专题10.1 平方根（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学平方根核心知识点，系统梳理算术平方根与平方根的定义、区别联系，开平方运算及性质（如双重非负性），构建从概念到运算再到应用的学习支架。 资料设计12类典型题型，涵盖概念辨析、方程求解、实际应用等，通过例题与变式题结合，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题10.1 平方根（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 求平方根】 2 【题型2 由平方根的概念解方程】 4 【题型3 求具体数的算术平方根】 5 【题型4 求代数式的算术平方根】 6 【题型5 估算算术平方根的取值】 8 【题型6 求算术平方根的整数部分和小数部分】 9 【题型7 利用算术平方根非负性求值】 11 【题型8 平方根概念的理解与判断】 12 【题型9 已知平方根求原数的值】 14 【题型10 平方根与数轴的综合应用】 15 【题型11 平方根的实际生活应用】 17 【题型12 （算术）平方根的规律探索题】 20 考点1 平方根 知识点1 算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 知识点2 开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 知识点3 与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于,即²=，那么这个正数就叫做的算术平方根. 2. 的算术平方根记为，读作“根号”. 3.性质：（1)正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. (2) 当时，=. (3)算术平方根具有双重非负性：①；②. 【题型1 求平方根】 【例1】（25-26七年级下·河南安阳·期中）的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的性质化简已知式子，再根据平方根的定义计算最终结果．解题时需注意审题，不要混淆化简结果与待求的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 【变式1-1】（25-26七年级下·重庆·期中）实数、满足，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质得出，，进而求出的平方根即可． 【详解】解：∵实数、满足，，， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 【变式1-2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 【答案】±7 【分析】根据新定义的运算法则，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，最后根据平方根的定义求出结果即可． 【详解】解：先计算括号内的运算： 根据新运算法则，得 再计算括号外的运算： 根据平方根的定义，的平方根为． 【变式1-3】（25-26七年级下·福建厦门·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数，为无理数，那么且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中为有理数，那么，且． 解决问题：如果，其中为有理数，则的平方根为___________． 【答案】 【分析】先将原方程化为，再根据题意得到，即可求解． 【详解】解： ， ， 即， ， ， ∴ 的平方根为． 【题型2 由平方根的概念解方程】 【例2】（25-26七年级下·河北雄安·期中）若，则x的值为______． 【答案】或 【分析】如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 【详解】解：变形，得． 根据平方根的意义，可得． 所以或． 【变式2-1】已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的定义是解题关键．根据题意可知的算术平方根是3，从而得到，即可求出的值． 【详解】解：∵，即表示的算术平方根是3， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-2】（24-25七年级下·河南信阳·期末）定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算的规则，将已知条件代入，转化为一元二次方程，运用平方根求解即可． 【详解】解：根据定义，运算“*”的规则为， ∵， ∴， 解得： 故选：D． 【变式2-3】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）对实数a，b定义一种新运算，规定：（其中k为非零常数），例如：．已知，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】根据，，建立等式求解，即可求出的值，再根据建立等式求解，即可解题． 【详解】解： ，， ， 解得； ， ， 整理得， 解得． 【题型3 求具体数的算术平方根】 【例3】（2026·江苏常州·一模）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 的算术平方根是． 【变式3-1】（25-26七年级下·四川南充·期中）下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，A错误． 选项B，，B错误． 选项C，表示的算术平方根，结果为非负数，，C错误． 选项D，，，D正确． 【变式3-2】（2026·安徽六安·模拟预测）计算：______． 【答案】 【分析】先计算，再根据有理数减法法则计算最终结果. 【详解】解：． 【变式3-3】如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为 ________________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义． 如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解． 【详解】解：输入x的值为时，的算术平方根是， 是有理数，再输入可得： 的算术平方根是， ∵， 则输出y的值是． 故答案为：． 【题型4 求代数式的算术平方根】 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义； 先根据算术平方根的定义求出a，b，然后计算出的值，再根据算术平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵是的算术平方根，3是的算术平方根， ∴，， ∴，， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____． 【答案】 【分析】题目主要考查数轴上的数的大小，算术平方根的求法等，理解题意，熟练掌握算术平方根的化简方法是解题关键． 根据数轴得出，根据算术平方根化简即可得． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知，化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值和算术平方根， 首先根据题意得到，，然后化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式4-3】一个正偶数的算术平方根为，则下一个正偶数的算术平方根为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的定义，这个正偶数为，根据题意得到，则，易得和这个正偶数相邻的下一个偶数为，再根据算术平方根的定义易得和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根，解题的关键是熟记一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根． 【详解】解：设这个正偶数为，则 ， ∴， 则和这个正偶数相邻的下一个偶数为， ∴和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根为， 故答案为：． 【题型5 估算算术平方根的取值】 【例5】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】使用夹逼法，找到与31相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且． ∴，即 ． 故的值在5和6之间． 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】B 【分析】从表格中找到7在哪两个数的平方之间，即可确定的范围． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ∴ ， 即的大小在2.64与2.65之间． 【变式5-2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是___________． 【答案】3 【分析】先计算三角形的面积为，再估算的范围可得：，从而可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为2，3，3，则， ∴其面积 ， ∵， ∴n的值为3． 故答案为3． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 【变式5-3】已知是整数，当取最小值时，的值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论． 【详解】解：∵，∴， 且与最接近的整数是5，∴当取最小值时，的值是5， 故选A． 【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键． 【题型6 求算术平方根的整数部分和小数部分】 【例6】（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估计无理数的大小是解题的关键． 先估算的值，确定的整数部分，然后小数部分为原数减整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 【变式6-1】（24-25七年级下·西藏昌都·期末）已知的整数部分为_________，小数部分是_________． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 直接利用的取值范围得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为4，. 【变式6-2】我们知道是无理数，所以的小数部分不能全部写出来，但我们可以用来表示的小数部分．已知的小数部分是，的小数部分是，则的值为 _____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，通过估算的范围，确定和的整数部分和小数部分，进而计算的值，掌握无理数大小估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分；的整数部分为，小数部分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）规定符号表示实数m的整数部分，例如，按此规定，如果的小数部分为a，的整数部分为b，则＝______； 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定及新定义符号的应用，解题的关键是通过夹逼法确定无理数的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分． 通过夹逼法得，求出的小数部分；同理得，求出的整数部分；计算后，根据符号的定义求其值． 【详解】解：∵ ， ∴ 的小数部分， ∵ ， ∴ 的整数部分， 则， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【题型7 利用算术平方根非负性求值】 【例7】（25-26八年级下·广东汕头·期中）已知，则______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入分式计算即可得到结果． 【详解】，，且 ， 解得， 将，代入 得：． 【变式7-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的非负性求出的值，再代入求出的值，最后计算幂得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得，，， 解得且， ， ， ． 【变式7-2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最大 C．时最小 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的取值范围，代数式被减数是定值，减数越小，结果越大，结合选项判断即可． 【详解】解：∵算术平方根有非负性，可得，当且仅当，即时，取最小值． 又∵代数式中，被减数是定值， ∴越小时，越大． ∴时，代数式取得最大值． ∵不存在最大值，因此代数式不存在最小值，故A C D错误， B正确． 【变式7-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中），，均为实数，且，是的整数部分． (1)______，______，______． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1；；6 (2)5 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的算术平方根为． 【题型8 平方根概念的理解与判断】 【例8】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）“25的平方根是”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，正数的平方根记作，据此求解即可． 【详解】解：“25的平方根是”用数学式子表示正确的是． 【变式8-1】（25-26七年级下·天津南开·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐个判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：A．当时，，此时有平方根，故该选项错误，不符合题意， B．算术平方根是其本身的数是和，故该选项错误，不符合题意， C．，没有平方根，故该选项错误，不符合题意， D．∵有意义， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意． 【变式8-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）正数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的定义，解题时需要牢记正数有两个平方根的概念． 【详解】根据定义一个正数有两个平方根且互为相反数，记作 ． 【变式8-3】下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 【答案】B 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，先化简题目中的二次根式，再根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： A. ∵， ∴的算术平方根是，不是，A错误； B. ∵， ∴是144的平方根，B正确； C. ∵， ∴的平方根是，不是，C错误； D. 当时，的算术平方根是，因此的算术平方根不一定是，D错误． 【题型9 已知平方根求原数的值】 【例9】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若与是正数n的两个平方根，则_______． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根的和为0，求出x的值，然后求出正数n的值解答即可． 【详解】解：∵与是正数n的两个平方根， ∴， 解得， ∴正数n为． 【变式9-1】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）2026年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平方根定义，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是， ∴， 解得：． 【变式9-2】若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先求出参数的值，再计算出，最后求出的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴其中一个平方根为， ∴， ∴， ∵的算术平方根即的算术平方根， ∴的算术平方根为． ∴结果为． 【变式9-3】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)求的算术平方根的整数部分，并写出求解过程． 【答案】(1)正数是64 (2)的算术平方根的整数部分为2，求解过程见解析 【分析】（1）根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求解即可； （2）先求出，再估算即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的平方根是和， ， ， 则正数是； （2）解：， ， ， ， ∴整数部分为2． 【题型10 平方根与数轴的综合应用】 【例10】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，实数与数轴；根据正方形面积求出边长，再根据数轴，求出点，对应的数． 【详解】解：依题意，， ∴点，所表示的数分别是和， ∴点，所表示的数是10的平方根， 故选：B． 【变式10-1】已知x2＝3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是________． 【答案】P1或P4 【分析】本题需先解出x等于多少，然后根据在数轴上的表示方法即可求出答案． 【详解】解：∵x2＝3， ∴x＝， ∴在数轴上与实数x对应的点可能是P1或P4． 故答案为P1或P4． 【点睛】此题考查开平方，和用数轴表示无理数的并估算无理数大小． 【变式10-2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是__________； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，并且，是相邻的整数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，求一个数的平方根，熟知相关知识是解题的关键． （1）用点A表示的数加上移动的距离即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法得到，则，再求出的结果，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示， ∴点B表示的数为，即； （2）解；∵， ∴， ∵，是相邻的整数， ∴， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 【变式10-3】如图，半径为的圆周上有一点M落在数轴上点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点所处的位置在两个连续整数之间，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，熟知实数与数轴上各点一一对应．明确点M新位置表示的数是解题的关键．根据圆的周长公式算出M点在数轴上移动的长度，向左移动，原数减去移动的长度即可得到点M新位置表示的数．从而分析在哪两个数之间，进而求出答案． 【详解】解：， ∵， ∴在和之间， ∴， ∴， 的平方根为． 故选：D． 【题型11 平方根的实际生活应用】 【例11】在2021年东京奥运会上，我国跳水梦之队在跳水项目中一共斩获了7枚金牌，取得了优秀的成绩．跳水运动员在下落过程中可近似看作是自由落体运动．自由落体运动是指物体只在重力的作用下从静止开始下落的运动，物体下落的高度（单位：m）随物体下落的时间（单位：s）满足关系式（取），若我国某跳水运动员从距离水面10米的高度开始下落（忽略空气阻力），落至水面所需要的时间为________s． 【答案】 【分析】将已知的下落高度和重力加速度代入给定关系式，得到关于的一元二次方程，结合时间为正数，求解方程即可得到结果． 【详解】解：将，代入得 ， 整理得， 因为下落时间， 所以． 【变式11-1】如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 【变式11-2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，标准魔方是魔方比赛中最常见的类型．标准魔方的一个面的面积约为， 若它的棱长为，a在两个连续的整数之间，则这两个连续整数中，较小的整数是______． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的应用及无理数的估算是解题的关键．根据算术平方根的意义，可知，再根据无理数的估算方法，可得，即得答案． 【详解】解：根据题意，， ， ， 即， 则这两个连续整数中，较小的整数是5． 故答案为：5． 【变式11-3】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：）可用公式估计，其中h（单位：）是眼睛离海平面的高度 (1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？ (2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的4倍，已知眼睛到脚底的高度为，求观望台离海平面的高度？ 【答案】(1)能看 (2)观望台离海平面的高度为 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）根据题意可得，代入求出h的值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：或， ∴能看． （2）解：∵看到的最远距离是（1）中的4倍， ∴， ∴，解得：， ∵眼睛到脚底的高度为， ∴观望台离海平面的高度， 答：观望台离海平面的高度为． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义． 【题型12 （算术）平方根的规律探索题】 【例12】观察下表，按你发现的规律填空 已知，则的值约为_______． 【答案】387.3 【分析】观察表格得：被开方数扩大或缩小10倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位． 【详解】解：根据题目规律可得， 被开方数15到150000小数点向右移动4位，所以其算术平方根的小数点向右移动2位， 即≈387.3； 故答案为：387.3． 【点睛】本题考查了平方根的应用，解决本体的关键是找到正确的规律． 【变式12-1】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数列规律的探索与应用，先分析数列规律，通过整理可以发现，数列的规律是：第n个数为，再应用规律进行求解即可得到结果． 【详解】解：将数列重写为：，，，1，， 观察规律，第n个数为， 则第2025个数为， 因此，第2025个数为44． 故选：C． 【变式12-2】（24-25七年级下·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 【变式12-3】（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 平方根（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 求平方根】 2 【题型2 由平方根的概念解方程】 3 【题型3 求具体数的算术平方根】 3 【题型4 求代数式的算术平方根】 3 【题型5 估算算术平方根的取值】 4 【题型6 求算术平方根的整数部分和小数部分】 4 【题型7 利用算术平方根非负性求值】 4 【题型8 平方根概念的理解与判断】 5 【题型9 已知平方根求原数的值】 5 【题型10 平方根与数轴的综合应用】 6 【题型11 平方根的实际生活应用】 6 【题型12 （算术）平方根的规律探索题】 7 考点1 平方根 知识点1 算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 知识点2 开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数. 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数. （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程. （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 知识点3 与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 1.定义：一般地，如果一个正数的平方等于,即²=，那么这个正数就叫做的算术平方根. 2. 的算术平方根记为，读作“根号”. 3.性质：（1)正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根. (2) 当时，=. (3)算术平方根具有双重非负性：①；②. 【题型1 求平方根】 【例1】（25-26七年级下·河南安阳·期中）的平方根是______． 【变式1-1】（25-26七年级下·重庆·期中）实数、满足，则的平方根是________． 【变式1-2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 【变式1-3】（25-26七年级下·福建厦门·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中为有理数，为无理数，那么且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中为有理数，那么，且． 解决问题：如果，其中为有理数，则的平方根为___________． 【题型2 由平方根的概念解方程】 【例2】（25-26七年级下·河北雄安·期中）若，则x的值为______． 【变式2-1】已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【变式2-2】（24-25七年级下·河南信阳·期末）定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【变式2-3】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）对实数a，b定义一种新运算，规定：（其中k为非零常数），例如：．已知，若，则_______；_______． 【题型3 求具体数的算术平方根】 【例3】（2026·江苏常州·一模）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·四川南充·期中）下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·安徽六安·模拟预测）计算：______． 【变式3-3】如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为 ________________． 【题型4 求代数式的算术平方根】 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是______． 【变式4-1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____． 【变式4-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知，化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【变式4-3】一个正偶数的算术平方根为，则下一个正偶数的算术平方根为_____． 【题型5 估算算术平方根的取值】 【例5】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式5-1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知一些数的平方如下表所示，则无理数的大小在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【变式5-2】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是___________． 【变式5-3】已知是整数，当取最小值时，的值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【题型6 求算术平方根的整数部分和小数部分】 【例6】（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【变式6-1】（24-25七年级下·西藏昌都·期末）已知的整数部分为_________，小数部分是_________． 【变式6-2】我们知道是无理数，所以的小数部分不能全部写出来，但我们可以用来表示的小数部分．已知的小数部分是，的小数部分是，则的值为 _____． 【变式6-3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）规定符号表示实数m的整数部分，例如，按此规定，如果的小数部分为a，的整数部分为b，则＝______； 【题型7 利用算术平方根非负性求值】 【例7】（25-26八年级下·广东汕头·期中）已知，则______． 【变式7-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 【变式7-2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最大 C．时最小 D．时最小 【变式7-3】（25-26八年级上·陕西西安·期中），，均为实数，且，是的整数部分． (1)______，______，______． (2)求的算术平方根． 【题型8 平方根概念的理解与判断】 【例8】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）“25的平方根是”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级下·天津南开·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【变式8-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）正数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 【题型9 已知平方根求原数的值】 【例9】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若与是正数n的两个平方根，则_______． 【变式9-1】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）2026年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，则m的值为______． 【变式9-2】若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（   ） A． B．2或 C．4 D．2 【变式9-3】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)求的算术平方根的整数部分，并写出求解过程． 【题型10 平方根与数轴的综合应用】 【例10】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 【变式10-1】已知x2＝3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是________． 【变式10-2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是__________； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，并且，是相邻的整数，求的平方根． 【变式10-3】如图，半径为的圆周上有一点M落在数轴上点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点所处的位置在两个连续整数之间，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【题型11 平方根的实际生活应用】 【例11】在2021年东京奥运会上，我国跳水梦之队在跳水项目中一共斩获了7枚金牌，取得了优秀的成绩．跳水运动员在下落过程中可近似看作是自由落体运动．自由落体运动是指物体只在重力的作用下从静止开始下落的运动，物体下落的高度（单位：m）随物体下落的时间（单位：s）满足关系式（取），若我国某跳水运动员从距离水面10米的高度开始下落（忽略空气阻力），落至水面所需要的时间为________s． 【变式11-1】如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【变式11-2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，标准魔方是魔方比赛中最常见的类型．标准魔方的一个面的面积约为， 若它的棱长为，a在两个连续的整数之间，则这两个连续整数中，较小的整数是______． 【变式11-3】天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：）可用公式估计，其中h（单位：）是眼睛离海平面的高度 (1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？ (2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的4倍，已知眼睛到脚底的高度为，求观望台离海平面的高度？ 【题型12 （算术）平方根的规律探索题】 【例12】观察下表，按你发现的规律填空 已知，则的值约为_______． 【变式12-1】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）现有一组有规律排列的数如下：0，，，1，按此规律排列后，第2025个数为（    ） A． B． C．44 D． 【变式12-2】（24-25七年级下·山东德州·期中）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（   ） A．9595 B．9995 C．9955 D．5995 【变式12-3】（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $