无理数统称实数 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 实数与数轴上点的一一对应 实数的性质及运算 性质：实数的相反数、绝对值、倒数运算. 实数的大小比较与运算 在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用． 课堂小结 谢谢观看！ $