10.1.2 立方根 课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第10章 数的开方 10.1.2 立方根 1．掌握立方根的概念，学会对一个数进行开立方； 2．会用根号表示一个数的立方根； 3. 会使用计算器算立方根； # 幻灯片分页内容：10.1.2 立方根 ## 第1页：课题引入——逆向思维求“棱长” - 情境展示： - 问题1：一个正方体包装盒的棱长为4厘米，它的体积是多少？（4×4×4=64立方厘米，引导学生回忆正方体体积公式：体积=棱长×棱长×棱长）； - 问题2：一个正方体包装盒的体积是27立方厘米，它的棱长是多少？（设棱长为x，则x×x×x=27，引导学生思考“哪个数的立方等于27”）。 - 提问引导： - 已知一个数的立方，如何求这个数？ - 这样的数有几个？与平方根的情况有什么不同？ - 课题：今天我们学习——立方根（板书课题），解决“已知立方求原数”的问题，掌握立方根的定义、性质和表示方法。 ## 第2页：核心概念——立方根的定义 - 立方根的定义： - 如果一个数x的立方等于a，即x³ = a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。 - 符号表示： - 数a的立方根记作“∛a”，读作“三次根号a”，其中“∛”是立方根符号（三次根号），a叫做被开方数，“3”是根指数（不能省略）。 - 举例说明： - ∵ 3³ = 27，∴ 3是27的立方根，记作∛27 = 3； - ∵ (-2)³ = -8，∴ -2是-8的立方根，记作∛(-8) = -2； - ∵ 0³ = 0，∴ 0是0的立方根，记作∛0 = 0。 - 关键强调： - 立方根的被开方数a可以是任意实数（正数、0、负数都有立方根），这与平方根不同。 ## 第3页：立方根的性质——正数、0、负数的立方根情况 - 分情况讨论： 1. 正数的立方根： - 性质：正数有一个正的立方根； - 示例：64的立方根是4（∛64 = 4），125的立方根是5（∛125 = 5）。 2. 0的立方根： - 性质：0有一个立方根，就是0本身； - 示例：∛0 = 0。 3. 负数的立方根： - 性质：负数有一个负的立方根； - 示例：-27的立方根是-3（∛(-27) = -3），-1/8的立方根是-1/2（∛(-1/8) = -1/2）。 - 口诀记忆：“正数正根，负数负根，0根为0，一个就够”。 ## 第4页：立方根的计算——求一个数的立方根 - 计算方法： - 利用立方与开立方的互逆关系，找到立方后等于被开方数的数； - 对于简单的完全立方数（如1、8、27、64、125等），直接写出其立方根； - 对于小数或分数，先转化为整数或最简分数，再求立方根； - 注意：∛(-a) = -∛a（负数的立方根等于它相反数的立方根的相反数）。 - 例题解析： - 例1：求下列各数的立方根： （1）125 解：∵ 5³ = 125，∴ ∛125 = 5； （2）-64 解：∵ (-4)³ = -64，∴ ∛(-64) = -4； （3）27/64 解：∵ (3/4)³ = 27/64，∴ ∛(27/64) = 3/4； （4）-0.008 解：∵ (-0.2)³ = -0.008，∴ ∛(-0.008) = -0.2； （5）0 解：∛0 = 0。 - 注意事项： - 求立方根时，结果的符号与被开方数的符号一致（正数得正，负数得负）； - 根指数“3”不能省略，区分平方根（√a）和立方根（∛a）的符号。 ## 第5页：立方根与平方根的区别与联系 - 对比梳理（重点区分核心差异）： | 特征 | 平方根（√a） | 立方根（∛a） | |--------------|-----------------------------|-----------------------------| | 被开方数范围 | a≥0（非负数） | a为任意实数（正数、0、负数）| | 结果个数 | 正数有2个（互为相反数），0有1个 | 任意实数都只有1个 | | 结果符号 | 正数的平方根一正一负，0为0 | 与被开方数符号一致（正得正，负得负） | | 根指数 | 可省略（写作√a） | 不能省略（必须写∛a） | - 例题对比： - 求√16和∛16：√16 = 4（算术平方根），±√16 = ±4（平方根）；∛16不能直接开方（不是完全立方数），保留∛16即可； - 求√(-8)和∛(-8)：√(-8)无意义（负数没有平方根）；∛(-8) = -2（负数有立方根）。 ## 第6页：易错点辨析与纠正 - 易错点1：混淆立方根与平方根的符号和个数 - 错误：认为∛27 = ±3（立方根只有1个正根）；认为√(-8) = -2（负数没有平方根）； - 纠正：立方根只有1个，符号与被开方数一致；负数没有平方根，有一个负的立方根。 - 易错点2：省略立方根的根指数 - 错误：把∛64写作√64（混淆平方根和立方根符号）； - 纠正：平方根根指数为2可省略，立方根根指数为3不能省略，避免符号混淆。 - 易错点3：计算负数立方根时出错 - 错误：∛(-27) = 3（符号错误）； - 纠正：负数的立方根是负数，∛(-27) = -3，结果符号与被开方数一致。 - 易错点4：分数立方根计算错误 - 错误：∛(8/27) = 2/3 （正确），但∛(8/27) = 8/27（分子分母未分别开方）； - 纠正：分数的立方根等于分子的立方根除以分母的立方根，即∛(a/b) = ∛a / ∛b（b≠0）。 ## 第7页：课堂小结（核心回顾） - 1. 立方根的定义：x³ = a → x是a的立方根（a为任意实数）； - 2. 立方根的性质： - 正数→正立方根，负数→负立方根，0→0； - 任意实数都只有1个立方根，符号与被开方数一致。 - 3. 符号表示：∛a（根指数3不能省略），∛(-a) = -∛a； - 4. 与平方根的关键区别：被开方数范围、结果个数、符号规律。 ## 第8页：课堂练习（即时巩固） - 1. 填空： - ∛64 = ______，∛(-125) = ______，∛0 = ______； - 一个数的立方根是-3，这个数是______； - √9的立方根是______（提示：先求√9=3，再求∛3）。 - 2. 求下列各数的立方根： - （1）-216 （2）1/125 （3）0.125 （4）-343/512 - 3. 判断下列说法是否正确： - （1）任意实数都有立方根（ ）； - （2）∛(-a) = -∛a（ ）； - （3）2是8的立方根，也是8的平方根（ ）； - （4）立方根等于本身的数是0和1（ ）（提示：还有-1，∵ (-1)³=-1）。 - 4. 解答题： - 已知∛(x-1) = 2，求x的值； - 比较∛(-9)和-2的大小（提示：先求-2的立方是-8，∵ -9 < -8，∴ ∛(-9) < -2）。 学习目标 温故知新 1） 2） 正数a的平方根是： 正数a的算术平方根是： 3） 0的平方根是： 0的算术平方根是： 0 0 1.平方根的定义? 2.我们把求平方根的运算称之为 开平方 开平方运算与乘方运算是 互逆运算 情景导入 问题1 要做一只容积为125cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？ 思考：这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？ 与“平方根”类似，试作一些讨论和研究. 解：设正方体的棱长为x cm，则 x3=125 这就是要求一个数，使它的立方等于125. 因为53=125， 所以x=5. 所以正方体的棱长为5 cm. 探究新知 问题2 要做一只容积为10cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？ 思考：根据问题1的计算情况，这个正方体的棱长是多少呢？ 探究新知 知识点一 立方根的概念 概括 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根，记作 一个数a的立方根可以表示为： 根指数 被开方数 读作：三次根号a. 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略. 探究新知 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．   数a的立方根的表示方法： 数a的立方根， 读作“三次根号a”。 a称为被开方数，3称为根指数。 记作 探究新知 试 一 试 （1）64的立方根是什么？ （2）-27的立方根是什么？ （3）0的立方根是什么 4 -3 0 探究新知 所以 例1 求下列各数的立方根： 解： 　 (1) ; (2)-216; (3)-0.027   （1） 因为( )3= ， 所以 （2） 因为（ ）3＝－216， （3）因为_______________________， 所以________________. －6 －6 探究新知 知识点二 立方根的性质 （1）27的立方根是什么？ （2）-27的立方根是什么？ （3）0的立方根是什么 3 -3 0 通过这些题目的解答，你能发现什么？ 思考：正数有立方根吗？如果有，有几个？负数呢？零呢？ 一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0. 探究 探究新知 根据立方根的意义填空. 因为23=8，所以8的立方根是(　) 因为( )3=0.125,所以0.125的立方根是(　) 因为( )3＝－8，所以－8的立方根是( ) 因为( )3 ＝ ，所以 的立方( ) 2 -2 因为( )3 ＝0，所以0的立方根是(　) 0 0 -2 探究新知 被开方数 平方根 立方根 有两个互为相反数 有一个,是正数 无平方根 零 有一个,是负数 零 正数 负数 零 讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗? 探究新知 典例精析 【例2】已知，则的值为（    ） A．5 B．-5 C．25 D．-25 【详解】∵， ∴=0，b-3=0 ∴a=-125，b=3． ∴=-5 故选B． 探究新知 知识点三 用计算器求一个数的立方根 例3、用计算器求下列各数的立方根： （1）1331； （2）9.263（精确到0.01）. 说明：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可. 解：（1）在计算器上依次键入： ， 显示结果为11，所以 1 3 3 1 SHIFT = 是键 的第二功能，启用第二功能，需先按 键. SHIFT 探究新知 解：（2）在计算器上依次键入： ， 显示结果为2.1001511606987 ，所以 9 . 2 6 SHIFT 3 = （2）9.263（精确到0.01）. 探究新知 1．立方根等于2的数是（    ） A．8 B．4 C．±4 D．±8 【详解】解：∵23=8， ∴， 故选：A． 课堂练习 1. 下列说法正确的是( ) A. 的立方根是 B. 都是64的立方根 C. 27的立方根与9的平方根相同 D. 等于 √ 返回 考试考法 17 2. 利用计算器计算时，按 键 ，显示 ， 则按键 的计算结果约为（保留三位小数）( ) A. B. 144.225 C. 14.422 D. 1.442 √ 返回 考试考法 18 3. ［2025晋城期中］一个正方体由8个形状、大小完全相同 的小正方体组成.已知该几何体的体积为120（小正方体之间 的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. √ 返回 考试考法 19 4. 数轴上表示 的点一定在( ) A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 5.计算： ___. √ 返回 考试考法 20 6.若与是同类项，则 的立方根是 ___. 2 【点拨】与 是同类项， 解得 的立方根是2. 返回 考试考法 21 7. 我们规定：若一个实数的算术平方根等于它 的立方根，则称这样的实数为“最美实数”.若 是“最美 实数”，则 _____________； 或 【点拨】是“最美实数”， 或1，解得 或 . 返回 考试考法 22 立方根的特征 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。 任何一个数 a 都只有一个立方根 课堂小结 谢谢观看！ $