第二章 轴对称 基础测试 2025--2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

《第二章》素养基础测试卷 考试内容：轴对称 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1.古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是 ( ) 2.下图是由“○”和“□”组成的轴对称图形，该图形的对称轴是直线 ( ) A. l₁ B. l₂ C. l₃ D. l₄ 3.如图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，得到一个三角形.在得到的三角形的三个内角处各剪去一个圆，然后将纸片展开，得到的图案是 ( ) 4.如图,OC平分∠AOB,点P在OC上, OB,PD=2,则点 P到OA的距离是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.如图，A，B，C三个居民小区的位置形成了一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在 ( ) A. AC，BC两边上的高线的交点处 B. AC，BC两边上的中线的交点处 C. AC，BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A，∠B的平分线的交点处 6.如图所示的是某种落地灯的简易示意图，已知CD=BC且∠BCE=120°.若CD的长度为50cm,则此时B,D 两点之间的距离为 ( ) A. 40cm B.45 cm C.50cm D.55cm 7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,AC的垂直平分线DE分别交AC,BC于点D,E,则∠BAE 的度数为 ( ) A.50° B. 40° C. 60° D.80° 8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC 于点 F,DE=5cm,则BF= ( ) A. 8cm B. 10cm C. 12cm D.14cm 9.如图，已知△ABD是等边三角形,BC=DC,E在AD上,CE交BD于点F,AE=EC,若∠CBD=2∠DCE,则∠DCE的度数为 ( ) A.40° B. 20° C.30° D. 15°等边三角 形的性质 10.如图,已知∠MON=30°,点 A₃,…在射线 ON 上,点 …在射线 OM 上, ·均为等边三角形，若 则 的边长为 ( ) A. 16 B.64 C. 128 D.256 二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分) 11.一串号码，从镜子里看到的图像如图，则实际号码应是 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 . 13.如图所示,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点 M,N在边OB上,PM=PN,若MN=1,则OM的长为 . 14.如图,AD所在直线是△ABC的对称轴,点E,F是AD的三等分点，若△ABC的面积为 则图中阴影部分的面积是 ( c m^{2}. 15.「★☆」如图,在等边三角形ABC中,AB=2,BD是AC边上的高,延长BC至点E,使CE=CD,则BE的长为 . 16.如图,在△ABC 的BC 边上截取BE=AB,连接AE,作△ABE的角平分线BD 交AE于点D,若∠EAC=∠C,BC=9,AB=5,则. 17.「★☆」如图,在△ABC中,BC=5,BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 . 18.「★☆」已知△ABC,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M，N；②作直线MN交直线AB 于点D,连接CD.若∠ABC=40°,∠ACD=20°,则∠BAC 的度数为 . 三、解答题(共6小题，共66分) 19.「★☆」(10分)尺规作图: (1)如图①，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置?在图中作出表示它位置的点. (2)已知等腰三角形的腰长为a，底边上的高为h，在图②中作这个等腰三角形. 20.「★☆」(10分)下图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形.请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴. 21. (12分)如图,AD 是 的高线，AD的垂直平分线分别交AB,AC于点 E,F. (1)若 求∠AEF 的度数. (2)试说明: 22.「★☆」(12分)已知 是等边三角形，过点C作 使CD=AB,连接BD交AC于点O. (1)如图①,试说明:AC 垂直平分BD. (2)如图②，点M在BC的延长线上，点N 在线段CO上，连接NB,ND,NM,若ND=NM,试说明：NB=NM. 23.「★☆」(12分)已知 是等边三角形. (1)如图①, 求证： 是等边三角形. (2)如图②, 是等边三角形，点B 在 ED的延长线上，连接CE，求 的度数及线段AE，BE，CE 之间的数量关系，并说明理由. 24.「★☆☆」(12分)在 中，AB=AC. (1)AD是BC上的高,AD=AE. ①如图①，若 则 ②如图②，若 则 (2)思考：通过以上两小题，你发现 与 之间有什么关系?请用式子表示： . (3)如图③,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?如有，请你写出来，并说明理由. 第二章 素养基础测试卷 答案速查。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A C C C C B B C 1. D 2. C由轴对称图形的定义知该图形的对称轴是直线 故选 C. 3. A在对折后的三角形的三个内角处各剪去一个圆，展开后会得到6个圆，所以只有选项A符合题意.故选 A. 4. C 如图,过P作PE⊥AO于E, 因为OC平分∠AOB,点 P在OC上,PD⊥OB,PD=2,所以PE=PD=2, 所以点 P到OA的距离是2.故选 C. 5. C根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，知超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处.故选 C. 6. C 如图,连接BD, 因为∠BCE =120°,所以∠BCD = 180°-∠BCE = 180°-120°=60°, 又因为CD=BC,所以△BCD是等边三角形,所以BD=CD=50cm, 即此时B，D两点之间的距离为50cm，故选 C. 7. C 因为AB=AC,∠B=40°,所以∠C=∠B=40°, 所以∠BAC=180°-40°-40°=100°, 因为DE垂直平分AC,所以EA=EC,所以∠EAC=∠C=40°,所以∠BAE=∠BAC-∠EAC=100°-40°=60°,故选 C. 8. B 因为AB=AC,AD⊥BC, 所以AD是△ABC的中线, 所以 因为 所以 因为AC=AB,所以 所以BF=10cm.故选B. 9. B 如图,连接AC, 由条件可知AB=AD,∠BAD=∠ADB=60°, 因为BC=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC, 所以 因为AE=EC,所以∠ACE=∠EAC=30°, 因为∠AEC=180°-30°-30°=120°,所以∠DEF= 180°-∠AEC=60°, 因为∠ADB=60°,所以∠DFE=180°-60°-60°=60°, 因为∠DFC=180°-∠CDF-∠DCE=180°-∠DFE, 所以∠CDF+∠DCE=∠DFE=60°, 因为∠CDB=2∠DCE,所以2∠DCE+∠DCE=60°, 所以∠DCE=20°, 故选B. 10. C 如图,因为 是等边三角形， 所以 所以∠2=120°, 因为∠MON=30°,所以∠1=180°-120°-30°=30°, 又因为∠3=60°,所以∠5=180°-60°-30°=90°, 因为 所以 所以 因为 是等边三角形， 所以 所以∠4=∠12=∠11=∠10=∠13, 所以 所以∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°, 所以 所以 …… 以此类推， 故 的边长为128.故选 C. 方法归纳27 图形类的探索题，先从基本图形开始，找出图形之间的几何关系，再对基本图形依次向下拓展，找出整个图形中的几何关系. 11.答案 3265 12.答案 或 解析 当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为 则顶角为 当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为 综上可知该等腰三角形的顶角为 或 故答案为 或 13.答案 5.5 解析 如图，过点 P 作 于点 D, 因为 所以 所以 因为 所以MD=ND=0.5,所以MO=DO-MD=6-0.5=5.5.故答案为5.5. 14.答案 15 解析 因为 AD所在直线是 的对称轴，点E，F是AD的三等分点，所以 所以阴影部分的面积 故答案为15. 15.答案 3 解析 因为 是等边三角形，所以AC=BC=AB=2,因为BD是AC边上的高，所以D为AC的中点，所以AD= 因为CE=CD,所以 所以BE=BC+CE=2+1=3. 16.答案 2 解析 因为BE=AB,BD平分∠ABE, 所以AD=DE, 因为∠EAC=∠C, 所以EA=EC, 因为BC=9,AB=5,BE=AB, 所以CE=BC-BE=BC-AB=9-5=4, 所以 故答案为2. 17.答案 5 解析 因为 BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB, 所以∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE, 因为 PD∥AB,PE∥AC,所以∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE, 所以∠PBD =∠BPD,∠PCE =∠CPE,所以 BD = PD,CE=PE, 所以△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5. 18.答案 80°或120° 解析 ①如图1，由题意得直线 MN是线段 BC 的垂直平分线， 所以BD=CD, 所以∠BCD=∠B=40°, 因为∠ACD=20°, 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=40°+20°=60°, 所以∠BAC=180°-60°-40°=80°; ②如图2，由题意得直线MN是线段BC的垂直平分线，所以BD=CD,所以∠B=∠DCB=40°,因为∠ACD=20°, 所以∠ACB=40°-20°=20°, 所以∠BAC=180°-20°-40°=120°. 综上所述,∠BAC的度数为80°或120°. 19.解析 (1)如图，发射塔应修建在点 P 的位置上. (2)如图,△ABC即为所求. 20.解析 如图所示(答案不唯一). 21.解析 (1)如图,设AD与EF 交于点O, 因为 EF是AD 的垂直平分线,所以EF⊥AD,所以∠AOF=90°. 因为AD是△ABC的高线,所以∠ADC=90°,所以∠AOF=∠ADC,所以EF∥BC,所以∠AEF=∠B=40°. (2)因为 EF 是AD的垂直平分线, 所以EA=ED,EF⊥AD, 所以 由(1)可知∠AEF=∠B,所以 22.证明 (1)因为△ABC是等边三角形, 所以∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC. 因为CD=AB,所以CD=BC. 因为CD∥AB, 所以∠ACD=∠A=60°, 所以∠ACD=∠ACB=60°, 所以BO=DO,CO⊥BD,即AC垂直平分BD. (2)由(1)知AC垂直平分BD,所以NB=ND.因为ND=NM,所以NB=NM. 23.解析 (1)证明:因为△ABC是等边三角形, 所以∠B=∠C=60°, 因为DE∥BC, 所以∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°, 所以△ADE 是等边三角形. (2)∠BEC=60°,AE+CE=BE.理由如下: 因为△ABC和△ADE是等边三角形， 所以∠BAC=60°,∠DAE=∠AED=∠ADE=60°,DE=AE, 所以∠BAD+∠DAC=60°,∠CAE+∠DAC=60°, 所以∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中, 所以△BAD≌△CAE(SAS), 所以BD=CE,∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°, 所以BE=BD+DE=CE+AE,∠BEC=∠AEC-∠AED=60°. 24.解析 (1)①在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高, 所以∠BAD=∠CAD, 因为∠BAD=20°,所以∠CAD=20°, 因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=80°, 因为AD 是BC上的高,所以∠ADC=90°,所以∠EDC=90°-∠ADE=10°. 故答案为10°. ②因为在△ABC 中,AB =AC,AD 是 BC上的高,所以∠BAD=∠CAD, 因为∠BAD=40°,所以∠CAD=40°, 因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=70°,易知∠ADC=90°,所以∠EDC=20°. 故答案为20°. (2)在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,所以∠BAD=∠CAD,因为 AD=AE,所以 因为AD是BC上的高,所以∠ADC=90°, 所以 所以 故答案为 (3)有，理由如下： 因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED, 因为∠B+∠BAD+∠ADB=180°,∠ADC+∠ADB=180°,所以∠BAD+∠B =∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC,因为∠AED+∠DEC=180°,∠EDC+∠C+∠DEC=180°,所以∠AED=∠EDC+∠C,所以∠BAD+∠B=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠BAD=2∠EDC,即 学科网（北京）股份有限公司 $