3.4.1判断空间直线、平面的位置关系（教学课件）数学沪教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量判断直线、平面位置关系，通过复习平面向量坐标运算（如平行、垂直的坐标条件）导入，搭建平面到空间的知识迁移支架，以问题链引导探究向量表示线、面的方法，衔接前后知识。 其亮点在于问题驱动式探究设计，结合正方体、长方体等几何体实例（如证明面面垂直），强化数学抽象与直观想象。小结系统归纳线线、线面、面面关系的向量条件，助力学生掌握转化思维，教师可借助分层练习提升教学效率。

3.4.1判断空间直线、平面的位置关系 第三章 空间向量及其应用 学习目标 教学重点：掌握用空间向量解决立体几何中平行、垂直及夹角、距离等问题的方法。教学难点：实现立体几何与空间向量运算的转化，尤其是复杂场景下的模型构建。。 理解空间向量在立体几何中的应用逻辑； 掌握用向量解决平行、垂直、夹角、距离具体方法； 提升用向量法解决几何问题的能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：几何问题抽象为向量模型； 逻辑推理：向量条件与几何结论的关系； 数学运算：准确进行向量运算解决问题； 直观想象：结合空间模型理解向量坐标； 数学建模：用向量模型解决几何问题。 新知引入 设，，则 新知探究 思考：我们已经利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题．那么能否运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题？ 对应关系 点 直线 平面 ? 对应关系 空间向量 立体几何 平面向量 新知探究 问题1：如何用向量表示空间中直线？ 如图, 是直线的方向向量，设是直线上的任意一点，则点在直线上的充要条件是存在实数 ，使得即. 直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量。 追问：直线的方向向量是不是唯一的？ 新知探究 问题2：如何用向量表示空间中的平面？ 两条相交直线可以确定一个平面，那用向量表示平面需要？ 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ α OP=xa+yb P 新知探究 问题2：如何用向量表示空间中的平面？ α OP=xa+yb P 点与向量，不仅可以确定平面，还可以表示出内的任意一点， =++ 上式称为空间平面的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 新知探究 追问：能否用一个向量表示空间中的平面？ 给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的. 用点和直线的方向向量来确定平面？ 如图, 直线取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量。即： 平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量。 给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 新知探究 思考：既然点线面均可用向量表示，那是否可以利用向量进一步研究点线面间的位置关系呢？ 问题3：由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？ 垂直呢？ 两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直 证明：根据投影定义，，所以。由于是直线的方向向量，再取的任意一个方向向量，则，即.又因为，所以 由此推出： 典例精讲 例1：证明：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线 在平面上的投影垂直。 已知：如图，是平面的一条斜线，是在上的投影，直线在平面上 求证：当且仅当 新知探究 问题5：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？ 垂直呢？ 直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量。 新知探究 问题6：由平面与平面的平行关系，可以得到着两个平面的法向量有什么关系呢？面面垂直呢？ 两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直； 两个平面平行的充要条件是他们的法向量平行。 典例精讲 例2：如图，在正方体中，求证: (1) 平面，平面； (2) 平面平面。 证明：（1）设正方体的棱长为。以点为原点，分别以、与的方向为与轴的正方向，建立空间直角坐标系，则得到正方体各顶点的坐标如下： 、 据此求出直线、、、与的方向向量分别为 ，，计算得到 典例精讲 例2：如图，在正方体中，求证: (1) 平面，平面； (2) 平面平面。 证明： 所以，平面，平面 （2）平面与平面有共同的法向量，所以这两个平面平行。 练习巩固 练习1：证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 证明：如图，取平面的法向量，直线的方向向量，. 因为，，所以. 因为 所以对任意点，存在，使得. 从而. 所以，向量也是平面的法向量.故 已知：如图，，，，，. 求证： 练习巩固 变式1：证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 证明：取直线的方向向量，平面的法向量. 因为，所以是平面的法向量. 因为，而是平面的法向量，所以. 所以. 已知：如图，，求证：. 新知探究 线线 线面 面面 使得 使得 ，使得 练习巩固 练习2：如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？ 取，则，. 所以，是平面的一个法向量. 由，，的坐标分别为，，，得 ，. 设点满足则， 所以. 令，得，解得， 此时平面，这样的点存在. 所以，当，即为的中点时，平面. 练习巩固 变式2-1：已知正方体的棱长为2，分别是，的中点，求证：平面平面. 证明：建立如图所示空间直角坐标系，则有 所以， 设是平面的法向量，则，， 即得 令，则，所以. 又平面的法向量 . ，所以平面平面. 练习巩固 变式2-3：如图，在平行六面体中，求证：直线平面. 证明：设，，，则为空间的一个基底， 且，，. 因为 所以 在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点， 存在唯一的有序实数对，使得 所以， 所以是平面的法向量.所以平面. 练习巩固 变式2-4：在四棱锥𝑆−𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐴𝑆⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，且 𝐴𝑆=𝐴𝐵，𝐸是𝑆𝐶的中点.求证：平面𝐵𝐷𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷. 证明：设，建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面的法向量为 易知 ∴即 令，可得平面的一个法向量为. ∵平面，∴平面的一个法向量为 ∵，∴平平面. 小结 线线平行 线面平行 面面平行 使得 使得 小结 线线垂直 线面垂直 面面垂直 ，使得 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $