精品解析：湖南省衡阳市衡山县衡山三校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年下学期九年级数学 期中检测卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直角三角形的两直角边长分别为和，连接这两边中点的线段长为（ ） A. B. C. D. 4. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则（　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是( ) A. n(n﹣1)＝15 B. n(n+1)＝15 C. n(n﹣1)＝30 D. n(n+1)＝30 10. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①④ D. ②③ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 方程的解为：______． 12. 当时，代数式的值是______． 13. 如果（），那么______． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 15. 某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，则花圃的宽为______米． 16. 对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则______． 17. 如图，在矩形中，若，，，则的长为________． 18. 如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22、23题每题8分，第24、25题每题9分，第26题12分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 已知实数、满足，则的值是多少？ 22. 已知：如图，在中，，，垂足为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 24. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 26. 如图，在中，，且、的长分别是一元二次方程的两个根（），动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段的中点，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为t（）秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）． （2）求中的长； （3）当点N恰好落在边上时，求的值． （4）当点M恰好落在的角平分线上时，求矩形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级数学 期中检测卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，判断即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．是最简二次根式，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A、∵方程的未知数的最高次数为3， ∴方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、∵方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程， ∴方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、∵方程含有分式，不是整式方程，∴方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 已知直角三角形的两直角边长分别为和，连接这两边中点的线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 连接直角三角形两直角边中点的线段是中位线，其长度等于斜边的一半，先利用勾股定理求斜边长，再求中位线长． 【详解】解：∵ 直角三角形的两直角边分别为和， ∴ 斜边长 = ． ∵ 连接两直角边中点的线段是中位线， ∴ 中位线长 = ． 故选：C． 4. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质可求出． 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 即， 解得． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法法则、除法法则以及合并同类项是解决问题的关键． 直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 7. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A． 8. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ 且， ∴ 且． 故选：D． 9. 有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是( ) A. n(n﹣1)＝15 B. n(n+1)＝15 C. n(n﹣1)＝30 D. n(n+1)＝30 【答案】C 【解析】 【分析】由于每两个队之间只比赛一场，则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=15场，依此等量关系列出方程即可． 【详解】试题解析：∵有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为 ∴共比赛了15场， 即 故选C. 10. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．按照正方形的性质、特殊角的锐角三角函数值及相似三角形的判定与性质逐个选项判断即可． 【详解】解：在正方形中， ，是的中点， ， ， ；故①错误； 为中点，， ，且， ， ， ，且， ， ，即，故②正确； ， ， ，且， ， ③正确； ，， ， 和不相似， ④错误． 综上可知正确的为：②③， 故选：D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 方程的解为：______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， ∴，． 故答案为：，． 12. 当时，代数式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．根据题意得到，据此计算算术平方根，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2． 13. 如果（），那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 由比例关系可设参数表示和，再代入所求表达式化简． 【详解】解：设 ，则，， ∴ 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程（a≠0）的两个根，则与系数的关系式：，． 15. 某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，则花圃的宽为______米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路． 根据花圃的面积为200列出方程求解即可． 【详解】解：设花圃的宽为米，长为米，根据题意，得 ． 解得：，（舍去）， ∴花圃的宽为10米， 故答案为：10． 16. 对于任意不相等的两个实数a，b，定义一种运算“※”如下：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义的实数运算，二次根式的乘除混合运算，根据新定义的运算，结合二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，若，，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据矩形的性质得，，即可得出，并根据勾股定理求出，再根据，得出，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 18. 如图，厘米，是一条射线，．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线方向爬行，它们同时出发．当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过______秒，的面积为8平方厘米． 【答案】2或4或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，当时，，，令，计算求出满足要求的解即可；当时，，，令，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解： 由题意知，，， 当时，，， 令， 解得或； 当时，，， 令， 解得或（舍去）； 综上所述，经过2或4或秒，的面积为8平方厘米． 故答案为：2或4或． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22、23题每题8分，第24、25题每题9分，第26题12分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂，化简绝对值，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键，分别进行零指数幂，去绝对值符号，然后合并即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用配方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 21. 已知实数、满足，则的值是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是掌握偶次方与算术平方根的非负性．先根据非负数的性质得出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，即 ，， 得，， ． 22. 已知：如图，在中，，，垂足为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法； （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ， ． 23. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴只取． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根与系数关系，熟记一元二次方程中，是解题的关键． 24. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析，（2）41 【解析】 【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论． （2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可． 【详解】（1）证明：∵BN⊥AN于点N， ∴， 在△ABN和△ADN中， ∵， ∴△ABN≌△ADN（ASA）． ∴BN=DN． （2）∵△ABN≌△ADN， ∴AD=AB=10，DN=NB． 又∵点M是BC中点， ∴MN是△BDC的中位线． ∴CD=2MN=6． ∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41． 25. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 26. 如图，在中，，且、的长分别是一元二次方程的两个根（），动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段的中点，过点P向上作，且，以、为边作矩形．设点P的运动时间为t（）秒． （1）线段的长为______（用含t的代数式表示）． （2）求中的长； （3）当点N恰好落在边上时，求的值． （4）当点M恰好落在的角平分线上时，求矩形的周长． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识点． （1）先表示，再表示，即可表示； （2）先由因式分解法解一元二次方程，即可求出，再由勾股定理求解即可； （3）此时，那么，再得到对应边成比例，即可求解； （4）按以下两种情形：当点落在的角平分线上时，满足条件，作于；当点落在的角平分线上时，满足条件作于满足条件；分别利用勾股定理以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵点Q为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 或， ∴或， ∵、的长分别是一元二次方程的两个根（）， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点落在上时， ∵矩形， ∴,， ∴ ， ∴ ， ， 解得； 【小问4详解】 解：由题意得， ∵点Q为线段的中点， ∴， ∵矩形， ∴， ∴矩形的周长为， 如图，当点落在的角平分线上时，满足条件．作于． ，，， ， ，，设， ， 在中，则有， 解得， 同上可得， ∴， ， ， ， ∴矩形的周长为； 如图，当点落在的角平分线上时，满足条件作于． 同法可证：， ，，设， ， 在中，则有， 解得， ， ∴， ， ， 解得 ， ∴矩形的周长为； 综上所述，矩形的周长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $