第一章 三角形（复习讲义）数学鲁教五四制2024版七年级上册

第一章 三角形（复习讲义） 1．了解三角形的相关概念并运用其解决相关问题。 ①理解三角形的定义、基本元素（边、角、顶点）及其表示方法；②掌握三角形按边或角分类的标准；③掌握三角形的高、中线、角平分线的概念并能运用其解决简单计算问题。 2． 理解全等图形的概念，明确全等三角形的定义及对应关系。 ①理解全等图形、全等三角形的概念；②掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。 3．理解并利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 ①熟练掌握证明三角形全等的方法；②掌握用尺规作三角形的几种方法；③能够在实际问题中灵活运用全等三角形进行问题分析和求解。 知识点01 三角形的定义 1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2）要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点02 三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 知识点03 三角形的分类 1）按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。 ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。 ③直角三角形：有一个内角为直角的三角形,用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 2）按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形。 ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角。 ③等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形。 ④等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。 知识点04 三角形的三边关系 1）三角形任意两边之和大于第三边。 2）三角形任意两边的之差小于第三边。 理论依据：两点之间线段最短。 知识点05 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。 判定1：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点05 三角形的三条重要线段 1）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线。三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心。 2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。 3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点。 知识点06 图形的全等 1）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形。 2）全等图形的特征：（1）形状相同。（2）大小相等。（3）对应边相等、对应角相等。 知识点07：全等三角形及其性质 1）全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2）全等三角形的性质：（1）对应边相等；（2）对应角相等。 3）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。记三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点08：全等三角形的判定 1）三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 4）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 知识点09：三角形的稳定性   1）三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。 2）四边形具有不稳定性：四边形的四条边长确定后，它的形状是可以改变，因此四边形具有不稳定性。 题型一 三角形的分类 【例1】在中，若，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【解析】解：， 是锐角， 则， 若，，，则是锐角三角形； 若，，，则是直角三角形； 若，，，则是钝角三角形； 综上所述，可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形， 故选：D． 【变式1-1】、和是一个三角形的三个内角．如果，那么这个三角形一定是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵三角形三个内角的和为， ∴． 又∵， ∴将替换为，得，即． 解得． 有一个角是直角的三角形是直角三角形． A、锐角三角形三个角都小于，此选项不符合题意； B、直角三角形有一个角是，此选项符合题意； C、钝角三角形有一个角大于，此选项不符合题意； D、可确定为直角三角形，此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 【变式1-3】4．三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【解析】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 题型二 直角三角形的两个锐角互余 【例2】把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由量角器得， ∵， ∴， ∴． 故选B． 【变式2-1】如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2-2】在中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：在中，， ， 故选：B． 【变式2-3】在直角中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据直角三角形的两个锐角互余，得到， 故选：B． 题型三 三角形的三边关系 【例3】以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 【答案】A 【解析】解：A、因为，，，所以3，4，5满足三边关系，故能构成三角形； B、因为，两边之和等于第三边，所以4，4，8不满足三边关系，故不能构成三角形； C、因为，两边之和等于第三边，所以3，7，10不满足三边关系，故不能构成三角形； D、因为，两边之和小于第三边，所以10，4，5不满足三边关系，故不能构成三角形． 故选：A ． 【变式3-1】在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是，即． ∴能与长和的两条线段围成一个三角形的是． 故选：B． 【变式3-2】为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 【变式3-3】已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】解：A．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为7，则三角形另外两边之和为：，不能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 题型四 根据三角形的中线求值 【例4】如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 【变式4-1】在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【解析】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 【变式4-2】如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 【答案】D 【解析】解：A、∵， ∴是的中线，故选项A不符合题意； B、∵， ∴是的中线，故选项B不符合题意； C、∵， ∴D为的中点，故选项C不符合题意； D、在中，是的对边，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式4-3】如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 题型五 与三角形的高有关的问题 【例5】在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：如图： ∵，， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为． 【变式5-1】下列图形中，在中，边上的高是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，在中，边上的高是： 故选：D． 【变式5-2】如图所示，在中，边上的高线是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由图可知：， ∴边上的高线是； 故选：B． 【变式5-3】如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【解析】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 题型六 全等三角形的性质 【例6】如图，已知与全等，那么 ． 【答案】72 【解析】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 【变式6-1】如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】如图，是对应点，下列结论错误的是（    ） A．和是对应角 B．和是对应角 C．和是对应边 D．和是对应边 【答案】A 【解析】解：∵， ∴和是对应角，故选项A错误，符合题意； ∴和是对应角，故选项B正确，不符合题意； ∴和是对应边，故选项C正确，不符合题意； ∴和是对应边，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 【变式6-3】如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 【答案】C 【解析】∵，，是对应顶点， ∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与． A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意； C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意； D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意； 故选C． 题型七 三角形全等的证明 【例7】如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：A、在和中 ，正确，故本选项符合题意； B、在和中 ，故错误，，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， 故错误，本选项不符合题意； D、在和中， ，，，但与 不是对应边， ∴和不全等， 故错误，本选项不符合题意； 故选：A． 【变式7-1】如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴图中全等三角形有，，，共3对， 故选：D． 【变式7-2】如图，，由“”判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：已知，是公共边，具备了一边一角对应相等， A．添加后，由“”判定，不合题意； B．添加后，由“”判定，不合题意； C．添加后，不能判定，不合题意； D．添加后，由“”判定，符合题意； 故选D． 【变式7-3】如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型八 尺规作三角形 【例8】如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【解析】解：如图： 作法： 作， 在射线上截取，在射线上顺次截取， 连接，即为所求． 【变式8-1】已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 【答案】见解析 【解析】 方法一 方法二 作图区域： 作图区域： 结论：如图，为所求 结论：如图，为所求 作图依据：边边边或． 作图依据：边角边或． 【变式8-2】如图，已知．利用直尺和圆规作，使，（点D与点C在的不同侧）． 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，即为所求． 由作图得，， 又∵ ∴ ∴，． 【变式8-3】1.已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） 作法： （1）作一条线段； （2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A； （3）连接，，就是所求作的三角形． 【答案】见解析 【解析】解：如图，就是所求作的三角形． 题型九 三角形的稳定性 【例9】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】解：构成，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：D． 【变式9-1】椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 【变式9-2】大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【答案】A 【解析】解：大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这种做法的依据是：三角形的稳定性． 故选：A． 【变式9-3】如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性， 故选：． 题型十 利用三角形全等测距离 【例10】在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：如图，延长到，使， ∵是三角形的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 【变式10-1】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【解析】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【变式10-2】如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【解析】解：（1）如图，点M即为所求． （2）①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②判定的依据是． 故答案为：． （3）在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴． 【变式10-3】课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【解析】（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 基础巩固通关测 1、 单选题 1．已知在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】解：在中，，则可能是锐角三角形． 假如：时，则是等腰三角形， 假如：则，则是钝角三角形． 故选：D 2．如图，在中，于点，则下列不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项A，C，D正确，符合题意，无法得到，故选项B错误； 故选：B． 3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【答案】C 【解析】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 4．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 二、填空题 6．若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 【答案】 【解析】解：由三角形三边关系定理得到：， ． 故答案为：． 7．如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【答案】 【解析】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 8．平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【解析】解：这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 9．如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ． 【答案】 【解析】解：在中，，，需要添加，可用“”证明， 故答案为：． 10．如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】 【解析】解：过点作于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 三、解答题 11．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【解析】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 12．如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 13．如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【解析】（1）证明：∵D是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由，， 得， 故． 14．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明: ∵, ∴,, ∵, ∴, ∴是等腰直角三角形； （2）解：， ∴的面积的面积, ∵, ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积． 15．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【解析】（1）证明：， ， 即：， 在和中 ， （）； （2）解： ， ， ， ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【解析】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 2．如图，在中，为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】解：是的中线，，且， ， ， ． 故选：B． 3．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（    ） 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达的点C，再连接AC，BC，并分别延长至D，BC至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 【答案】C 【解析】解：甲方案：在和中， ， ∴， ∴， 乙方案：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴甲、乙的方案均可行． 故选：C． 4．在中，点是中点，连接，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如下图，延长至点，使得，连接， 点是中点， ， 又， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， ． 故选：C． 5．如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选C． 二、填空题 6．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 【答案】 【解析】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 7．如图，若，且，，则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：， ， 即， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 【答案】15 【解析】解：如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 9．如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：由，， 根据三角形内角和定理，得， 根据对顶角相等，高线的定义，得， 继而得到， 故， 故． 故答案为：． 10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【解析】解：是的中线， ， 故②正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故④正确，符合题意； ，， ∴ ， 故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴， 故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④ 三、解答题 11．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 【答案】见解析 【解析】解：如答图，即为所求． 12．如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)结论成立，结论不成立，见解析 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图，设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）条件改为，则结论成立，结论不成立， 理由：同法可证， ∴，． ∵， ∴与不垂直， ∴结论成立，结论不成立， 13．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】(1)厘米，（厘米） (2)，或， 【解析】（1）解：由题意得，（厘米）， （厘米）． （2）解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 14．如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【解析】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （3）解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 15．【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3）不成立， 【解析】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；；． （2）与的关系为：， 理由如下： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ． ∴． （3）不成立，存在， 理由如下： 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴（2）中的结论不成立． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形（复习讲义） 1．了解三角形的相关概念并运用其解决相关问题。 ①理解三角形的定义、基本元素（边、角、顶点）及其表示方法；②掌握三角形按边或角分类的标准；③掌握三角形的高、中线、角平分线的概念并能运用其解决简单计算问题。 2． 理解全等图形的概念，明确全等三角形的定义及对应关系。 ①理解全等图形、全等三角形的概念；②掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。 3．理解并利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 ①熟练掌握证明三角形全等的方法；②掌握用尺规作三角形的几种方法；③能够在实际问题中灵活运用全等三角形进行问题分析和求解。 知识点01 三角形的定义 1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2）要点归纳： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的表示方法：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 知识点02 三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 知识点03 三角形的分类 1）按角分类： 要点归纳： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形。 ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。 ③直角三角形：有一个内角为直角的三角形,用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 2）按边分类： 要点归纳： ①不等边三角形：三边都不相等的三角形。 ②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角。 ③等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形。 ④等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。 知识点04 三角形的三边关系 1）三角形任意两边之和大于第三边。 2）三角形任意两边的之差小于第三边。 理论依据：两点之间线段最短。 知识点05 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。 判定1：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点05 三角形的三条重要线段 1）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线。三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心。 2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。 3）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点。 知识点06 图形的全等 1）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形。 2）全等图形的特征：（1）形状相同。（2）大小相等。（3）对应边相等、对应角相等。 知识点07：全等三角形及其性质 1）全等三角形概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2）全等三角形的性质：（1）对应边相等；（2）对应角相等。 3）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。记三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点08：全等三角形的判定 1）三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 4）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 知识点09：三角形的稳定性   1）三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。 2）四边形具有不稳定性：四边形的四条边长确定后，它的形状是可以改变，因此四边形具有不稳定性。 题型一 三角形的分类 【例1】在中，若，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【变式1-1】、和是一个三角形的三个内角．如果，那么这个三角形一定是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1-2】若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式1-3】4．三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 题型二 直角三角形的两个锐角互余 【例2】把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】在直角中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型三 三角形的三边关系 【例3】以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 【变式3-1】在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型四 根据三角形的中线求值 【例4】如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-1】在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【变式4-2】如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 【变式4-3】如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型五 与三角形的高有关的问题 【例5】在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ． 【变式5-1】下列图形中，在中，边上的高是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示，在中，边上的高线是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 题型六 全等三角形的性质 【例6】如图，已知与全等，那么 ． 【变式6-1】如图，点E，F在线段上，，，，那么的长度是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【变式6-2】如图，是对应点，下列结论错误的是（    ） A．和是对应角 B．和是对应角 C．和是对应边 D．和是对应边 【变式6-3】如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（    ） A．与是对应角 B．与是对应角 C．与是对应边 D．与是对应边 题型七 三角形全等的证明 【例7】如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【变式7-2】如图，，由“”判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 题型八 尺规作三角形 【例8】如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式8-1】已知：如图，． 求作：，使（要求：用两种不同的方法在答题卡指定区域尺规作图．不写作法，保留作图痕迹，并根据作图过程写出的依据）． 方法一： 作图区域： 结论： 作图依据： 方法二： 作图区域： 结论： 作图依据： 【变式8-2】如图，已知．利用直尺和圆规作，使，（点D与点C在的不同侧）． 【变式8-3】1.已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） 作法： （1）作一条线段； （2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A； （3）连接，，就是所求作的三角形． 题型九 三角形的稳定性 【例9】如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的几何原理是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【变式9-1】椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之差小于第三边 【变式9-3】如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性 题型十 利用三角形全等测距离 【例10】在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【变式10-1】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【变式10-2】如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3)求． 【变式10-3】课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ； ．        B．         C．         D． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．已知在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．以上都有可能 2．如图，在中，于点，则下列不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 4．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 二、填空题 6．若三角形三边的长分别为、、，则应满足的条件是 ． 7．如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 8．平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的 ． 9．如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ． 10．如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 三、解答题 11．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 12．如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形． 13．如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 14．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 15．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 2．如图，在中，为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（    ） 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达的点C，再连接AC，BC，并分别延长至D，BC至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行 C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行 4．在中，点是中点，连接，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 7．如图，若，且，，则的度数是 ． 8．如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 9．如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ． 10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题 11．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 12．如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 13．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； (2)若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 14．如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 15．【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$