专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（期末复习讲义，必备知识+6大重难题型精讲+分层过关）高一数学上学期北师大版

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的基本概念 精准区分元素与集合的∈、∉关系； 基础必考点，常出现在小题 集合的基本运算 能借助Venn图/数轴求交集/并集/补集 高频易错点：描述法中代表元素混淆、忽略空集、数轴表示端点虚实不分； 集合与其他知识的结合 能快速结合不等式解集、函数定义域值域分析集合问题 命题趋势：常与一元一次/二次不等式解集/函数定义域值域等结合考查运算 量词与命题的否定 熟练写出全称命题、特称命题的否定 基础必考点，常出现在小题 充分条件与必要条件的判断 能结合不等式、函数性质判断条件关系 命题趋势：常结合一元二次不等式、函数单调性考查充分必要条件 不等式的性质 能熟练掌握6条不等式性质，能利用性质判断不等式或比较大小 基础必考点，常出现在小题 基本不等式 能准确运用基本不等式求最值，明确“一正二定三相等”的适用条件 高频易错点：基本不等式使用时忽略“相等条件” 一元二次函数的图像与性质 能熟练掌握一元二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性、最值 核心必考考点，小题大题均有（大题主要结合一元二次不等式的实际运用） 一元二次不等式解法 能精准结合一元二次函数图像分析方程根、不等式解集的关系 高频易错点：求解一元二次不等式时忽略二次项系数符号（a<0时不等号方向改变） 温馨提示：本章内容为高中数学基础，各考点联系紧密（如集合与不等式解集结合、充分必要条件与一元二次函数结合），复习时需注重知识串联，针对易错点专项刷题巩固. 知识点01 集合表示与元素特性 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和；集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图.常用数集符号：自然数集N；正整数集N或N；整数集Z；有理数集Q；实数集R（必须牢记，期末填空、选择题高频出现）. ·示例：已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A ·易错点：未考虑到集合的互异性，将其中一种情况舍去. 知识点02 集合间关系与集合运算性质 集合间基本关系包括：子集、真子集、相等集合；注意：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 集合运算性质： （1），，． （2），，． （3），，． （4）． （5）,． 知识点03 子集个数公式 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． ·示例：已知集合A={1,2,3}，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 解：n=3，子集个数=23=8；真子集个数=23-1=7；非空真子集个数=23-2=6. 知识点04 充分条件与必要条件判断 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 集合之间的关系与充分必要性： 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． ·示例：若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】“”是“”的充分条件，，， 即实数的取值范围为. 故答案为：. ·易错点：充分条件与必要条件判断颠倒：需明确条件”，不可混淆“充分”和“必要”的对应关系. 知识点05 全称/特称命题的否定 全称命题：含有全称量词“所有”“任意”“每一个”（符号∀）的命题，形式为“”（全称变存在，否定结论）. 特称命题：含有存在量词“存在”“有一个”“至少一个”（符号∃）的命题，形式为“”，否定为“”（存在变全称，否定结论）. ·示例：命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，“”的否定是， 故选：B ·易错点：全称/特称命题否定时漏改量词，条件否定不彻底. 知识点06 不等式的基本性质 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性： 同向可加性： 同向同正可乘性： 可乘方性： 比较大小的解题方法： 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 ·示例：已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，，，A错误； 对于B，，，，，，， ，即，B正确； 对于C，，，，即，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 知识点07 基本不等式 ①若，则（或），当且仅当时取等号． ②若，则，当且仅当时取等号 基本不等式变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 求最值常见解题方法： ①，当且仅当时等号成立； ②，当且仅当时等号成立； ③，当且仅当时等号成 ·示例：若，则的最小值为______ 【答案】/ 【解析】由，则. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. ·易错点：忽略“一正”前提；未满足“二定”条件；遗漏“三相等”验证：变形不当导致错误. 知识点08 一元二次不等式解法及应用 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． ①若，解集为．②若，解集为．③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为②若，解集为 解题方法总结： （1）已知关于的不等式的解集为（其中），则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集） （2）已知关于的不等式的解集为（其中），则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集） （3）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为即关于的不等式，以此类推） （4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （5）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （6）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （7）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ·示例1：已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故. 故选：A. 题型一 根据交并补集混合运算确定参数的值或范围 解｜题｜技｜巧 1. 先“化简”明确集合具体形式：对已知集合，优先通过解方程（如一元二次方程）、解不等式（如一次/二次不等式）化简，确保含参数集合与已知集合形式统一（如均为区间或离散元素集）. 2. 再“可视化”：用数轴或者韦恩图表示集合，转化集合关系 3. 后“列条件”：转化为参数的数学关系.分两类情况列条件： 子集/空集相关：若含参集合的情况，再讨论时的边界条件. 交并补关系：根据图形直接列不等式/方程. 4. 终“验证”：验证是否满足集合中元素的性质，排除矛盾与无效解. 易｜错｜点｜拨 空集遗忘讨论、未考虑到元素的互异性、补集忽略全集、端点虚实混淆、范围取反错误. 【典例1】(25-26高一上·四川成都第七中学（高新校区）·月考)已知集合，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合中的整数元素，再分析集合中整数元素的个数，结合共2个整数，分中的两个整数是和两种情况讨论求解． 【详解】，解得， 集合中的整数元素有：共4个， ， 集合至少包含3个整数点， 又集合中恰好只有两个整数， 或， 若，需满足，解得， 若，需满足，， 的取值范围为，故A正确． 故选：A． 【典例2】．(25-26高一上·上海朱家角中学·)已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出集合，再根据列不等式求出实数的取值范围． 【详解】，，集合， ， 等价于，整理得，解得，集合， 又， ，解得， 故选：D． 【变式1】已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式. 【详解】， 令， 由题意， ， 又，所以， 设， 又. 所以要使中恰好有两个整数解， 则只能是和， 所以应满足, 解得. 故选A 【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题. 【变式2】(25-26高一上·江苏扬州高邮·期中)已知集合，，实数集为全集. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）由集合的交集、并集、补集运算即可求解； （2）由求解即可. 【详解】（1）当时，，或， 所以或； 又或， 所以或 （2），或， 因为，所以，解得：， 所以实数的取值范围为 【变式3】(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解出集合，利用交集的定义求解； （2）由得到，分和两种情况讨论求解. 【详解】（1），，，， ； （2），， 当时，，解得， 当时，， 所以，则， 综合以上两种情况，可得实数的取值范围为. 【变式4】(24-25高一上·湖北黄冈黄梅县第一中学·月考)已知集合，，，若，，则（    ） A． B．4 C．或4 D．1或4 【答案】B 【分析】求出集合，根据集合关系可得，求出的值，然后验证可得. 【详解】，， 因为，，所以，，， 由，得，即，解得或， 当时，，此时不合题意； 当时，，满足题意； 综上，. 故选：B. 题型二 充分必要条件与集合间的关系 答｜题｜模｜板 1.基础转化：条件关系与集合关系的“双向翻译”：p是q的充分条件，则p的范围在q的范围里；p是q的必要条件，则q的范围在p的范围里；p是q的充要条件，两集合完全相等；p是q的充分不必要条件，则P是Q的子集但不相等；p是q的既不充分也不必要条件，则两集合互不包含. 2. 进阶技巧：含参问题的“三步解题法”：定集合：化简条件与结论对应的集合，判包含：根据条件关系转化为集合包含关系，列条件：根据包含关系求参数，验证端点 3. 特殊技巧：“正难则反”简化复杂问题：当直接分析“p是q的充分条件”难度较大（如含“不都”“至少”等否定词），可利用“原命题与逆否命题等价”转化为反面问题 易｜错｜点｜拨 含参集合未分类讨论、混淆“条件”与“结论”的对应性、条件与集合的包含关系颠倒 【典例1】设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【典例2】(25-26高一上·黑龙江大庆外国语学校·月考)设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】若是的充分不必要条件，则是的真子集，结合集合包含关系即可求解； 若是的必要条件，则，结合集合包含关系即可求解． 【详解】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 所以， 解得， 故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 【变式1】设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解. 【详解】因为， 当时，则有，或， 若，显然解得； 若，则，整理得， 因为，， 所以无解； 综上，，即充分性成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【变式2】已知集合，集合，则 的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简集合，当时，，则只要满足选项为的真子集即可； 【详解】 ， 当时， 由充分不必要条件的性质可知，只有项满足 ， 故选：A. 【点睛】本题考查利用集合间的基本关系求解简易逻辑问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 【变式3】(17-18高三下·上海七宝中学·开学考)设集合，，则命题“点”是命题“点”的条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】集合表示直线左上方（不含直线）的区域中的点组成的集合.集合表示圆外（包括圆上）的点组成的集合. 根据充分必要条件的定义即可选出答案. 【详解】如图所示集合表示直线左上方（不含直线）的区域中的点组成的集合. 集合表示圆外（包括圆上）的点组成的集合. 所以“点”是命题“点”的充分非必要条件. 故选A. 【点睛】本题考查点集、不等式、充分与必要条件，解本题的关键在于正确理解集合中的元素、条件的判断，属于中档题 【变式4】(17-18高二下·黑龙江双鸭山第一中学·开学考)若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又不必要条件 【答案】A 【分析】解出集合、，由得出关于的不等式组，求出实数的取值范围，由此可判断出“”是“”的充分非必要条件. 【详解】解不等式，解得，. 解不等式，即，解得，. ，则有，解得. 因此，“”是“”的充分非必要条件. 故选A 【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 题型三 利用不等式性质比较代数式的大小关系（涉及到指对幂函数） 答｜题｜模｜板 1. 作差→变形（因式分解、配方、通分等）→判断差的符号→下结论. 2. 作商（需保证两式同正/同负）→变形（约分、指数运算等）→与1比较大小→下结论. 3. 找公共中间量（如0、1、-1），分别比较两式与中间量的大小，间接推导关系. 4. 构造函数（如一次、二次、指数、对数函数），利用函数单调性. 易｜错｜点｜拨 作差后未彻底变形、作商法忽略符号前提、构造函数忽略定义域、中间量选取不当 【典例1】(25-26高一上·天津第一百中学·期中)若，，为实数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】取特殊值判断ABC，利用不等式的性质判断D. 【详解】取，满足，但不成立，故A错误； 取，满足，，即不成立，故B错误； 取，显然不成立，故C错误； 因为，所以，，故，故D正确. 故选：D 【典例2】(25-26高一上·天津南开区·)若，则不等式：①；②；③；④，其中成立的不等式为（   ）. A．②③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】作差法即可判断①②，不等式性质法即可判断③，不等式性质结合放缩法即可判断④. 【详解】对①，，因为，则， 所以，即，即，故①正确； 对②，，因为， 则，，则，则，故②正确； 对③，，则，故③错误； 对④，因为，则，则，则， 则， 因为 ，即，故④正确； 故选：C. 【变式1】(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，均为实数，则 【答案】B 【分析】举特例判断AC；利用作差法判断BD. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，，则， 所以，故B正确； 对于C，当，，，时，满足，， 而，故C错误； 对于D，由， 则，故D错误. 故选：B. 【变式2】(25-26高一上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·)设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算可得、、，即可比较. 【详解】， ， ， 由， 则， 故， 即. 故选：D. 【变式3】(25-26高一上·天津武清区杨村第一中学·)已知，，，，则下列不等式中恒成立的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举特殊值可判断ABC，根据不等式性质可判断D. 【详解】对于A，若， 此时，，但，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若， 此时，，但，故C错误； 对于D，若，则，故，故D正确. 故选：D 【变式4】(25-26高一上·重庆第一中学校·月考)已知 ，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例判断A；作差法判断B；根据不等式性质判断CD. 【详解】对于A，取，，，，显然满足， 但，故A错误； 对于D，因为即，得到， 所以，又，得到，故D错误 对于B，，由，可得， 又，所以，， 所以，所以，故B正确； 对于C，由，，可得，所以，故C错误. 故选：B 题型四 含条件的基本不等式变形综合 答｜题｜模｜板 1.“1的代换”法（高频考点）：将待求式乘以约束条件中的“1”，展开后利用基本不等式求最值，最后验证等号成立条件. 2.配凑法（构造“定值”）：根据基本不等式“定值”要求，对代数式拆补（注意拆补的项为正数，保证“一正”前提）. 3.消元法（减少变量个数）：约束条件含两个及以上变量，可通过代数变形将待求式转化为单变量函数，再用基本不等式或函数单调性求最值. 易｜错｜点｜拨 忽略“一正”前提、未凑出“定值”强行用不等式、“1的代换”漏乘全项、等号成立条件不满足 【典例1】(25-26高一上·浙江浙东北ZDB联盟·期中)已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】D 【分析】根据可判断AB，令，，得到，再根据即可判断CD． 【详解】解：（当且仅当时取等）， 令，则，则，所以； 令，， 则， （当且仅当，即，时取等）． 故选：D． 【典例2】(25-26高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)若，，且，则（    ） A．有最小值144 B．有最大值288 C．有最小值 D．有最小值 【答案】C 【分析】A选项根据基本不等式，结合已知条件求出的最大值；B选项根据基本不等式，结合已知条件求出的最小值；C选项将进行变形，然后利用基本不等式求出其最小值；D选项对进行展开，结合的取值范围求出的最大值. 【详解】对于A选项，，，，， 当且仅当时等号成立，的最大值为.故A错误； 对于B选项，，，，， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为.故B错误； 对于C选项，，，，， 由A选项可知，，，，即， 当且仅当时等号成立，的最小值为.故C正确； 对于D选项，，，，， 由A选项可知，，，，即， ，的最大值为， 当且仅当时等号成立.故D错误. 故选：C. 【变式1】(25-26高一上·贵州贵阳第一中学·)已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值是. 故选：B. 【变式2】(25-26高一上·河北邢台卓越联盟·月考)如图，在一处半径为50米的半圆形空地内规划一个矩形区域，其中两个顶点，在半圆的直径上，另外两个顶点，在半圆的圆弧上，则（    ）    A．矩形面积的最大值为2500平方米 B．矩形面积的最大值为3000平方米 C．矩形面积的最小值为2500平方米 D．矩形面积的最小值为1250平方米 【答案】A 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】记半圆的圆心为，连接，根据对称性可知为的中点.设米，米， 则由，可得，矩形的面积平方米. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以平方米.矩形的面积无最小值.    故选：A. 【变式2】(25-26高一上·湖南长沙望城区第二中学·月考)设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值是 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，利用常数代换技巧求最值判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 结合A，， 当时，等号成立，故B错误； 结合A，， 所以，当时，等号成立，故C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：D． 【变式2】(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 所以， 解得，当且仅当时，即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 题型五 含参一元二次不等式能成立/恒成立 答｜题｜模｜板 1. 无区间约束的恒成立问题与无区间约束的能成立问题——抓“判别式”与“二次项系数”. 2. 有区间约束的恒成立问题——“轴动区间定”分类讨论. 3. 有区间约束的能成立问题——“最值反向”转化适用场景；存在性问题等价于“函数在区间上的最值满足条件. 易｜错｜点｜拨 忽略二次项系数为0的情况、恒成立与能成立的最值判断颠倒、端点值取舍错误 【典例1】(25-26高一上·江苏启东中学·月考)若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 【典例2】(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，命题的否定为真命题，根据x的范围，整理可得，根据基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题的否定为真命题， 则，整理得， 因为， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 所以，则实数的取值范围是. 故选：B 【变式1】(25-26高一上·四川宜宾第一中学校·月考)已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先讨论二次项系数是否为零，再结合二次函数的性质可解. 【详解】当时，不等式为，解集不为； 当时，不等式为恒成立，解集为； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围为. 故选：B. 【变式2】(25-26高一上·山东济南·)对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分与两种情况，结合二次函数性质求解. 【详解】当时，即，则原不等式为恒成立，所以符合题意； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式3】(25-26高三上·海南海口海南华侨中学·)若“，（）成立”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得，为真命题，代入，初步得出的范围，再验证即可. 【详解】由题意，，为真命题， 则时，成立，得； 当时， 的对称轴，则在单调递增，成立； 综上实数的取值范围是， 故选：D. 【变式4】(24-25高三上·河南许昌鄢陵县·期中)，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 题型六 二次函数与不等式的实际运用 答｜题｜模｜板 1. 所有实际运用问题的基础，需从题目中提取“自变量、因变量”，结合数量关系构建二次函数. 2. 求实际问题中的“最大利润”“最小成本”“最大面积”等最值问题，需结合二次函数单调性与定义域求解. 3. 实际问题中“利润不低于某个值”“面积大于某个值”等范围要求，转化为二次不等式ax²+bx+c≥m（或≤m）求解. 4. 问题中含两个及以上变量，需通过题目中的约束关系消元，转化为单变量二次函数. 易｜错｜点｜拨 建模时忽略自变量的实际定义域、求解不等式后未结合定义域取舍、多变量建模时消元错误或漏约束 【典例1】一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，首先要明白，利润＝日总收入－日总成本＝售价日产量－日总成本，即可列出函数解析式，再依条件列出不等式求解即可． 【详解】设日利润为元，则，由，解得，即的取值范围为. 故选D． 【点睛】本题主要考查学生数学建模能力以及运用所学知识解决问题的能力，关键点是读懂题意，能找出关系列出方程． 【典例2】(20-21高一上·河北沧州七校联盟·期中)某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下： （1）在解题的过程中，读懂题意； （2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本； （3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可. 【变式1】用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 【变式2】第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 【变式3】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 【变式4】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【详解】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 说明：相当于“课堂验收成果”，用“分层、限时”的检测题，帮学生自查“基础是否扎实、难题是否突破”，便于诊断“哪里还要补”.每个版块选取3~5道试题（三个板块选其中两个板块也可），部分可选取最新期末真题并标注题源，综合拓展部分可链接中高考真题，以达到考教衔接. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(20-21高一上·江苏南通如皋·调研)已知集合，集合，若集合中有个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立，可得出，设，可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】联立，消去得，设， 所以，函数在上有两个不等的零点， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用交集的元素个数求参数的取值范围，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，考查计算能力，属于中等题. 2.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)若，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举例说明判断A；利用不等式性质推理判断B；利用作差法判断CD. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，由，得，则，而，因此，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：B 3.32．(25-26高一上·辽宁大连育明高级中学·期中)设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需. 故选：B 4.(25-26高一上·浙江嘉兴南湖区嘉兴第一中学·月考)已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用分离参数法变形为，然后利用基本不等式求得函数的最值，即可求解. 【详解】由题可得， 又因为，当且仅当，即时取等号， 又因为不等式在上有解， 所以，故A正确． 故选：A. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(17-18高三上·上海格致中学·月考)已知、、、、、都是非零实数，集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举反例说明充分性不成立，根据等价性说明必要性成立. 【详解】因为，时满足，但不成立，所以充分性不成立； 当时，因为、、、、、都是非零实数，所以所以，即必要性成立， 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 2.(25-26高一上·河南开封五校·期中)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，，所以，A错误； 取，，，则，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确. 故选：D. 3.(25-26高一上·江西赣州第三中学·月考)当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 4．(24-25高一上·陕西西安黄河中学·月考)某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株， 由题意可得，即， 解得，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元. 故选：C 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(25-26高一上·上海风华中学·)有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】对于①，由得到集合与集合两个集合中没有公共元素，则，说明必要性成立；由，则的元素个数等于的元素个数与的元素个数，说明集合与两个集合中没有公共元素，得到，则充分性成立.对于②，由可知集合A中的元素都是集合B中的元素，说明可以得到，则必要性成立.③特值法，取，，则满足，但不满足，说明充分性不成立； ④由可以推出，则必要性成立；特例法，取，，满足，但不满足，则充分性不成立. 【详解】对于①，，则集合与集合两个集合中没有公共元素，，必要性成立； ， 则的元素个数等于的元素个数与的元素个数， 集合与两个集合中没有公共元素，，充分性成立. ①正确； 对于②，，集合A中的元素都是集合B中的元素， 可以推出，必要性成立. ②正确； ③如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，③错误； ④，，必要性成立；如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，④错误； 故选：B. 2.(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据翻折可知三角形的周长，设，，所以，结合直角三角形勾股定理可得，再根据基本不等式可得面积的最大值. 【详解】由题意可知，，，， 所以，所以，， 所以， 所以的周长为；设，，所以， 在中，由勾股定理可得，解得， 且，解得或， 当且仅当时取等号； 因为，，所以，所以，则； 所以在中，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的面积取得最大值， 故选：C. 3.在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 4．(25-26高一上·云南玉溪元江哈尼族彝族傣族自治县第一中学·)已知全集，集合. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，的且，得到不等式，即可求解； （2）根据题意，分，和，三种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. （2）解：当时，可得集合，此时是空集， 不存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，可得，则， 因为，所以不存在，使得，不符合题意，舍去； 当时，可得，则， 因为，所以存在，使得，符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 集合的基本概念 精准区分元素与集合的∈、∉关系； 基础必考点，常出现在小题 集合的基本运算 能借助Venn图/数轴求交集/并集/补集 高频易错点：描述法中代表元素混淆、忽略空集、数轴表示端点虚实不分； 集合与其他知识的结合 能快速结合不等式解集、函数定义域值域分析集合问题 命题趋势：常与一元一次/二次不等式解集/函数定义域值域等结合考查运算 量词与命题的否定 熟练写出全称命题、特称命题的否定 基础必考点，常出现在小题 充分条件与必要条件的判断 能结合不等式、函数性质判断条件关系 命题趋势：常结合一元二次不等式、函数单调性考查充分必要条件 不等式的性质 能熟练掌握6条不等式性质，能利用性质判断不等式或比较大小 基础必考点，常出现在小题 基本不等式 能准确运用基本不等式求最值，明确“一正二定三相等”的适用条件 高频易错点：基本不等式使用时忽略“相等条件” 一元二次函数的图像与性质 能熟练掌握一元二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性、最值 核心必考考点，小题大题均有（大题主要结合一元二次不等式的实际运用） 一元二次不等式解法 能精准结合一元二次函数图像分析方程根、不等式解集的关系 高频易错点：求解一元二次不等式时忽略二次项系数符号（a<0时不等号方向改变） 温馨提示：本章内容为高中数学基础，各考点联系紧密（如集合与不等式解集结合、充分必要条件与一元二次函数结合），复习时需注重知识串联，针对易错点专项刷题巩固. 知识点01 集合表示与元素特性 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和；集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图.常用数集符号：自然数集N；正整数集N或N；整数集Z；有理数集Q；实数集R（必须牢记，期末填空、选择题高频出现）. ·示例：已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A ·易错点：未考虑到集合的互异性，将其中一种情况舍去. 知识点02 集合间关系与集合运算性质 集合间基本关系包括：子集、真子集、相等集合；注意：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 集合运算性质： （1），，． （2），，． （3），，． （4）． （5）,． 知识点03 子集个数公式 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． ·示例：已知集合A={1,2,3}，求A的子集、真子集、非空真子集个数. 解：n=3，子集个数=23=8；真子集个数=23-1=7；非空真子集个数=23-2=6. 知识点04 充分条件与必要条件判断 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 集合之间的关系与充分必要性： 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． ·示例：若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】“”是“”的充分条件，，， 即实数的取值范围为. 故答案为：. ·易错点：充分条件与必要条件判断颠倒：需明确条件”，不可混淆“充分”和“必要”的对应关系. 知识点05 全称/特称命题的否定 全称命题：含有全称量词“所有”“任意”“每一个”（符号∀）的命题，形式为“”（全称变存在，否定结论）. 特称命题：含有存在量词“存在”“有一个”“至少一个”（符号∃）的命题，形式为“”，否定为“”（存在变全称，否定结论）. ·示例：命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，“”的否定是， 故选：B ·易错点：全称/特称命题否定时漏改量词，条件否定不彻底. 知识点06 不等式的基本性质 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性： 同向可加性： 同向同正可乘性： 可乘方性： 比较大小的解题方法： 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 ·示例：已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，，，A错误； 对于B，，，，，，， ，即，B正确； 对于C，，，，即，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 知识点07 基本不等式 ①若，则（或），当且仅当时取等号． ②若，则，当且仅当时取等号 基本不等式变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 求最值常见解题方法： ①，当且仅当时等号成立； ②，当且仅当时等号成立； ③，当且仅当时等号成 ·示例：若，则的最小值为______ 【答案】/ 【解析】由，则. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. ·易错点：忽略“一正”前提；未满足“二定”条件；遗漏“三相等”验证：变形不当导致错误. 知识点08 一元二次不等式解法及应用 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． ①若，解集为．②若，解集为．③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为②若，解集为 解题方法总结： （1）已知关于的不等式的解集为（其中），则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集） （2）已知关于的不等式的解集为（其中），则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集） （3）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．（由的解集为，得：的解集为即关于的不等式，以此类推） （4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （5）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （6）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （7）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ·示例1：已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故. 故选：A. 题型一 根据交并补集混合运算确定参数的值或范围 解｜题｜技｜巧 1. 先“化简”明确集合具体形式：对已知集合，优先通过解方程（如一元二次方程）、解不等式（如一次/二次不等式）化简，确保含参数集合与已知集合形式统一（如均为区间或离散元素集）. 2. 再“可视化”：用数轴或者韦恩图表示集合，转化集合关系 3. 后“列条件”：转化为参数的数学关系.分两类情况列条件： 子集/空集相关：若含参集合的情况，再讨论时的边界条件. 交并补关系：根据图形直接列不等式/方程. 4. 终“验证”：验证是否满足集合中元素的性质，排除矛盾与无效解. 易｜错｜点｜拨 空集遗忘讨论、未考虑到元素的互异性、补集忽略全集、端点虚实混淆、范围取反错误. 【典例1】(25-26高一上·四川成都第七中学（高新校区）·月考)已知集合，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【典例2】．(25-26高一上·上海朱家角中学·)已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高一上·江苏扬州高邮·期中)已知集合，，实数集为全集. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】(25-26高一上·江苏苏州苏州大学附属中学·期中)已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式4】(24-25高一上·湖北黄冈黄梅县第一中学·月考)已知集合，，，若，，则（    ） A． B．4 C．或4 D．1或4 题型二 充分必要条件与集合间的关系 答｜题｜模｜板 1.基础转化：条件关系与集合关系的“双向翻译”：p是q的充分条件，则p的范围在q的范围里；p是q的必要条件，则q的范围在p的范围里；p是q的充要条件，两集合完全相等；p是q的充分不必要条件，则P是Q的子集但不相等；p是q的既不充分也不必要条件，则两集合互不包含. 2. 进阶技巧：含参问题的“三步解题法”：定集合：化简条件与结论对应的集合，判包含：根据条件关系转化为集合包含关系，列条件：根据包含关系求参数，验证端点 3. 特殊技巧：“正难则反”简化复杂问题：当直接分析“p是q的充分条件”难度较大（如含“不都”“至少”等否定词），可利用“原命题与逆否命题等价”转化为反面问题 易｜错｜点｜拨 含参集合未分类讨论、混淆“条件”与“结论”的对应性、条件与集合的包含关系颠倒 【典例1】设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26高一上·黑龙江大庆外国语学校·月考)设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【变式1】设，集合．则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知集合，集合，则 的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式3】(17-18高三下·上海七宝中学·开学考)设集合，，则命题“点”是命题“点”的条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式4】(17-18高二下·黑龙江双鸭山第一中学·开学考)若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又不必要条件 题型三 利用不等式性质比较代数式的大小关系（涉及到指对幂函数） 答｜题｜模｜板 1. 作差→变形（因式分解、配方、通分等）→判断差的符号→下结论. 2. 作商（需保证两式同正/同负）→变形（约分、指数运算等）→与1比较大小→下结论. 3. 找公共中间量（如0、1、-1），分别比较两式与中间量的大小，间接推导关系. 4. 构造函数（如一次、二次、指数、对数函数），利用函数单调性. 易｜错｜点｜拨 作差后未彻底变形、作商法忽略符号前提、构造函数忽略定义域、中间量选取不当 【典例1】(25-26高一上·天津第一百中学·期中)若，，为实数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】(25-26高一上·天津南开区·)若，则不等式：①；②；③；④，其中成立的不等式为（   ）. A．②③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【变式1】(25-26高一上·甘肃庆阳环县第一中学·期中)下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，均为实数，则 【变式2】(25-26高一上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·)设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高一上·天津武清区杨村第一中学·)已知，，，，则下列不等式中恒成立的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式4】(25-26高一上·重庆第一中学校·月考)已知 ，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四 含条件的基本不等式变形综合 答｜题｜模｜板 1.“1的代换”法（高频考点）：将待求式乘以约束条件中的“1”，展开后利用基本不等式求最值，最后验证等号成立条件. 2.配凑法（构造“定值”）：根据基本不等式“定值”要求，对代数式拆补（注意拆补的项为正数，保证“一正”前提）. 3.消元法（减少变量个数）：约束条件含两个及以上变量，可通过代数变形将待求式转化为单变量函数，再用基本不等式或函数单调性求最值. 易｜错｜点｜拨 忽略“一正”前提、未凑出“定值”强行用不等式、“1的代换”漏乘全项、等号成立条件不满足 【典例1】(25-26高一上·浙江浙东北ZDB联盟·期中)已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 【典例2】(25-26高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)若，，且，则（    ） A．有最小值144 B．有最大值288 C．有最小值 D．有最小值 【变式1】(25-26高一上·贵州贵阳第一中学·)已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高一上·河北邢台卓越联盟·月考)如图，在一处半径为50米的半圆形空地内规划一个矩形区域，其中两个顶点，在半圆的直径上，另外两个顶点，在半圆的圆弧上，则（    ）    A．矩形面积的最大值为2500平方米 B．矩形面积的最大值为3000平方米 C．矩形面积的最小值为2500平方米 D．矩形面积的最小值为1250平方米 【变式2】(25-26高一上·湖南长沙望城区第二中学·月考)设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值是 【变式2】(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)若实数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 题型五 含参一元二次不等式能成立/恒成立 答｜题｜模｜板 1. 无区间约束的恒成立问题与无区间约束的能成立问题——抓“判别式”与“二次项系数”. 2. 有区间约束的恒成立问题——“轴动区间定”分类讨论. 3. 有区间约束的能成立问题——“最值反向”转化适用场景；存在性问题等价于“函数在区间上的最值满足条件. 易｜错｜点｜拨 忽略二次项系数为0的情况、恒成立与能成立的最值判断颠倒、端点值取舍错误 【典例1】(25-26高一上·江苏启东中学·月考)若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·四川宜宾第一中学校·月考)已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高一上·山东济南·)对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】(25-26高三上·海南海口海南华侨中学·)若“，（）成立”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高三上·河南许昌鄢陵县·期中)，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 题型六 二次函数与不等式的实际运用 答｜题｜模｜板 1. 所有实际运用问题的基础，需从题目中提取“自变量、因变量”，结合数量关系构建二次函数. 2. 求实际问题中的“最大利润”“最小成本”“最大面积”等最值问题，需结合二次函数单调性与定义域求解. 3. 实际问题中“利润不低于某个值”“面积大于某个值”等范围要求，转化为二次不等式ax²+bx+c≥m（或≤m）求解. 4. 问题中含两个及以上变量，需通过题目中的约束关系消元，转化为单变量二次函数. 易｜错｜点｜拨 建模时忽略自变量的实际定义域、求解不等式后未结合定义域取舍、多变量建模时消元错误或漏约束 【典例1】一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为 A． B． C． D． 【典例2】(20-21高一上·河北沧州七校联盟·期中)某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【变式1】用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【变式4】某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 说明：相当于“课堂验收成果”，用“分层、限时”的检测题，帮学生自查“基础是否扎实、难题是否突破”，便于诊断“哪里还要补”.每个版块选取3~5道试题（三个板块选其中两个板块也可），部分可选取最新期末真题并标注题源，综合拓展部分可链接中高考真题，以达到考教衔接. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(20-21高一上·江苏南通如皋·调研)已知集合，集合，若集合中有个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)若，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3.32．(25-26高一上·辽宁大连育明高级中学·期中)设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 4.(25-26高一上·浙江嘉兴南湖区嘉兴第一中学·月考)已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(17-18高三上·上海格致中学·月考)已知、、、、、都是非零实数，集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.(25-26高一上·河南开封五校·期中)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.(25-26高一上·江西赣州第三中学·月考)当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·陕西西安黄河中学·月考)某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(25-26高一上·上海风华中学·)有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③的充分条件是； ④的充要条件是.其中真命题的序号是（   ） A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 2.(25-26高一上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（   ）． A． B． C． D． 3.在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 4．(25-26高一上·云南玉溪元江哈尼族彝族傣族自治县第一中学·)已知全集，集合. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $