专题01 集合（期中复习讲义）（知识必备+11大核心题型+分层验收）高一数学上学期北师大版

专题01 集合（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 元素与集合的关系 了解“属于”关系的意义；能根据元素与集合的关系求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 集合元素的三大特性 能从元素的互异性、确定性、无序性去正确理解集合，能回代检验参数，是否满足集合元素的互异性 高频易错点，常出现在选择题，填空题 集合的表示法 能正确认清描述法集合元素代表 基础考点，常出现在选择题，填空题 两个集合的关系 能判断两个集合的包含或相关关系；能根据集合间的包含或相等关系求参数 重难必考点，常出现选择题，解答题 集合的运算 能正确进行集合的并，交、补运算； 能根据集合运算的结果求参数的取值范围 重难必考点，常出现选择题，解答题 知识点01 集合 1.集合的基本概念 (1)集合:一般地,把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母如A,B,C,…表示；. (2)元素:集合中的每一个对象叫作这个集合的元素,.通常用小写英文字母如a,b,c,…表示； (3)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性 ·示例：如某校高一数学成绩很好的人不能构成集合，因为成绩很好没有个明确的标准，不符合集合中元素的确定性；由集合元素的互异性可知，2,2,1用集合表示可记成{1，2}；由集合元素的无序性可知集合{1，2，3}与集合{3，2，1}表示同一个集合. 2.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. ·易错点：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 知识点02 集合间的关系 1子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： ·易错点：集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 2.集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等.记作A=B. 3.真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： ·易错点： 子集与真子集的区别在于“”允许或，而是不允许“”的，所以如果成立，则一定有成立；但如果有成立，不一定成立. 拓展：请牢记下面四个结论,解题时可以依据这四个结论检验答案是否正确,其中n∈N*. (1)由n个元素构成的集合有2n个子集; (2)由n个元素构成的集合有(2n-1)个真子集; (3)由n个元素构成的集合有(2n-1)个非空子集; (4)由n个元素构成的集合有(2n-2)个非空真子集. 知识点04交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. ·示例：如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则由A与B中的公共元素1，2组成，即 . 知识点05 并集 1.并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 2.并集的性质：,,,,. 高频性质：若. ·示例：如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则由A与B中的所有元素1，2，3，4组成，即 . 知识点06 全集与补集 1.全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 2.补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 3.补集的性质： , , . ·示例：如全集，，则是由U中剔除掉A中的元素组成的集合，即. 拓展： 德·摩根定律 （1）交集的补集等于补集的并集： ;. （2）并集的补集等于补集的交集： . 利用这些性质能简化集合的交、并、补的综合运算. 知识点07 容斥定理——求集合中元素的个数（拓展） 1.容斥定理 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 这一结论被称为容斥定理. 2．容斥定理的两种重要变形 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B). 题型一 判断元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 1.对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 2.利用推理法判断一个对象是不是某个集合的元素，首先要明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合的元素要符合哪种表达式或满足哪种条件，然后判断此对象是否也具有这种属性，从而确定该元素与已知集合的关系. 易｜错｜点｜拨 注意不要和包含关系弄混淆 【典例1-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可. 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 【典例1-2】（25-26高一上·上海·开学考试）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知集合，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合，再结合元素与集合的关系判断即得. 【详解】依题意，，结合元素与集合关系知，ABD错误，C正确. 故选：C 【变式2-2】给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 【变式2-3】（多选）已知集合，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知集合逐个分析判断 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D正确， 故选：ACD 题型二 根据元素与集合关系求参数 解｜题｜技｜巧 对于集合中的含参问题，往往利用元素和集合的关系，分类讨论加以解决. 易｜错｜点｜拨 解题时注意将参数回代集合检验集合元素是否满足互异性 【典例2-1】（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据给定条件，分类代入计算并验证得答案. 【详解】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 【典例2-2】设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．0 【答案】AC 【分析】根据，且逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，且，所以A正确， 对于B，当时，，所以B错误， 对于C，当时，，且，所以C正确， 对于D，当时，，所以D错误. 故选：AC 【变式2-2】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 【变式2-3】已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【答案】 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 【变式2-4】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 题型三 集合的表示法 解｜题｜技｜巧 1.列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合较为方便，. 但对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，此时常用省略号来表示多个元素. 2.用描述法表示的集合，认识它一要看集合中竖线左边代表元素是什么形式;二要看竖线右边元素满足什么条件.对无限集(集合中元素个数无限)或元素较多的有限集宜用描述法表示. 易｜错｜点｜拨 描述法一定要注意集合元素代表是谁，认清元素代表，不要与共同特征混淆；列举法在列举元素时，要注意做到不重不漏 【典例3】（25-26高一上·全国·课前预习）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【分析】（1）（3）利用列举法、描述法表示给定集合. （2）（4）利用描述法表示给定的集合. 【详解】（1）列举法，描述法. （2）描述法. （3）列举法，描述法． （4）描述法. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知. 故选：B. 【变式3-3】（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由且，得到，所以集合为或. 故选：AC. 【变式3-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B； (3)一年中有31天的月份的全体； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)不等式的解集. 【详解】（1）求出根，运用列举法， （2）根据点的规律，运用描述法，. （3）写出大月份，列举法，{ 1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （4）根据整除特征，运用描述法． （5）解出不等式，运用描述法. 解集为 题型四 根据集合元素个数求参数 解｜题｜技｜巧 先明确集合元素个数要求，再结合集合类型（如方程解、不等式解集合）列条件。含参数时，按参数范围分类讨论，避免漏解或重复。最后验证结果是否满足集合元素互异性，确保答案准确. 易｜错｜点｜拨 注意最高项系数含参，特别注意讨论参数为0 【典例4】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【详解】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 【变式4-1】若集合的子集只有两个，则实数 ． 【答案】0或 【详解】的子集只有两个，有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，，解得， 或． 【变式4-2】已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 题型五 判断两个集合间的关系 解｜题｜技｜巧 1.对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断. 2.当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系. 易｜错｜点｜拨 包含关系，属于（不属于）关系，注意区别 【典例5-1】（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 【典例5-2】（24-25高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式5-1】若集合，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将集合中的元素表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. 【变式5-2】已知， ， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，故； 当时，，当时，，则. 故选：B． 【变式5-3】设集合，，则、之间的关系为 ． 【答案】 【分析】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解. 【详解】因为， 所以集合中的元素是的奇数倍， 又因为集合中的元素是的整数倍， 所以N. 故答案为：. 题型六 子集，真子集问题 解｜题｜技｜巧 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 【典例6】（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【分析】根据子集与真子集的定义求解即可． 【详解】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 【变式6-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【答案】B 【详解】集合A满足，， ∴集合A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5， 一定不包含4和6， 所以满足条件的集合A的个数为2个，分别为 故选：B． 【变式6-2】已知集合，集合，集合的子集个数记为，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】依题意，是6的正约数，而6的正约数为1，2，3，6，又， 因此，所以集合的子集个数. 故选：C 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有 个． 【答案】6 【详解】满足题意的可以是：. 【变式6-4】（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ． 【答案】64 【详解】由题可知，，有6个元素， 所以该集合的子集有个， 故答案为：64． 题型七 根据集合间关系求参数 解｜题｜技｜巧 1.根据集合间的包含关系求参有以下两种策略： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解. （2）当集合为不连续数集时，常根建立方程求解． 2.若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论分类讨论求解. 易｜错｜点｜拨 子集关系，优先考虑空集 【典例7-1】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若集合，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利集合相等和集合中元素的性质，求得，进而得到答案. 【详解】因为，可得，所以， 当时，，显然不成立； 所以，解得或（舍去）， 所以. 【典例7-2】（24-25高一上·甘肃·开学考试）已知集合，． (1)求A； (2)若，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件，解出分式不等式即可． （2）根据已知条件，分是否为空集讨论，即可求解． 【详解】（1）由题意得，解得， 则. （2）因为， 当时，，解得，满足题意， 当时，因为，所以，解得 综上所述，实数的取值范围为． 【变式7-1】（多选）（24-25高一上·广西·开学考试）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可. 【详解】因为，所以或解得或则或. 故选：BC 【变式7-2】（23-24高二下·河北承德·期末）已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【答案】A 【分析】根据互异性得到，分中只有1个元素和有2个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得到答案. 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 【变式7-3】已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式7-4】已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【分析】（1）根据补集和集合相等的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）由， 得或， 因为，或， 所以，解得； （2）当时，，解得， 当时，由， 得或，解得或， 综上，的取值范围为或． 题型八 集合的交、并、补运算 解｜题｜技｜巧 在进行集合间的交、并、补运算时，需注意以下两点： （1）集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的确定性、互异性、无序性，因此，在求解含参数的问题时，注意隐含的条件． （2）如果集合间的元素已知，或集合间的关系相对复杂，又涉及集合中的元素问题，解题过程中常借助于 Venn图，这样处理相对来说较形象、直观，且解题时不易出错． 【典例8-1】（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出全集，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，， 则，，所以，. 故选：B. 【典例8-2】设集合，U为整数集，（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】由整数可分成被3整除、被3除余1和被3除余2，再结合补、并运算即可求解. 【详解】因为整数集，， 所以． 故选：A． 【变式8-1】若集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，则， 又，所以. 故选：D 【变式8-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得， 所以， 又因为，所以，图中阴影部分表示的集合为， 故选：A 【变式8-3】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，， 所以或， 所以或. （3）因为，， 因为或， 所以. 题型九 根据集合的运算求参(跨章节) 解｜题｜技｜巧 （1）转化为集合包含关系． （2）画数轴 易｜错｜点｜拨 注意空集优先考虑 【典例9-1】（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【分析】（1）先求出当时的集合，再根据补集和并集定义即可计算求解. （2）先由题意求得，接着求出，再分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）若，则， 所以或，又集合或， 所以或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时符合题意，此时，即； 当时，要使， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【典例9-2】已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分和两种情况进行讨论即可； （3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，∴，解得． （2）． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． （3）由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 【变式9-1】设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 【变式9-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 题型十 容斥原理 解｜题｜技｜巧 （1）一般地，对任意两个有限集, 进一步的： （2）借助Venn图 【典例10】（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 【变式10-1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 【变式10-2】（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 题型十一 新定义题 解｜题｜技｜巧 与集合的运算有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂运算的规律，进而求解． 【典例11】（多选）（24-25高一上·山西·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 【变式11-1】（24-25高一上·广东·期中）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别利用题中的概念判断每一个选项即可； 【详解】选项A，由题可知，，故正确； 选项B, , 所以， 同理 所以，故选项B正确； 选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误； 选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误； 故选：AB 【变式11-2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 【变式11-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【详解】（1）因为，且B是“等差集”， 所以B至少含有三个元素， 根据“等差集”的定义可知：， 所以或或； （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然 则存在，使得成立， 整理得， 易知，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 期中基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知集合，则集合的子集个数是（   ） A．3 B．4 C．8 D．无数个 【答案】C 【详解】解不等式，得，所以， 则集合的子集个数是. 故选：C. 4．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图得阴影部分为，即可求解； 【详解】由图可知，阴影部分为， 故选：A 5．设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】由，可得，即可得答案. 【详解】因，，由集合互异性可得. 则. 故选：A 6． 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】D 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示，    由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 7．(多选)（25-26高一上·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【答案】AD 【详解】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，因为不大于的自然数有，则由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 故选：AD. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 9．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用因式分解求三次方程的根化简集合，再利用集合关系即可判断. 【详解】对于A，方程，因式分解得， 解得或，所以，满足，故A正确； 对于B，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故B正确； 对于C，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，故C错误； 对于D，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的取值集合为 【答案】｛1，3｝ 【详解】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 11．设，若，则实数的取值为 . 【答案】 【分析】解二次方程化简集合，即可根据分别求解. 【详解】， 由，可得，故， 当时，， 当时，， 当时，， 故实数的取值为. 12．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：. 13．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 14．若集合. (1)若，写出的子集； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，. ∵ ∴. ∴其子集为：，共8个（）. （2）∵，∴. 分为两种情况： 当时，符合题意，此时，解得：； 当时，则或或： 若或，则，解得：，此时，符合题意； 若，则有，解得：无解. 综上所述，实数的取值范围为. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 15．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 16．（2024·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，如图： 对于选项A，由题意知是的真子集，故，故A不正确； 对于选项B，由是的真子集且都不是空集知，，，故B正确； 对于选项C，由是的真子集知，，故C不正确． 对于选项D，由是的真子集，故，故D不正确． 故选：B 17．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 18．（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 19．（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】{或} 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 20．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意知对任意，恒成立． 设集合，则． （ⅰ）当时，，符合题意； （ⅱ）当时，要使，需满足，解得． 综上所述，的取值范围为． 21．已知集合满足以下条件：①；②若，则. (1)求证：集合至少有3个元素； (2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由. 【详解】（1）证明：由，得， 则， 则， 周而复始，故由题意易得集合至少有3个元素. （2）当时，无意义，故； 令，解得， 即当时，， 故. 故属于集合的两个元素是. 22．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 23．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 24．（24-25高一上·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可. 【详解】对于①，设集合，显然，符合性质一， 同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； 对于②，根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述正确； 对于③，设， 若，一定有，， 因为、都是“群”， 所以，， 因此，若，所以，，，故本叙述正确. 故选：C. 25．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）设A 是实数集的非空子集， 称集合 且 为集合A 的生成集. 当A={1,3,5}时，写出集合A的生成集B为 ；记集合M 中元素个数为 card(M)，若A 是由5个正实数构成的集合，则card(B)的最小值为 . 【答案】 7 【详解】（1）当A={1,3,5}时，列举出且 时的结果， 可得， （2）设，设, 则, 所以集合B中元素个数大于或等于7， 例如当时，, 即集合B中元素个数的最小值为7， 故答案为：7. 26．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请写出集合和． (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 【分析】（1）根据、的定义来求得正确答案. （2）根据非空子集的个数确定最大值，利用特殊值法来确定最小值. 【详解】（1），， 所以， ，， ， 所以. （2）最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素． 可以构造如下集合：，这个集合的元素均为素数， 中最大的元素为，则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同， 从而集合由该数字的所有大于1的因数组成， 所以中元素个数的最大值为31． 最小值：不妨设，取，显然有， 则， 则至少有11个元素． 可以构造如下集合：， 此时，所以中元素个数的最小值为11． 综上所述，中元素个数的最大值为31，最小值为11. 3 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 元素与集合的关系 了解“属于”关系的意义；能根据元素与集合的关系求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 集合元素的三大特性 能从元素的互异性、确定性、无序性去正确理解集合，能回代检验参数，是否满足集合元素的互异性 高频易错点，常出现在选择题，填空题 集合的表示法 能正确认清描述法集合元素代表 基础考点，常出现在选择题，填空题 两个集合的关系 能判断两个集合的包含或相关关系；能根据集合间的包含或相等关系求参数 重难必考点，常出现选择题，解答题 集合的运算 能正确进行集合的并，交、补运算； 能根据集合运算的结果求参数的取值范围 重难必考点，常出现选择题，解答题 知识点01 集合 1.集合的基本概念 (1)集合:一般地,把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母如A,B,C,…表示；. (2)元素:集合中的每一个对象叫作这个集合的元素,.通常用小写英文字母如a,b,c,…表示； (3)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性 ·示例：如某校高一数学成绩很好的人不能构成集合，因为成绩很好没有个明确的标准，不符合集合中元素的确定性；由集合元素的互异性可知，2,2,1用集合表示可记成{1，2}；由集合元素的无序性可知集合{1，2，3}与集合{3，2，1}表示同一个集合. 2.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. ·易错点：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 知识点02 集合间的关系 1子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： ·易错点：集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 2.集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等.记作A=B. 3.真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： ·易错点： 子集与真子集的区别在于“”允许或，而是不允许“”的，所以如果成立，则一定有成立；但如果有成立，不一定成立. 拓展：请牢记下面四个结论,解题时可以依据这四个结论检验答案是否正确,其中n∈N*. (1)由n个元素构成的集合有2n个子集; (2)由n个元素构成的集合有(2n-1)个真子集; (3)由n个元素构成的集合有(2n-1)个非空子集; (4)由n个元素构成的集合有(2n-2)个非空真子集. 知识点04交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. ·示例：如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则由A与B中的公共元素1，2组成，即 . 知识点05 并集 1.并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 2.并集的性质：,,,,. 高频性质：若. ·示例：如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则由A与B中的所有元素1，2，3，4组成，即 . 知识点06 全集与补集 1.全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 2.补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 3.补集的性质： , , . ·示例：如全集，，则是由U中剔除掉A中的元素组成的集合，即. 拓展： 德·摩根定律 （1）交集的补集等于补集的并集： ;. （2）并集的补集等于补集的交集： . 利用这些性质能简化集合的交、并、补的综合运算. 知识点07 容斥定理——求集合中元素的个数（拓展） 1.容斥定理 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 这一结论被称为容斥定理. 2．容斥定理的两种重要变形 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B). 题型一 判断元素与集合的关系 解｜题｜技｜巧 1.对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 2.利用推理法判断一个对象是不是某个集合的元素，首先要明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合的元素要符合哪种表达式或满足哪种条件，然后判断此对象是否也具有这种属性，从而确定该元素与已知集合的关系. 易｜错｜点｜拨 注意不要和包含关系弄混淆 【典例1-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高一上·上海·开学考试）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（24-25高一下·浙江·开学考试）已知集合，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式2-3】（多选）已知集合，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据元素与集合关系求参数 解｜题｜技｜巧 对于集合中的含参问题，往往利用元素和集合的关系，分类讨论加以解决. 易｜错｜点｜拨 解题时注意将参数回代集合检验集合元素是否满足互异性 【典例2-1】（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【典例2-2】设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．0 【变式2-2】（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【变式2-3】已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【变式2-4】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为 . 题型三 集合的表示法 解｜题｜技｜巧 1.列举法适合表示有限集，当集合中的元素个数较少时，用列举法表示集合较为方便，. 但对于元素较多的有限集，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，此时常用省略号来表示多个元素. 2.用描述法表示的集合，认识它一要看集合中竖线左边代表元素是什么形式;二要看竖线右边元素满足什么条件.对无限集(集合中元素个数无限)或元素较多的有限集宜用描述法表示. 易｜错｜点｜拨 描述法一定要注意集合元素代表是谁，认清元素代表，不要与共同特征混淆；列举法在列举元素时，要注意做到不重不漏 【典例3】（25-26高一上·全国·课前预习）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【变式3-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（23-24高一下·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B； (3)一年中有31天的月份的全体； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)不等式的解集. 题型四 根据集合元素个数求参数 解｜题｜技｜巧 先明确集合元素个数要求，再结合集合类型（如方程解、不等式解集合）列条件。含参数时，按参数范围分类讨论，避免漏解或重复。最后验证结果是否满足集合元素互异性，确保答案准确. 易｜错｜点｜拨 注意最高项系数含参，特别注意讨论参数为0 【典例4】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【变式4-1】若集合的子集只有两个，则实数 ． 【变式4-2】已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 题型五 判断两个集合间的关系 解｜题｜技｜巧 1.对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断. 2.当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、变形等技巧，使元素结构一致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系. 易｜错｜点｜拨 包含关系，属于（不属于）关系，注意区别 【典例5-1】（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥ 【典例5-2】（24-25高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若集合，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知， ， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设集合，，则、之间的关系为 ． 题型六 子集，真子集问题 解｜题｜技｜巧 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 【典例6】（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【变式6-1】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【变式6-2】已知集合，集合，集合的子集个数记为，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式6-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有 个． 【变式6-4】（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ． 题型七 根据集合间关系求参数 解｜题｜技｜巧 1.根据集合间的包含关系求参有以下两种策略： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解. （2）当集合为不连续数集时，常根建立方程求解． 2.若已知有限数集A=B，求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素完全相同”这一结论分类讨论求解. 易｜错｜点｜拨 子集关系，优先考虑空集 【典例7-1】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若集合，则 ． 【典例7-2】（24-25高一上·甘肃·开学考试）已知集合，． (1)求A； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式7-1】（多选）（24-25高一上·广西·开学考试）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【变式7-2】（23-24高二下·河北承德·期末）已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【变式7-3】已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【变式7-4】已知全集，集合或，． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 题型八 集合的交、并、补运算 解｜题｜技｜巧 在进行集合间的交、并、补运算时，需注意以下两点： （1）集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的确定性、互异性、无序性，因此，在求解含参数的问题时，注意隐含的条件． （2）如果集合间的元素已知，或集合间的关系相对复杂，又涉及集合中的元素问题，解题过程中常借助于 Venn图，这样处理相对来说较形象、直观，且解题时不易出错． 【典例8-1】（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例8-2】设集合，U为整数集，（    ） A． B．C． D． 【变式8-1】若集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 题型九 根据集合的运算求参(跨章节) 解｜题｜技｜巧 （1）转化为集合包含关系． （2）画数轴 易｜错｜点｜拨 注意空集优先考虑 【典例9-1】（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【典例9-2】已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求m的值； (3)求实数的值使得． 【变式9-1】设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式9-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型十 容斥原理 解｜题｜技｜巧 （1）一般地，对任意两个有限集, 进一步的： （2）借助Venn图 【典例10】（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【变式10-1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【变式10-2】（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 题型十一 新定义题 解｜题｜技｜巧 与集合的运算有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂运算的规律，进而求解． 【典例11】（多选）（24-25高一上·山西·期中）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【变式11-1】（24-25高一上·广东·期中）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【变式11-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 期中基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知集合，则集合的子集个数是（   ） A．3 B．4 C．8 D．无数个 4．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 6． 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D．   7．(多选)（25-26高一上·山东德州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 8．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的取值集合为 11．设，若，则实数的取值为 . 12．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 13．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 14．若集合. (1)若，写出的子集； (2)若，求实数的取值范围. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 15．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 18．（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 19．（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 20．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为 ． 21．已知集合满足以下条件：①；②若，则. (1)求证：集合至少有3个元素； (2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由. 22．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 23．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 24．（24-25高一上·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 25．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）设A 是实数集的非空子集， 称集合 且 为集合A 的生成集. 当A={1,3,5}时，写出集合A的生成集B为 ；记集合M 中元素个数为 card(M)，若A 是由5个正实数构成的集合，则card(B)的最小值为 . 26．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请写出集合和． (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $