期中素养综合测试 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

期中素养综合测试卷(一) 考试内容：第一章至第三章 一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分) 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是 ( ) 2.「★☆」下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是 ( ) 3.如图所示的是折叠凳及其侧面示意图,若AC=BC=18cm,则折叠凳的宽AB可能为 ( ) A. 70cm B. 55cm C. 40cm D.25cm 4.「★☆」如图所示，两个三角形全等，则∠α等于 ( ) A.72° B. 60° C.58° D. 50° 5.「 ☆☆」如图,在 Rt△ABC中,∠B=90°,∠CED=∠A,则△CDE为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能 6.「★☆」如图,在 中，AB=7,AC=5,AD 是 的中线，则 与 的周长之差为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知 的三边长为a，b，c，三个内角为 ∠C，下列条件不能判定 为直角三角形的是 ( ) 8.「☆☆」如图,在 中， ,BD,CE分别平分 和 相交于点 F，则图中的等腰三角形共有 () A.7个 B.8个 C.6个 D.9个 9.如图，每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则 的度数为 ( ) 10.如图所示的是两层台阶，每一层台阶都相同，数据如图(单位：cm)，一只蚂蚁沿台阶表面从点A出发爬到点 B，其爬行的最短线路的长度是 ( ) A. 100cm B. 120cm C. 130cm D. 150cm 11. 点P为 内一点，点M，N分别在OA,OB 上,当 的周长最小时， 的度数是 ( ) B.60° 几何画板 12.如图，在直线AC的同一侧分别作等边△ABD 和等边△BCE,连接AE,CD交于点 H,AE与BD交于点G,CD与BE交于点F,连接BH,GF,有以下结论:①△ABE≌△DBC;②AG=DH;③△GBF 是等边三角形.其中结论正确的有 ( ) A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分) 13.「★☆」下面各组数中，是勾股数的是 .(填序号) (1)a=7,b=24,c=25; (2)a=5,b=13,c=12; (3)a=4,b=5,c=6; (4)a=0.5,b=0.3,c=0.4. 14.如图,已知AD=AE,∠1=∠2,要使△ABD≌△ACE,则需要添加的条件是 .(写一个即可) 15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=15°,AB 的垂直平分线与AC交于点D,与AB交于点E,连接BD.若AD=12cm,则BC的长为 cm. 16.如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,BD=CF,BE=CD,则∠EDF的度数是 . 17.「☆☆」如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,AB=10,按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交于AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 G，连接AG交BC 边于点 D，则CD的长为 . 18.「★☆」一种饮料的包装盒如图,其长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的长度为h cm，则h的取值范围为 . 19.如图，已知一个长方体的底面为正方形，若底面边长为6cm，高为7cm.一只蚂蚁从点 P 开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点 P 正上方的顶点Q 处，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm. 20.「★☆」如图,在 中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作 且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形 EBFC 的面积为 . 三、解答题(共6小题，共60分)(答案含评分细则) 21.「★☆」(6分)如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形. 22. (8分)已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上， 求证： (2)若 求∠B的度数. 23. (10分)如图,在 中，AB=AC,AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且 求 的度数. 24.〔10分)如图，某广场有一块三角形空地ABC，管理部门计划将这块空地分割成四边形AEDC和 用来摆放不同的花卉，经测量， ED=6米，BE=10米. (1)求BD的长. (2)若AE=6米，CD=12米，求三角形空地ABC的面积. 25.「★☆」(12分)如图，在正方形网格中,点A,B,C,M,N都在格点上. (1)作 关于直线MN对称的图形 (2)若网格中小正方形的边长为1，则 的面积为 (3)在直线MN上找一点 P，使PB+PC最短. 26. (14分)【问题呈现】我们知道，正方形的四个角都是直角，四条边都相等.如图①，小明在正方形ABCD的边CD上取一动点E，在CB的延长线上取一动点 F,使DE=BF,并连接AE,AF.小明发现:线段AE,AF之间存在数量关系，请直接写出线段AE，AF 之间的数量关系: . 【问题探索】如图②，小明在【问题呈现】的条件下，又在正方形ABCD 的边 BC上取了该边的中点G,并连接AG,EG. (1)小明又发现:当∠EAG=45°时,线段DE,BG,EG之间也存在数量关系.请写出线段 DE，BG，EG之间的数量关系，并说明理由. (2)在(1)的条件下，当正方形ABCD的边长为6时，请求出GE的长. 【问题解决】如图③，小明在【问题探索】及其(1)和(2)的条件下，过点G作GP⊥AE 于点 P，连接FP，请帮助小明求出△FGP的面积. 答案速查。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C D D B C C B B C B A 1. DA，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.故选 D. 2. C伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A，B，D都是利用了三角形的稳定性.故选 C. 3. D 因为AC=BC=18cm,所以0cm<AB<36cm,所以折叠凳的宽AB 可能为25cm,故选 D. 4. D 如图, 因为DE=AB=a,DF=AC=c,且△ABC和△DEF全等,所以∠D=∠A=50°,所以∠α=50°,故选 D. 5. B 因为在 Rt△ABC中,∠B=90°,所以∠A+∠C=90°,因为∠CED=∠A,所以∠CED+∠C=90°,所以∠CDE=90°,即△CDE 为直角三角形,故选B. 6. C 由题意可得BD=CD,所以△ABD与△ADC的周长之差为AB+AD+BD-(AD+AC+CD)=AB-AC=7-5=2.故选 C. 7. C A.由 得 所以△ABC是直角三角形； B.由∠A=∠B+∠C,且∠A+∠B+∠C=180°,得∠A=90°,所以△ABC是直角三角形； C.由∠A:∠B:∠C=5:12:13,且∠A+∠B+∠C=180°,得 所以△ABC不是直角三角形； D.由 设 则 由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形. 故选 C. 8. B 因为在△ABC中,AB=AC,∠A=36°, 所以 因为 BD,CE 分别平分∠ABC和∠ACB, 所以 所以∠BDC = 180°-∠DBC-∠BCD= 72°,∠BEC = 180°-∠EBC-∠BCE=72°,∠EFB=∠DFC=180°-36°-72°=72°,所以∠A=∠ACE=36°,∠A=∠ABD=36°,∠BEC=∠ABC=72°,∠BDC=∠ACB=72°,∠BEF=∠EFB=72°,∠BDC=∠DFC=72°,∠FBC=∠FCB=36°, 所以△ABD,△ACE,△FBC,△EFB,△DFC,△BDC,△BEC,△ABC都是等腰三角形，共有8个等腰三角形.故选 B. 9. B 如图,连接AC. 根据勾股定理得 因为 所以△ABC是等腰直角三角形.所以∠ABC=45°.故选 B. 10. C把两层台阶表面的一部分展开为平面图形，如图所示， 在Rt△ACB中,因为AC=50,BC=120,由勾股定理得 所以 所以AB=130, 所以一只蚂蚁沿台阶从点 A 出发爬到点 B，其爬行的最短路线的长度=130 cm.故选 C. 11. B 如图,分别作点 P 关于OA,OB的对称点 P₁,P₂,连接P₁P₂交OA 于M,交 OB 于N,连接OP₁,OP₂,OP,此时△PMN的周长最小. 易得OP₁=OP=OP₂,∠OP₁M=∠MPO,∠NPO=∠NP₂O,根据轴对称的性质可得MP=P₁M,PN=P₂N, 所以△PMN的周长的最小值=P₁P₂的长， 由轴对称的性质可得 所以等腰△OP₁P₂ 中, 所以 2∠AOB=60°.故选 B. 12. A 因为△ABD,△BCE 都是等边三角形, 所以∠ABD=∠EBC=60°,BE=BC,BA=BD, 所以∠DBF=180°-∠ABD-∠EBC=60°,∠ABE=∠DBC, 在△ABE 和△DBC中, 所以△ABE≌△DBC(SAS),故①正确; 由△ABE≌△DBC知∠BDC=∠BAE, 在△AGB和△DFB中. 所以△AGB≌△DFB(ASA),所以AG=DF>DH,故②错误;由△AGB≌△DFB,知GB=FB, 又因为∠DBF=60°,所以△GBF是等边三角形,故③正确.综上可知，正确的是①③. 故选A. 13.答案 (1)(2) 解析 满足 的三个正整数，称为勾股数. 是勾股数； 是勾股数； 不是勾股数； (4)均不是整数，所以不是勾股数. 故答案为(1)(2). 14.答案 AB=AC(答案不唯一) 解析 可以添加AB=AC, 因为∠1=∠2,所以∠BAD=∠CAE, 又因为AB=AC,AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS).(答案不唯一) 15.答案 6 解析 因为 DE 是 AB 的垂直平分线,所以 AD=BD=12cm, 所以∠A=∠ABD=15°, 所以 所以∠BDC=180°-∠BDA=180°-150°=30°, 则在 Rt△BCD中, 故答案为6. 16.答案 60° 解析 在△BDE与△CFD中 所以△BDE≌△CFD(SAS),所以∠BDE = ∠CFD,所以∠EDF = 180°-(∠BDE+∠CDF)= 180°-(∠CFD+∠CDF)= 180°-(180°-∠C)=60°, 故答案为60°. 17.答案 3 解析 如图,作DM⊥AB于M, 由作图知AD平分∠CAB, 因为∠C=90°,DM⊥AB,所以DC=DM, 设DM=DC=x,因为 所以 所以 所以x=3,所以DC=3,故答案为3. 18.答案 3≤h≤4 解析 当吸管放进盒里垂直于底面时，露在盒外的长度最长,为16-12=4(cm), 当吸管放进盒里露出部分最短时，与底面对角线和高正好组成直角三角形， 易得底面对角线长为5cm，高为12cm， 由勾股定理得盒里面吸管长度为13cm， 所以吸管露在盒外的长度最短为16-13=3cm， 所以3≤h≤4. 19.答案 25 解析 如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，易知蚂蚁爬行的最短路程为 PQ 的长. 由题意，得PA=6+6+6+6=24(cm),QA=7cm. 在Rt△PQA 中，由勾股定理得 所以PQ=25cm. 故答案为25. 20.答案 60 解析 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,因为BF∥AC,所以∠ACB=∠CBF,所以∠ABC=∠CBF,所以 BC平分∠ABF,如图,过点 C作CM⊥AB,CN⊥BF,则CM=CN,因为 且BF=AE,所以 所以四边形 EBFC 的面积 【解法一】因为AC=13,AB=AC,所以AB=13,设AM=x,则BM=13-x,由勾股定理,得 所以 解得 即 所以 所以 所以 所以四边形EBFC的面积为60. 【解法二】如图,过点A作AH⊥BC于点H, 因为AB=AC,所以BH=CH=5, 在Rt△ABH中, 所以AH=12,所以 所以四边形EBFC的面积为60. 21.解析 如图所示： (6分) 22.解析 (1)证明:因为AB∥DE, 所以∠A=∠EDF, (1分) 因为AD=CF, 所以AD+DC=CF+DC,即AC=DF, (2分) 在△ABC和△DEF中 \begin{cases} \angle B = \angle E , \cr \angle A = \angle E D F , \cr A C = D F , \end{cases} (3分) 所以△ABC≌△DEF(AAS). (4分) (2)因为△ABC≌△DEF,所以∠ACB=∠F=70°, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6分) 因为∠A=50°,所以∠B=180°-∠A-∠ACB=60°. (8分) 23.解析 因为AB=AC,AD为BC边上的中线, 所以∠ADC=90°,∠CAD=∠BAD=50°, (3分) 又因为AD=AE, 所以\angle A D E = \angle A E D = \frac{1 8 0 ^{\circ} - \angle C A D}{2} = 6 5 ^{\circ} , (6分) 所以∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-65°=25°. ⋯ (10分) 24.解析 (1)因为∠EDB=90°,所以 .. (2分) 所以BD=8米. (3分) (2)因为CD=12米,AE=6米, 所以BC=BD+CD=20米,AB=BE+AE=16米. (6分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得 所以AC=12米, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (8分) 所以 (平方米). 答：三角形空地ABC的面积为96平方米. (10分) 25.解析 (1)由轴对称的性质作图，如图1， 即为所作. (4分) (2)由题意知， 故答案为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分) (3)如图2,连接B'C 交 MN于 P,连接PB, 所以PB=PB',所以PB+PC=PB'+PC=B'C,此时PB+PC最短,点 P 即为所作. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (12分) 26.解析 【问题呈现】因为四边形ABCD 是正方形，所以AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠D=90°,所以∠ABF=90°,在△ABF和△ADE中, 所以△ABF≌△ADE(SAS),所以AE=AF.故答案为AE=AF. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2分) 【问题探索】(1)EG=BG+DE.理由如下: 由【问题呈现】知△ABF≌△ADE(SAS),所以∠BAF=∠DAE,AE=AF, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (3分) 因为∠EAG=45°,所以∠DAE+∠BAG=45°,所以∠BAF+∠BAG=45°,所以∠FAG=∠EAG, 在△AFG和△AEG中, (5分) 所以△AFG≌△AEG(SAS),所以FG=EG, 因为DE=BF,所以EG=FG=BG+BF=BG+DE. (6分) (2)设GE=x, 因为点G为BC的中点,BC=6,所以BG=GC=3, 因为GE=DE+BG,所以DE=BF=GF-BG=GE-BG=x-3, 所以EC=CD-DE=6-(x-3)=9-x, (7分) 在 Rt△GEC中，由勾股定理可得 所以 解得x=5, 所以GE 的长度为5. (9分) 【问题解决】如图,过点P作MN⊥AD 于点M,交BC于点 N, 易知∠AMP=∠PNG=90°, 因为∠EAG=45°,GP⊥AE,所以∠EAG=∠AGP =45°,∠APM+∠NPG=90°, 所以AP=GP, (10分) 因为∠PGN+∠NPG=90°,所以∠APM=∠PGN, 在△APM 和△PGN中，⋯⋯⋯⋯(12分) 所以△APM≌△PGN(AAS),所以AM=PN,PM=NG, 设PN=m,则AM=m,NG=PM=6-m, 所以MD=AD-AM=6-m,所以CN=MD=6-m, 所以CG=NG+CN=6-m+6-m=12-2m=3,解得 所以S△FGP== =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14分) 学科网（北京）股份有限公司 $