10.1.1.平方根 课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第10章 数的开方 10.1.1.平方根 1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一个数的平方根、算术平方根； 2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些非负数的算术平方根； # 幻灯片分页内容：10.1.1 平方根 ## 第1页：课题引入——逆向思维求“边长” - 情境展示： - 问题1：一个正方形花坛的边长为3米，它的面积是多少？（3×3=9平方米，引导学生回忆正方形面积公式：面积=边长×边长）； - 问题2：一个正方形花坛的面积是16平方米，它的边长是多少？（设边长为x，則x×x=16，引导学生思考“哪个数的平方等于16”）。 - 提问引导： - 已知一个数的平方，如何求这个数？ - 这样的数有几个？有什么特点？ - 课题：今天我们学习——平方根（板书课题），解决“已知平方求原数”的问题，掌握平方根的定义、性质和表示方法。 ## 第2页：核心概念——平方根的定义 - 平方根的定义： - 如果一个数x的平方等于a，即x² = a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 - 符号表示： - 正数a的平方根记作“±√a”，读作“正、负根号a”，其中“√”是平方根符号（根号），a叫做被开方数。 - 举例说明： - ∵ 3² = 9，(-3)² = 9，∴ 3和-3都是9的平方根，记作±√9 = ±3； - ∵ 0.5² = 0.25，(-0.5)² = 0.25，∴ ±0.5是0.25的平方根，记作±√0.25 = ±0.5。 - 关键强调： - 被开方数a必须满足a≥0（因为任何数的平方都是非负数，负数没有平方根）。 ## 第3页：平方根的性质——正数、0、负数的平方根情况 - 分情况讨论： 1. 正数的平方根： - 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数（一个正，一个负，绝对值相等）； - 示例：16的平方根是±4，25的平方根是±5。 2. 0的平方根： - 性质：0只有一个平方根，就是0本身； - 示例：∵ 0² = 0，∴ √0 = 0。 3. 负数的平方根： - 性质：负数没有平方根（因为任何数的平方都不可能是负数）； - 示例：-4没有平方根，-9没有平方根。 - 口诀记忆：“正数两个根，互为相反数；0根只有0，负数没根找”。 ## 第4页：平方根的计算——求一个数的平方根 - 计算方法： - 利用平方与开平方的互逆关系，找到平方后等于被开方数的数； - 对于简单的完全平方数（如1、4、9、16、25等），直接写出其平方根； - 对于小数或分数，先转化为整数或最简分数，再求平方根。 - 例题解析： - 例1：求下列各数的平方根： （1）36 解：∵ (±6)² = 36，∴ 36的平方根是±√36 = ±6； （2）4/25 解：∵ (±2/5)² = 4/25，∴ 4/25的平方根是±√(4/25) = ±2/5； （3）0.01 解：∵ (±0.1)² = 0.01，∴ 0.01的平方根是±√0.01 = ±0.1； （4）-7 解：∵ 负数没有平方根，∴ -7没有平方根。 - 注意事项： - 求平方根时，不要遗漏负的平方根（除非题目明确要求“求算术平方根”）； - 被开方数为分数时，根号下的分子分母要同时开方，结果仍为分数。 ## 第5页：算术平方根——平方根的“正根” - 算术平方根的定义： - 正数a的两个平方根中，那个正的平方根叫做a的算术平方根，记作“√a”（读作“根号a”），0的算术平方根是0。 - 与平方根的区别与联系： - 区别：平方根是“±√a”（两个根），算术平方根是“√a”（一个正根）； - 联系：算术平方根是平方根的一部分，正数的算术平方根是其平方根中非负的那个。 - 例题解析： - 例2：求下列各数的算术平方根： （1）16 解：∵ 4² = 16，∴ 16的算术平方根是√16 = 4； （2）81 解：∵ 9² = 81，∴ 81的算术平方根是√81 = 9； （3）0 解：0的算术平方根是√0 = 0。 - 强调：算术平方根的结果一定是非负数（≥0）。 ## 第6页：易错点辨析与纠正 - 易错点1：混淆平方根与算术平方根 - 错误：认为√16 = ±4（算术平方根只取正根）； - 纠正：√a表示算术平方根（非负），±√a表示平方根（两个根），∴ √16 = 4，±√16 = ±4。 - 易错点2：被开方数为负数时求平方根 - 错误：求-16的平方根为±4（负数没有平方根）； - 纠正：任何数的平方都是非负数，负数没有平方根，∴ -16没有平方根。 - 易错点3：计算分数平方根时出错 - 错误：√(9/16) = 9/4（分子分母未分别开方）； - 纠正：√(9/16) = √9 / √16 = 3/4，分子分母分别开方再相除。 - 易错点4：忽略平方根的相反数性质 - 错误：121的平方根是11（遗漏负根）； - 纠正：正数有两个平方根，121的平方根是±11。 ## 第7页：课堂小结（核心回顾） - 1. 平方根的定义：x² = a → x是a的平方根（a≥0）； - 2. 平方根的性质： - 正数：两个平方根，互为相反数（±√a）； - 0：一个平方根，为0（√0 = 0）； - 负数：无平方根。 - 3. 算术平方根：正数a的正平方根（√a ≥ 0），是平方根的一部分； - 4. 计算关键：利用平方与开平方互逆关系，注意被开方数非负，结果符号正确。 ## 第8页：课堂练习（即时巩固） - 1. 填空： - 25的平方根是______，算术平方根是______； - √36 = ______，±√49 = ______； - 0的平方根是______，-10______平方根（填“有”或“没有”）。 - 2. 求下列各数的平方根和算术平方根： - （1）64 （2）1/9 （3）0.04 （4）121 - 3. 判断下列说法是否正确： - （1）5是25的平方根（ ）； - （2）√81 = ±9（ ）； - （3）负数没有算术平方根（ ）； - （4）0.1的平方根是0.01（ ）。 - 4. 解答题： - 已知一个数的平方根是±3，求这个数； - 若√x = 5，求x的值。 学习目标 问题1：已知一幅正方形的油画的面积是36cm2，这幅油画的边长是多少？ ( )2=25. 6 情景导入 问题2：若正方形的面积如下，请填表： 正方形的面积/cm2 1 4 9 16 25 36 正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 思考：你能发现问题1与问题2有哪些共同的点吗？ 上述问题的实质都是已知一个正数的平方，求这个正数. 探究新知 知识点一 平方根的概念 概括 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 在问题1中，因为62=36，所以6是36的平方根. 36的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于36？ 又因为(-6)2=36，所以-6也是36的一个平方根. 根据平方根的意义，我们可以利用平方运算来求一个数的平方根. 探究新知 因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3. 求法 根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根. 探究新知 1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -4有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数 试一试 探究新知 试 一 试 （1）144的平方根是什么？ （2）0的平方根是什么？ （3）-4有没有平方根？为什么？ ±12 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数. 通过这些题目的解答，你能发现什么？ 思考：正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 探究新知 1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2. 0的平方根还是0. 3.负数没有平方根. 平方根的性质： 探究新知 例1.求下列各数的平方根： （1） ； （2）0.36； （3）324. 解：（1）因为 ，所以 ，因此 的平方根为 . （2）因为(0.6)2=0.36，所以 ，因此0.36的平方根为 . （3）因为(18)2=324，所以 ，因此324的平方根为 . 探究新知 例1 . 求下列各数的平方根： （1）81；（2） ； （3） ； （4）0.49; 解：(1)∵  (±9)2=81， （2） 的平方根是 ， （3） 的平方根是 ， (4)∵(±0.7)2=0.49， ∴0.49的平方根为±0.7． ∴81的平方根为±9． 探究新知 知识点二 算术平方根的概念 一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到另一个. 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即 .因此，正数a的平方根可以记作 ，其中a称为被开方数. 特殊：0的算术平方根是0. 记作 . 探究新知 根号 被开方数 （a是非负数，a 0） ≥ 探究新知 典例精析 【例2】若|x|=5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（    ） A．8 B．-8 C．-2 D．-2或8 【详解】解：∵|x|=5，y是9的算术平方根， ∴x=±5，y=3 ∴x+y=8或x+y=-2， 故选D． 探究新知 练一练 1．若x，y为实数，且满足=0，则的算术平方根为（    ） A．4 B．±4 C．2 D．±2 【详解】解：=0 ， x-1=0，y-15=0， x=1，y=15， x+y=16， ∴=4， 的算术平方根为2， 故选C． 探究新知 知识点三 开平方运算 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根. 平方与开平方有什么关系？ 平方与开平方互为逆运算 探究新知 典例精析 【例3】将下列各数开平方： （1）49； （2） . 解：（1）因为72=49，所以 ，因此49的平方根为 . （2）因为 ，所以 ，因此 的平方根为 探究新知 知识点四 用计算器求算术平方根 例4 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）． 说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可. 解：(1）在计算器上依次键入： ， 显示结果为23,所以529的算术平方根为： 5 2 9 = 4 4 . 8 1 = （2）在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718 ，要求精确到0.01，可得 6.69 探究新知 1．若2m-4与3m-1是同一个数两个不同的平方根，则m为（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 【详解】解：∵2m-4与3m-1是同一个数的两个不同的平方根， ∴2m-3+3m-1=0， ∴m=1， 故选：D． 课堂练习 1. ［2025成都双流区期中］ 的算术平方根是( ) A. 4 B. C. 2 D. 2. 一个数的平方根与它本身相等，这个数是( ) A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 √ √ 返回 考试考法 20 3. 用计算器求 的值，按键顺序为( ) A. B. C. D. √ 返回 考试考法 21 4. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【点拨】A. ，故本选项运算错误，不 符合题意；B. ，故本选项运算错误，不符 合题意；C. ，故本选项运算正确，符合题意；D. ，故本选项运算错误，不符合题意. √ 返回 考试考法 22 5. 和 是一个正数的两个平方根，则这个正数 为( ) A. 4 B. 64 C. 4或8 D. 4或64 【点拨】和 是一个正数的两个平方根， ，解得 . ， 这个正数是64. √ 考试考法 23 6. 如图，，，均为正方形，若 的面积 为10，的面积为1，则 的边长可以是_________________. （写出一个即可） 2（答案不唯一） 返回 考试考法 24 本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？ 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0. 负数没有平方根. 3.平方根的表示法: 4.算术平方根的概念: 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根 课堂小结 谢谢观看！ $