专题02 常用逻辑用语（期中复习讲义）（知识必备+6大核心题型+分层验收）高一数学上学期北师大版

该高中数学讲义围绕“常用逻辑用语”单元构建系统知识体系，通过框架图清晰呈现充分条件、必要条件与充要条件的逻辑关系，用表格对比全称量词命题与存在量词命题的结构特征及否定规则，辅以思维导图梳理从概念理解到参数求解的完整路径，突出重难点分布和内在联系。 讲义的亮点在于“三阶递进式”练习设计，体现核心素养中的抽象能力、推理意识和应用意识。例如题型一中定义法、集合法、递推法三种策略层层深入，帮助学生从直观判断过渡到严谨论证；题型五的“变量词，否结论”口诀强化符号语言转化能力，提升表达准确性；题型六将存在量词命题真假转化为恒成立问题，打通函数与逻辑的边界。每类题均配典型例题与变式训练，基础薄弱生可掌握方法模板，优等生能拓展思维深度，教师据此实现精准分层教学，助力学生自主复习与课堂高效推进。

专题02 常用逻辑用语（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 充分条件与必要条件 能判断充分性和必要性，能根据充分性或必要性求参 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 全称量词命题和存在量词命题的否定 能写出全称量词命题和存在量词命题的否定 高频考点，常出现在选择题，填空题 全称量词命题和存在量词命题的真假 能根据全称量词命题和存在量词命题的真假及其否定的真假求参 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01充分条件、必要条件与充要条件的概念 1．必要条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件，即q⇒p. 2．充分条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件，即p⇒q. 3．充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 4．从逻辑关系上看充分条件与必要条件 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. ·示例：如p:，显然且，所以是的必要不充分条件. 知识点02全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词及全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 2.存在量词及存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” ·易错点：有些命题省略了全称量词或存在量词，这就需要根据命题所描述对象的特征，挖掘隐含的量词，例如全称量词命题“正方形都是矩形”就省去了全称量词“所有的”. 知识点03 全称量词命题、存在量词命题的否定 1.全称量词命题的否定 全称量词命题p:∀x∈M，p(x), 它的否定: 注意：全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.存在量词命题的否定 存在量词命题p: ∃x0∈M，p(x0)， 它的否定:∀x∈M，, 注意：存在量词命题的否定是全称量词命题. 3．命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． ·示例：如命题 “”，则为： 题型一 充分性与必要性的判断 解｜题｜技｜巧 1．定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； 2．集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A ⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B ⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A ⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B ⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件. 3．递推法 由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系． 考向1：定义法 【典例1-1】（24-25高三上·江苏连云港·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意分类讨论的符号，结合充要条件的等价性分析判断. 【详解】当时，则，即，等价于， 等价于，即； 当时，则不成立，也不成立； 当时，则，即成立， 等价于，即； 当时，则，即，等价于， 等价于，即； 综上所述：“”是“”的充要条件. 故选：C. 考向2：集合法 【典例1-2】.（24-25高一上·江西上饶·期中）已知集合．设，下列说法正确的是（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，， 故为的真子集，又，故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 考向3：递推法 【典例1-3】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·江苏·开学考试）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知定义依次判断充分性和必要性即可. 【详解】由得：，又，，充分性成立； 当时，若，，则，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-2】设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式， 因此，而不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-3】（多选）（24-25高一上·海南儋州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“若，则”的否定是“若，则” C．设，则“”是“”必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【详解】对于选项A，由，得到，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A错误， 对于选项B，命题“若，则”的否定是“若，则”，所以选项B正确， 对于选项C，因为推不出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项C正确， 对于选项D，因为推不出，但可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项D正确， 故选：BCD. 题型二 充分、必要条件的探求（跨章节） 解｜题｜技｜巧 探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件. 易｜错｜点｜拨 当条件在后，结论在前时，常调整为条件在前，结论在后，再探究条件和结论之间的充分性与必要性 【典例2-1】（24-25高一上·陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出在指定区间上单调递增的的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】二次函数在区间上单调递增，则，解得， 显然选项ABD中条件都不能推出，而真包含于， 所以所求的一个充分不必要条件为. 故选：C 【典例2-2】（24-25高三上·甘肃·期中）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求出满足题意的充要条件为，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案. 【详解】因为不等式的解集为，所以应有， 解得. 选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出命题“，”为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，恒成立. 令， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以在当时，取得最大值6，可得， 所以各选项中只有是是的一个充分不必要条件， 即是“，”为真命题的一个充分不必要条件. 故选:D. 【变式2-2】（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，则使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式求解结论范围，再应用充分必要条件定义判断各个选项即可. 【详解】由可得, A选项: ，是使“”成立的一个充分不必要条件； B选项：由可得，则，解得或， 与没有包含关系，所以是使“”成立的一个既不充分也不必要条件； C选项：由可得，所以是使“”成立的一个充要条件； D选项: ，所以是使“”成立的一个必要不充分条件． 故选：D. 题型三 根据充分性、必要性求参数(跨章节) 解｜题｜技｜巧 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 易｜错｜点｜拨 要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【典例3-1】（24-25高一上·江苏·期中）已知集合， (1)若，求实数m的取值范围; (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【分析】（1）由可得，讨论，从而得到不等式，求解参数m； （2）若p：，q：，p是q的充分条件，知，即可求参数范围． 【详解】（1），由可得， 当B为空集时，则，可得， 当B不为空集时，则，解得， 综上所述，m的取值范围为 （2）若p是q的充分条件，则，则，可得， 故m的取值范围为 【典例3-2】（24-25高一上·全国·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 【详解】（1）因为，所以方程无实数根， 当，即时，原方程可化为，有实数根2，不满足题意； 当时，一元二次方程无实数根， 则，解得，即实数的取值范围为． （2），由题意可得，是A的真子集． 当时，得，此时，满足题意； 当时，得，此时不满足题意． 综上，的取值集合为，其所有子集为． 【变式3-1】.（24-25高一上·全国·期中）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知集合是的真子集，由，可得， 由，可得； 当时，，此时，符合题意； 当时，，无解，所以为空集，符合题意； 当时，，此时，符合题意， 综上，实数的取值范围是． 故选：A 【变式3-2】.（24-25高三上·北京顺义·期中）已知，且；，且. (1)是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式，得或， 故或 假设存在，使得，， 则有且， 解得， 所以，当时满足题意； （2）若是的充分条件，则， 则，或 解得，或， 所以的取值范围为. 【变式3-3】已知非空集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【分析】（1）代入求出集合P，解一元二次不等式求出集合Q，再根据集合的运算求解； （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得⫋，从而可得结论； 【详解】（1）当时，，或， 解不等式得：， 即， 所以或. （2）若“”是“”的充分不必要条件，即⫋， 因为，要使⫋，则，且等号不同时取得， 解得：， ∴实数a的取值范围是． 题型四 判断全称量词（存在量词）命题的真假 解｜题｜技｜巧 1.全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. 2.存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 【典例4】设有下面四个命题，其中真命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量词的意义，逐项分析其真假，即可求解. 【详解】对A：由恒成立，故该命题为假命题，故A错误； 对B：当时，，故该命题为假命题，故B错误； 对C：，故该命题为真命题，故C正确； 对D：，故无解，故该命题为假命题，故D错误. 故选：C. 【变式4-1】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假. 【详解】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，解方程，即可判断C. 【详解】对于A，B，当时，，故A正确，B错误； 对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，，故D正确. 故选：AD 题型五 全称量词（存在量词）命题的否定 解｜题｜技｜巧 方法可巧记为：变量词，否结论. 易｜错｜点｜拨 注意写出含有一个量词的命题的否定时，只能否定结论，不能否定量词后紧接着的条件. 【典例5-1】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】变量词：改为,再否结论：将变为， 所以命题的否定是：. 故选：C 【典例5-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题，则命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题， 则其否定为. 故选：D 【变式5-1】（25-26高三上·广东·阶段练习）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由命题的否定的规则可得命题，的否定是，. 故选：A 【变式5-2】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是： ，. 故选：C 题型六 根据全称量词（存在量词）命题的真假求参(跨章节) 解｜题｜技｜巧 1．全称量词命题可转化为恒成立问题； 2．存在量词命题可转化为存在性问题； 3．全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 【典例6-1】若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解. 【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题， 不妨设，其开口向上，对称轴方程为， 则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论： 情形一：当即时，在上单调递增， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时有，只需， 解不等式组得， 故此时满足题意的实数的范围为； 情形三：当即时，在上单调递减， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 综上所述：的取值范围是. 【典例6-2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 【变式6-1】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的性质及存在量词命题（特称命题）的真假性求解即可. 【详解】由题意知“，”是真命题， 所以，解之可得, 所以的取值范围是. 故选：B 【变式6-2】.（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得，，为真命题， 则，即，故为真命题时，的取值范围为. （2）当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 若同时为假命题，则， 所以若至少有一个真命题时，. 期中基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高一上·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：D 2．（24-25高一上·云南曲靖·期阶段练习）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为全称存在命题的否定是存在量词命题，并否定结论， 所以命题，的否定是，． 故选：A 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得：， 当时，，所以， 则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：. 故选:C. 5．（24-25高一上·重庆万州·期中）在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马. 故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6.（多选）（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】ABC 【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确； 对于C项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误， 故选：ABC. 7．（多选）（2025高二下·陕西西安·学业考试）下列说法错误的是（   ） A．函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．最小值是4 D．是的充分不必要条件 【答案】AC 【详解】对于A，函数的图象是直线上取整数的离散的点，A错误； 对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，反之，取，满足，而， 因此是的充分不必要条件，D正确. 故选：AC 8．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为命题p是假命题，所以命题是真命题． 因为， 所以， 只需，即， 所以的取值范围为. 9．设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由命题知：时，， 则为26的正因数，即为1，2，13，26， 当时，，不合题意舍；当时，； 当时，；当时，； 故命题； 由于是的必要条件，故， 只需满足，即， 即的取值范围是， 10．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. （2）解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 11．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 12．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 14．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．若且，则x，y至少有一个大于1 B． C．的充要条件是 D． 【答案】A 【详解】当且时，，所以当时，x，y至少有一个大于1，所以A正确； 当时，，所以B错误； 当时，可知无法推导，所以不具备充分性，C错误； ，所以，所以D错误； 故选：A. 15．（24-25高一上·上海·期中）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（    ） A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 【答案】D 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解， 故选：D. 16．(多选)（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 【答案】BD 【详解】对于A，一方面若“是分数”，则必定有“是有理数”； 另一方面若“是有理数”，则不一定有“是分数”， 因为“可能是整数”， 所以“是分数”是“是有理数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 17．(多选)（24-25高一上·内蒙古包头·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“且”是“”的充要条件 C．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【详解】对于A，解不等式可得或， 显然是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，即A正确； 对于B，当时，满足，但此时“且”不成立，因此必要性不成立，即B错误； 对于C，由二次方程有一正根一负根可得； 解得，因此“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，即C正确； 对于D，当时，不成立，因此充分性不成立， 当时，可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，即D正确. 故选：ACD 18．（24-25高一上·河北沧州·期末）若“关于的方程在内都有解”是真命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为“关于的方程在内都有解”是真命题， 所以在内都有解． 由，得，所以，所以， 则的取值范围是． 19．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知集合，. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数的取值范围. 【详解】（1）或 根据充分不必要条件的定义可知， 所以或， 解得或， 故实数的取值范围为. （2）由（1）可知，，则集合中含有整数元素-1，0，1， 由集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知 解得， 故实数的取值范围为. 20．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 21．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知二次函数，方程有且仅有一个实数根． (1)求，，的关系； (2)若的图象过点，且图象的对称轴与轴正半轴相交．证明：方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为． 【详解】（1）由题设有且仅有一个实数根， 则，所以. （2）由题设，结合（1）有， 若的两个不同实根分别为， 所以，即， 由两根之和大于2，即，故，则， 所以， 综上，， 所以方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 22．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 23．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 24．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，给出如下四个结论： ①；②；③； ④整数、属于同一“类”的充要条件是“”． 其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将整数按照除以5的余数分成5类，每一类组成一个集合，每一组内的数除以5余数都相同，在此基础上，可以对下面四个命题依次判断. 【详解】①，错误； ②，错误； ③，对； 每个整数除以5后的余数只有，没有其他余数，故原命题成立. ④整数、属于同一“类”的充要条件是“”，对； 证明④：（充分性）， 不妨 （必要性） 即除以5后余数相同，属于同一“类” 故选：B 25．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【解析】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 26．（24-25高一上·浙江杭州·期中）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，求和； (2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围； (3)证明：“”的充要条件是“”. 【详解】（1）因为，且， 所以，； （2），，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 又对，恒成立， 所以，即的取值范围为. （3）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的充分条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. 22 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 充分条件与必要条件 能判断充分性和必要性，能根据充分性或必要性求参 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 全称量词命题和存在量词命题的否定 能写出全称量词命题和存在量词命题的否定 高频考点，常出现在选择题，填空题 全称量词命题和存在量词命题的真假 能根据全称量词命题和存在量词命题的真假及其否定的真假求参 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01充分条件、必要条件与充要条件的概念 1．必要条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件，即q⇒p. 2．充分条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件，即p⇒q. 3．充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 4．从逻辑关系上看充分条件与必要条件 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. ·示例：如p:，显然且，所以是的必要不充分条件. 知识点02全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词及全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对中任意一个,有成立”，可用符号简记为“” 2.存在量词及存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在中的一个,有成立”，可用符号简记为“” ·易错点：有些命题省略了全称量词或存在量词，这就需要根据命题所描述对象的特征，挖掘隐含的量词，例如全称量词命题“正方形都是矩形”就省去了全称量词“所有的”. 知识点03 全称量词命题、存在量词命题的否定 1.全称量词命题的否定 全称量词命题p:∀x∈M，p(x), 它的否定: 注意：全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.存在量词命题的否定 存在量词命题p: ∃x0∈M，p(x0)， 它的否定:∀x∈M，, 注意：存在量词命题的否定是全称量词命题. 3．命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． ·示例：如命题 “”，则为： 题型一 充分性与必要性的判断 解｜题｜技｜巧 1．定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； 2．集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A ⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B ⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A ⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B ⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件. 3．递推法 由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系． 考向1：定义法 【典例1-1】（24-25高三上·江苏连云港·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向2：集合法 【典例1-2】.（24-25高一上·江西上饶·期中）已知集合．设，下列说法正确的是（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 考向3：递推法 【典例1-3】已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1-1】（25-26高一上·江苏·开学考试）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（多选）（24-25高一上·海南儋州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．命题“若，则”的否定是“若，则” C．设，则“”是“”必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 题型二 充分、必要条件的探求（跨章节） 解｜题｜技｜巧 探求一个命题成立的充分、必要条件问题，首先要确定“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件，将充要条件等价转化仍得“结论”的充要条件. 易｜错｜点｜拨 当条件在后，结论在前时，常调整为条件在前，结论在后，再探究条件和结论之间的充分性与必要性 【典例2-1】（24-25高一上·陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高三上·甘肃·期中）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，则使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 题型三 根据充分性、必要性求参数(跨章节) 解｜题｜技｜巧 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 易｜错｜点｜拨 要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【典例3-1】（24-25高一上·江苏·期中）已知集合， (1)若，求实数m的取值范围; (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【典例3-2】（24-25高一上·全国·期中）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 【变式3-1】.（24-25高一上·全国·期中）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高三上·北京顺义·期中）已知，且；，且. (1)是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式3-3】已知非空集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型四 判断全称量词（存在量词）命题的真假 解｜题｜技｜巧 1.全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. 2.存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 【典例4】设有下面四个命题，其中真命题为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五 全称量词（存在量词）命题的否定 解｜题｜技｜巧 方法可巧记为：变量词，否结论. 易｜错｜点｜拨 注意写出含有一个量词的命题的否定时，只能否定结论，不能否定量词后紧接着的条件. 【典例5-1】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【典例5-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题，则命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·广东·阶段练习）命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六 根据全称量词（存在量词）命题的真假求参(跨章节) 解｜题｜技｜巧 1．全称量词命题可转化为恒成立问题； 2．存在量词命题可转化为存在性问题； 3．全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 【典例6-1】若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 【典例6-2】（23-24高二下·湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【变式6-1】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 期中基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高一上·福建福州·期中）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·云南曲靖·期阶段练习）命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆万州·期中）在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（多选）（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 7．（多选）（2025高二下·陕西西安·学业考试）下列说法错误的是（   ） A．函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．最小值是4 D．是的充分不必要条件 8．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 9．设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是 . 10．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合. (1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 11．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 14．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．若且，则x，y至少有一个大于1 B． C．的充要条件是 D． 15．（24-25高一上·上海·期中）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（    ） A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 16．(多选)（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 17．(多选)（24-25高一上·内蒙古包头·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“且”是“”的充要条件 C．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 18．（24-25高一上·河北沧州·期末）若“关于的方程在内都有解”是真命题，则的取值范围是 ． 19．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知集合，. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若集合中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数的取值范围. 20．已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知二次函数，方程有且仅有一个实数根． (1)求，，的关系； (2)若的图象过点，且图象的对称轴与轴正半轴相交．证明：方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 22．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，给出如下四个结论： ①；②；③； ④整数、属于同一“类”的充要条件是“”． 其中正确的结论个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 26．（24-25高一上·浙江杭州·期中）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，求和； (2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围； (3)证明：“”的充要条件是“”. 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $