精品解析：江苏省无锡市惠山区锡山高级中学2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题

高二数学试卷 命题人：殷殷宇 审核人：钱婧玥 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意） 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程确定，即可求解. 【详解】由椭圆方程得，则，所以， 所以该椭圆焦距为. 故选：D 2. 已知向量与共线，则（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线求得，进而得到. 【详解】因为共线，所以，所以，，所以． 故选：A 3. 已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求椭圆参数，应用离心率公式求解. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距为， 则由题意得，， 得， 则这个椭圆的离心率. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. 12 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】因为， 所以,， 则,所以, 故选：B 5. 双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积. 【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 6. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 7. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 8. 已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 则， 当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 二、多选题（共3题，每题6分，总计18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，按选对个数计分，有选错的0分） 9. 下列说法错误的是（　　） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】计算直线定点得到A正确，计算截距为得到B错误，计算倾斜角得到C正确，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：直线必过定点，正确； 对选项B：取得到，故在轴上的截距为，错误； 对选项C：直线的斜率为，， 故，正确； 对选项D：过点，且与坐标轴截距相等，错误； 故选：BD 10. 如图，在正方体中，，为正方形的中心，为棱的中点，点在线段上（不包含端点）运动，点在正方形内（包括边界）运动，且平面，下列说法正确的有（ ） A. 与一定异面 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 与不可能垂直 【答案】BC 【解析】 【分析】取为的中点，结合中位线的性质可判断A选项；将、延展为同一个平面，可知当、、三点共线时，取最小值，结合平面几何相关知识可判断B选项；取、的中点、，求出点的轨迹为线段，可得出面积的最小值，结合锥体的体积公式可判断C选项；取为的中点，利用等腰三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、，则为的中点， 当为的中点时，由于四边形为正方形，则也为的中点， 此时，，A错； 对于B选项，易知是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形， 且， 将、延展为同一个平面，如下图所示： 当、、三点共线时，取最小值， 在和中，，，， 所以，，所以，， 因为，，则为的中点，且， 则，， 所以，的最小值为，B对； 对于C选项，分别取、的中点、，连接、、、， 因为，，、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，且， 又因为，，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，，则四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，故平面平面， 当点时，平面，则平面， 所以，点的轨迹为线段， 当点与点重合时，点到直线的距离取最小值， 此时，的面积取最小值，且最小值为， 则，即三棱锥体积的最小值为，C对； 对于D选项，因为，同理可得，即， 当点为线段的中点时，， 又因为，此时，，D错. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状； （2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解. 11. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为圆上任意一点，则的最小值为 B. 四边形的面积的最小值为4 C. 当点在原点处时，直线的方程为 D. 直线过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离结合数形结合思想可判断A；把四边形的面积的最小值转化为最小，结合数形结合思想即可判断B；求出以为直径的圆的方程，直线的方程即为以为直径的圆与圆的公共弦，利用公共弦方程的求法即可判断C；设，根据C选项的思路求出直线的方程，然后再根据分离参数法求出定点可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为． 对于，故A正确； 对于B，四边形的面积 ，要求四边形的面积的最小值，只需最小， 又，所以，故B正确； 对于C，当点在原点时，，的中点坐标为 所以以为直径的圆的方程为，即， 与相减，可得直线的方程为，故C错误； 对于D，因为点为直线上一动点，所以可设， ，的中点坐标为 所以以为直径的圆的方程为， 即，与相减， 可得直线的方程为，即， 由解得，所以直线过定点，故D正确． 故选：ABD 三、填空题（共3题，每题5分，总计15分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程） 12. 已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 13. 两条异面直线所成角为，在直线上分别取点和点，使，．已知，，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】作且，根据异面直线所成角定义可知或；利用线面垂直的判定和性质可证得；利用余弦定理可求得，再根据勾股定理求得结果. 【详解】设平面，平面，， 在平面内作且，连接， ，，四边形为平行四边形， 异面直线所成角即为或其补角，； ，即，又，； ，即，，平面， 平面，又平面，； 若，则， ； 若，则， ； 综上所述：或. 故答案为：或. 14. 已知，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题（共5题，共计77分.评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列直线方程： （1）已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； （2）求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【小问1详解】 由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 16. 如图，在平行六面体中，，，． （1）求的长； （2）求证：直线平面． 【答案】（1） （2）证明：由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 【解析】 【分析】（1）以，，为空间向量的基底，利用基底表示向量，即可得； （2）利用基底法表示向量，再根据向量位置关系证明线面垂直. 【小问1详解】 以，，为空间向量的基底， 则， 则； 【小问2详解】 略 17. 已知点，动点C到点B的距离是C到点A距离的2倍，记动点C的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）若直线与曲线E交于M，N两点．求的值； （3）过点作曲线E的两条切线，设交函数图象于Q，R两点，判断直线QR与曲线E的位置关系并证明． 【答案】（1） （2） （3） 直线QR与曲线E相切，证明如下： 若过点的切线的斜率不存在，则其方程为，到圆心的距离为，不合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的斜率为，则其方程为， 即. 所以，化简得. 解得：. 所以过点的切线的方程为：. 联立解得或, 联立解得或, 所以直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为： 所以直线QR与曲线相切. 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长； （3）讨论切线的斜率是否存在，当斜率存在时，设切线的斜率为，写出点斜式方程，化成一般方程，根据圆心到切线的距离等于半径，求出的值，得到切线的方程.再求得与的交点Q，R，得到直线QR的方程，根据直线与圆的位置关系即可判断. 【小问1详解】 （1）由题意得，所以. 设，因为点， 所以， 化简得. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 所以. 【小问3详解】 略 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：． （2）若点，，，都在半径为的球的表面上． （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面平面，，平面， 平面平面，所以平面， 又因为平面，所以. 故. （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直证明平面，从而可求解； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设出球心，再结合可得球心坐标，从而可求得点坐标；（ⅱ）利用面面角的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴， 过点在平面内作的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， （ⅰ）设，由， 得， 解得，，所以， 设不同时为零，由，， 得且， 解得，，所以，则. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，． 设平面的一个法向量为， 则，即 取，得． 设平面的一个法向量为， 则，即 取，得． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆E长轴长为，离心率为，椭圆E的左焦点为，过的直线l交E于A，B两点，过F与l垂直的直线交E于C，D两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB和CD中点． （1）求椭圆E的方程； （2）证明：直线MN过定点； （3）设G为直线AC与直线BD的交点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 由（1）知. 由B，D在x轴上方，知直线的斜率存在，且不为零. 设直线，与椭圆恒有两个交点. 则由，得. 由韦达定理得 . 所以， 所以的中点. 由，知直线的斜率，所以其方程为：. 所以，以代替可得的中点，即. 所以 所以当时，直线的方程为：， 化简得.所以直线过定点. 当时，，直线过定点； 当时，，直线过定点. 综上所述，直线过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为：，根据题意求得的值，即可得椭圆的方程； （2）设直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点的坐标，根据垂直时的斜率关系，得点的坐标，求出直线的方程，即可得到直线MN所过定点； （3）利用中点，求得面积等于，用分别表示，可将面积表示成关于的函数，利用二次函数的最值及不等式的性质可求得面积的最小值． 【小问1详解】 设椭圆的方程为：， 则，解得：. 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为分别为和中点． 所以 . 由（2）知，； 以代替得. 所以 . 所以，当，即时，取得最大值，此时取得最小值. 故面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 命题人：殷殷宇 审核人：钱婧玥 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（共8题，每题5分，总计40分，在每小题给出的选项中，只有1项符合题意） 1. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 6 D. 2. 已知向量与共线，则（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 3. 已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 12 B. C. 8 D. 5. 双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 8. 已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，总计18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，按选对个数计分，有选错的0分） 9. 下列说法错误的是（　　） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 10. 如图，在正方体中，，为正方形的中心，为棱的中点，点在线段上（不包含端点）运动，点在正方形内（包括边界）运动，且平面，下列说法正确的有（ ） A. 与一定异面 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 与不可能垂直 11. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为圆上任意一点，则的最小值为 B. 四边形的面积的最小值为4 C. 当点在原点处时，直线的方程为 D. 直线过定点 三、填空题（共3题，每题5分，总计15分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程） 12. 已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 13. 两条异面直线所成角为，在直线上分别取点和点，使，．已知，，，则________． 14. 已知，则的取值范围是________． 四、解答题（共5题，共计77分.评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列直线方程： （1）已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； （2）求与直线平行且到距离为的直线方程． 16. 如图，在平行六面体中，，，． （1）求的长； （2）求证：直线平面． 17. 已知点，动点C到点B的距离是C到点A距离的2倍，记动点C的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）若直线与曲线E交于M，N两点．求的值； （3）过点作曲线E的两条切线，设交函数图象于Q，R两点，判断直线QR与曲线E的位置关系并证明． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，． （1）证明：． （2）若点，，，都在半径为的球的表面上． （ⅰ）求； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆E长轴长为，离心率为，椭圆E的左焦点为，过的直线l交E于A，B两点，过F与l垂直的直线交E于C，D两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB和CD中点． （1）求椭圆E的方程； （2）证明：直线MN过定点； （3）设G为直线AC与直线BD的交点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $