专题2.2 幂指对三角函数比大小12题型归类（培优热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

专题2.2 幂指对三角函数比大小归类 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：1、比较大小是近年的高考命题热点，这类题目通常不会直接让你计算数值（因为无法直接计算），而是考查你如何灵活运用函数的单调性、图像、临界点、放缩技巧来比较大小。 常用解题策略（“三步法”）： ①定“基准”：寻找一个中间量（基准数），如 等，将要比较的数分别与这个基准数进行比较。 ②判“范围”：估算每个数的大致范围。例如，判断一个对数是否大于0，一个指数是否大于1，一个角度的正弦/余弦值在哪个象限。 ③用“性质”：利用函数的单调性进行变形和比较。有时需要将不同底数的指数或对数化为同底，或者利用幂函数、三角函数的单调性。 2、常用逻辑用语在从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式 出现在其他考点的题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题． 预测2026年：这类题型在2026年高考中出现的概率非常高，预计难度会维持在中等偏上水平；创新点可能在于：①与三角函数更紧密结合：可能会比较如、、这类同时涉及三角函数、幂函数、对数函数的数值。关键在于利用当时的经典不等式 等进行放缩；②与数列、函数零点等知识结合：题目背景可能更为复杂，例如置于某个数列或函数问题的情境中。 题型01 幂指数函数性质 解｜题｜策｜略 1 指数函数的值域是，当时单调递增，当时单调递减； 2 常见幂函数的图象与性质 3 若比较大小的幂可化为同底，则化为同底再利用指数函数单调性比较大小；若比较大小的幂可化为同指数，则化为同指数再利用幂函数单调性比较大小。 1（25-26高三上·天津滨海新·期中）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·甘肃白银·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3（25-26高三上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型02 对数函数性质 解｜题｜策｜略 1 对数函数的图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 2 比较大小的对数可化为同底，则化为同底再利用对数函数单调性比较大小. 1（25-26高三上·云南昭通·月考）设，则（    ） A． B． C． D． 2（25-26高三·江苏无锡·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3（25-26高三上·河北唐山·期中）设，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 三角函数性质 解｜题｜策｜略 三角函数的图象与性质 图像 定义域 值域 最值 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 既无最大值 也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 在上是增函数； 在上是减函数. 在上是增函数 2 注意三角函数和的有界性。 1（24-25高三·云南保山·月考）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·湖北·月考）已知实数，且满足，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型04 临界值型：0与1分界 解｜题｜策｜略 在比较数值大小时，若无法直接利用指对幂函数单调性比较，常常用到估值的方法，在估值时，会优先考虑与. 1（25-26高三上·江苏南通·月考）对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2（25-26高三·湖北·月考）已知则（    ） A． B． C． D． 3（20-21高三上·山东青岛·期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（    ） A．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜n＜p D．n＜m＜p 题型05 临界值型：中间值 解｜题｜策｜略 在比较数值大小时，若利用和估值还是无法比较出大小，则可能需要引入其他的中间值，此时要根据数值的特点而决定，可利用分析法辅助判断。 1（25-26高三上·福建漳州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2（25-26高三上·辽宁·月考）已知，，，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 3（2025·河北秦皇岛·二模）已知，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型06 做差比较法 解｜题｜策｜略 1比较两个式子（数值）与的大小，可用作差法，转化为与的比较； 2 作差的过程往往要用到因式分解。 1（25-26高三上·广东惠州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2（25-26高三·山东临沂·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知，则，，的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 题型07 做商比较法 解｜题｜策｜略 1比较两个式子（数值）与的大小，可用作商法，转化为与的比较； 2 一般式子是幂的形式，会考虑作商法； 3 作商的过程往往要用到因式分解，还有一点是否一定大于或小于要明确。 1（25-26高三上·全国·课前预习）已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3（25-26高三上·福建泉州·月考）已知､､，且，则的大小关系为： （用“”连接） 4（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）若，则以下大小关系可能成立的有（   ） A． B． C． D． 题型08 构造函数：对数型 解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含有对数，可考虑对数型函数； 3 利用同构变形也可以，比如 . 1（2025·全国·模拟预测）已知，，，e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2（2025·河南南阳·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 3（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知函数，，，，则（   ） A． B． C． D． 4（25-26高三上·四川乐山·月考）若则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型09 构造函数：指幂型 解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含幂的形式，可考虑指数型函数； 3 利用同构变形也可以，比如. 1（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三·安徽铜陵·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3（2024·安徽·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4（25-26高三上·湖北孝感·月考）设，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型10 构造函数：三角函数线性型 解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含三角函数的形式，可考虑三角函数型函数。 1（25-26高三上·北京·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3（25-26高三上·四川遂宁·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4（2025·湖北武汉·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型11 根据等式关系比较大小 解｜题｜策｜略 题中给到关于，,的等式，再比较它们的大小；此时先思考是否可根据等式得到，,的数值或者它们 之间的关系，再想是否可以通过数形结合的方法确定它们数值的范围，或者根据各等式之间的特殊形式 通过构造函数再比较大小。 1（多选）（25-26高三上·山东青岛·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 2（2025高三·全国·专题练习）已知正实数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3（多选）（24-25高三·黑龙江·月考）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 题型12 泰勒公式法 解｜题｜策｜略 1 麦克劳林公式 虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式, 仅仅是取的特殊 结果, 由于麦克劳林公式使用方便, 在高考中经常会涉及到. 2 常见函数的麦克劳林展开式 (1) (2) (3) (4) 3 利用泰勒公式法，主要就是对数值进行估值，估值的程度要根据数值之间的差距。 1（25-26高三·广东广州·月考），，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2（25-26高三上·广东·月考）已知，则(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 3（25-26高三·湖南·月考）设, 则 ( ) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b （建议用时：60分钟） 1（24-25高三上·四川泸州·月考）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2（25-26高三上·天津南开·期中）已知幂函数的图象过点，设，，，则（   ）. A． B． C． D． 3（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4（25-26高三上·河北沧州·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5（2024·甘肃·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 6（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 7（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8（24-25高三上·重庆·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 9（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10（25-26高三·湖北·月考）已知x，y，z都是大于1的正数，且，令，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11（24-25高三·湖北·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12（2025高三·全国·专题练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 13（25-26高三上·贵州遵义·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 14（多选）（25-26高三上·浙江丽水·月考）设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 15（多选）（2024·湖北·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 幂指对三角函数比大小归类 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：1、比较大小是近年的高考命题热点，这类题目通常不会直接让你计算数值（因为无法直接计算），而是考查你如何灵活运用函数的单调性、图像、临界点、放缩技巧来比较大小。 常用解题策略（“三步法”）： ①定“基准”：寻找一个中间量（基准数），如 等，将要比较的数分别与这个基准数进行比较。 ②判“范围”：估算每个数的大致范围。例如，判断一个对数是否大于0，一个指数是否大于1，一个角度的正弦/余弦值在哪个象限。 ③用“性质”：利用函数的单调性进行变形和比较。有时需要将不同底数的指数或对数化为同底，或者利用幂函数、三角函数的单调性。 2、常用逻辑用语在从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式 出现在其他考点的题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题． 预测2026年：这类题型在2026年高考中出现的概率非常高，预计难度会维持在中等偏上水平；创新点可能在于：①与三角函数更紧密结合：可能会比较如、、这类同时涉及三角函数、幂函数、对数函数的数值。关键在于利用当时的经典不等式 等进行放缩；②与数列、函数零点等知识结合：题目背景可能更为复杂，例如置于某个数列或函数问题的情境中。 题型01 幂指数函数性质 解｜题｜策｜略 1 指数函数的值域是，当时单调递增，当时单调递减； 2 常见幂函数的图象与性质 3 若比较大小的幂可化为同底，则化为同底再利用指数函数单调性比较大小；若比较大小的幂可化为同指数，则化为同指数再利用幂函数单调性比较大小。 1（25-26高三上·天津滨海新·期中）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得出的大小关系. 【详解】由在上递增，则， 由在上递增，则．所以． 故选：C 2（24-25高三上·甘肃白银·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 3（25-26高三上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数的单调性判定即可． 【详解】由单调递增， 则可知， 由单调递增， 又，可得 所以． 故选：C． 题型02 对数函数性质 解｜题｜策｜略 1 对数函数的图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 2 比较大小的对数可化为同底，则化为同底再利用对数函数单调性比较大小. 1（25-26高三上·云南昭通·月考）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小 【分析】对于和0作比较，变形和利用幂函数的性质比较并与0比较，得到答案. 【详解】, 又 在 上单调递增, , 所以 , 所以 ， 故选：D. 2（25-26高三·江苏无锡·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小 【分析】由幂函数和对数函数的单调性进行比较即可. 【详解】∵幂函数在区间上单调递减， ∴，即， ∵对数函数在区间上单调递增， ∴，即， 综上所述，，，的大小关系为. 故选：D. 3（25-26高三上·河北唐山·期中）设，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】由于，，，再利用对数的性质比较即可得结论. 【详解】，，， 又，，，， 所以， . 故选：D. 题型03 三角函数性质 解｜题｜策｜略 三角函数的图象与性质 图像 定义域 值域 最值 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 既无最大值 也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 在上是增函数； 在上是减函数. 在上是增函数 2 注意三角函数和的有界性。 1（24-25高三·云南保山·月考）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较正切值的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小 【分析】根据三角函数值域及指对数运算比较大小. 【详解】，；，； 又，所以，， 故选:A． 2（24-25高三上·湖北·月考）已知实数，且满足，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小、比较余弦值的大小、比较正弦值的大小 【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得，通过对应函数的单调性，判断选项中的大小关系是否正确. 【详解】时，，余弦函数在上单调递增， 由，得，则有. 正弦函数在上单调递增，则有，A选项错误； 幂函数在上单调递减，则有，B选项错误； 设函数，由，在上单调递减， ，则有，即，C选项错误； 幂函数是偶函数，在上单调递减，，D选项正确. 故选：D. 3（25-26高三上·江苏·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】由得的取值范围，再利用指数函数和幂函数的单调性判断的大小关系,即可选出正确答案. 【详解】因为所以,所以. 所以是t的减函数,所以. 是增函数,所以 所以 故选: B. 题型04 临界值型：0与1分界 解｜题｜策｜略 在比较数值大小时，若无法直接利用指对幂函数单调性比较，常常用到估值的方法，在估值时，会优先考虑与. 1（25-26高三上·江苏南通·月考）对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由题意可得在区间上单调递增，再利用幂函数及对数函数性质得到，从而可求解. 【详解】由题意知对任意，均有成立， 所以在区间上单调递增， 由幂函数的性质知其为增函数，因为，所以， 又因为，所以， 则，即，故C正确. 故选：C. 2（25-26高三·湖北·月考）已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、利用余弦函数的单调性求参数、比较对数式的大小 【分析】利用余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间量进行比较大小. 【详解】因为，所以，所以函数单调递减， 则， 因为函数单调递减，由有： ， 因为函数在上单调递增，由有：， 所以. 故选：C. 3（20-21高三上·山东青岛·期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（    ） A．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜n＜p D．n＜m＜p 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、对数函数单调性的应用 【分析】根据幂函数，对数函数的单调性判定即可. 【详解】由于幂函数在单调递增， 故， 又，， ∴0＜p＜m＜1， 由对数函数在单调递减， 故，∴n＜p＜m． 故选：B 题型05 临界值型：中间值 解｜题｜策｜略 在比较数值大小时，若利用和估值还是无法比较出大小，则可能需要引入其他的中间值，此时要根据数值的特点而决定，可利用分析法辅助判断。 1（25-26高三上·福建漳州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小 【分析】根据幂函数单调性判断的大小，根据指数函数和对数函数的单调性判断的大小，则结果可知. 【详解】因为，且在上单调递增，所以，所以， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，所以， 由上可知，， 故选：A. 2（25-26高三上·辽宁·月考）已知，，，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、指数幂的化简、求值 【分析】因为，，，故只需比较，，的大小，结合指数幂的运算性质及幂函数的单调性即可得出结果． 【详解】因为，，，故只需比较，，的大小， ∵，，∴，即； ∵，，∴，即； ∴，又在上递增． ∴，即． 故选：B． 3（2025·河北秦皇岛·二模）已知，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得答案. 【详解】由题， ，且， ， 综上，，即. 故选：B. 题型06 做差比较法 解｜题｜策｜略 1比较两个式子（数值）与的大小，可用作差法，转化为与的比较； 2 作差的过程往往要用到因式分解。 1（25-26高三上·广东惠州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差、换底变形比较大小即可. 【详解】，， ， 所以 ， 因为， 所以，即，又，可得. 故选：B. 2（25-26高三·山东临沂·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】首先根据对数运算性质得，再利用对数函数单调性得，再作差换底变形比较大小即可. 【详解】，， 因为在上单调递增，则， 则，显然， 则， 则，即，结合知. 故选：B. 3（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知，则，，的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】设，分别讨论情况下的关系，进而得出结果. 【详解】设，则 当时，，选项A正确； 当时，，，， 所以，， ， 由此可得，选项B正确； 当时，同理可得，选项C正确. 故选：D. 题型07 做商比较法 解｜题｜策｜略 1比较两个式子（数值）与的大小，可用作商法，转化为与的比较； 2 一般式子是幂的形式，会考虑作商法； 3 作商的过程往往要用到因式分解，还有一点是否一定大于或小于要明确。 1（25-26高三上·全国·课前预习）已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】将已知条件变形得到，再通过作商法比较的大小，最后利用对数函数的性质即可求解. 【详解】 ， ， 则，故， 又，，故， ，． 故选：D. 2（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、利用导数证明不等式 【分析】使用基本不等式证明，从而得，使用证明，再证明可得. 【详解】由题知、均在和之间， ，于是， 当时，令，则， 所以在上为减函数， 故，故， 所以， ，于是. 所以. 故选：C 3（25-26高三上·福建泉州·月考）已知､､，且，则的大小关系为： （用“”连接） 【答案】 【知识点】比较对数式的大小 【分析】利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出的大小关系. 【详解】令， 则， 则，得； 由，得. 从而可得. 故答案为： 4（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）若，则以下大小关系可能成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】先对等式取对数，可得到类似的式子，通过都是正数，和都是负数，讨论即可. 【详解】由于，取常用对数得：，易知同号或者. 当都是正数，由可得（其中）， 因为，所以，故， 所以，即，故A选项可能成立； 当都是正数，由于，取常用对数得：， 则，同时由于对数函数在定义域上是增函数， 进而，所以； 同理，进而，所以； 所以，故C选项可能成立； 当都是负数，由于，取常用对数得：， 同时由于对数函数在定义域上是增函数， 则，则，则，则， 即，故B选项可能成立； ，所以；同理，进而， 所以，所以，D不可能成立， 故选：ABC 题型08 构造函数：对数型 解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含有对数，可考虑对数型函数； 3 利用同构变形也可以，比如 . 1（2025·全国·模拟预测）已知，，，e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小 【分析】首先根据幂函数的单调性判断出，然后构造函数，运用函数的单调性得出，即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即. 令， 则，当时，，单调递减.因为，所以，即，得，故，所以， 综上，， 故选：B. 2（2025·河南南阳·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】表示出，并适当变形，观察式子，构造函数,，利用导数即可证明当时，有，，从而即可比较大小. 【详解】得. 由得， 又. 取，则. 设， 则， 所以在区间内单调递增， 又，则， 即，所以. 令， 则， 所以在区间内单调递增， 则， 故，则，即， 所以. 故选：A. 3（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知函数，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】分析函数的单调性和奇偶性，再设，分析的单调性，可得的大小关系. 【详解】对，, ， 所以函数为偶函数. 当时，，因为，所以. 所以在上单调递减. 设，，所以. 由 ，由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 又 ，所以. 所以. 所以. 又因为. 所以. 故选：C 4（25-26高三上·四川乐山·月考）若则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】利用对数运算比较和的大小，利用构造函数结合导数判断单调性比较的大小，由此得到大小关系. 【详解】， ， ， 因为，所以，即 因为，即， 因为， 构造函数， 求导， 当时，，只需分析分子的正负， 设，求导， 因为，所以，则，所以在上单调递增， 那么当时，，即， 所以分子，则，所以在上单调递减， 且，所以，即， 综上可得. 故选：C. 题型09 构造函数：指幂型 解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含幂的形式，可考虑指数型函数； 3 利用同构变形也可以，比如. 1（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】本题可通过构造函数，利用函数单调性比较、与的大小关系. 【详解】设，则，由可得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，故的极小值为， 故（当且仅当时取等号），故，即； 由可得（当且仅当时取等号），故，即， 故． 故选：B. 2（24-25高三·安徽铜陵·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】先证明、，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】现在证明一个不等式：， 设,则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故当时，. 已知，由可得， 而， 故. 故选：D. 3（2024·安徽·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，即可得解. 【详解】由， 即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 则有，即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 则有，即， 故. 故选：A. 4（25-26高三上·湖北孝感·月考）设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定a与b，b与c，c与d，b与d大小关系. 【详解】，，，， 对于A，设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 则恒成立，所以在上单调递增， 则，即，所以，故A错误； 对于B，设，则， 故在上单调递增， 则， 整理得，所以，故B错误； 对于D，设， 则， 当时，，所以在上单调递增， 所以有，即， 所以，则，故D错误； 由前面可知，所以，故C正确. 故选：C 题型10 构造函数：三角函数线性型 解｜题｜策｜略 1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法； 2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含三角函数的形式，可考虑三角函数型函数。 1（25-26高三上·北京·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先由函数的单调性得到，再由放缩法得到即可得解. 【详解】令，则恒成立， 所以函数在R上单调递减，所以， 又，故. 故选：C 2（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较正弦值的大小 【分析】利用构造函数法，结合导数判断出的大小关系，利用对数、指数运算判断出的关系，进而确定正确答案. 【详解】构造函数， 所以在上单调递增，所以， ，； 故只需比较与；也即比较与； 也即比较与， 而，， 所以，所以. 综上所述，. 故选：B 3（25-26高三上·四川遂宁·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小 【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到，再构造函数，得到其单调性，得到，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合对数函数单调性得到，比较出大小. 【详解】因为，而在上单调递减， 故， 又在上单调递增， 故， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增，， 故，即， 故， 又，令， 则，当时，，单调递减， 故，故， 因为，所以，即， 因为在上单调递增， 故， 又，故， 故 故选：D 4（2025·湖北武汉·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案. 【详解】设，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 又，则， ，所以， 对于，令，则， 此时， 所以. 故选：A. 题型11 根据等式关系比较大小 解｜题｜策｜略 题中给到关于，,的等式，再比较它们的大小；此时先思考是否可根据等式得到，,的数值或者它们 之间的关系，再想是否可以通过数形结合的方法确定它们数值的范围，或者根据各等式之间的特殊形式 通过构造函数再比较大小。 1（多选）（25-26高三上·山东青岛·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小 【分析】设，则，，利用幂函数的单调性能求出结果． 【详解】设， 则，可得， 因为，则，则在内单调递减， 所以，，即，. 故选：AB． 2（2025高三·全国·专题练习）已知正实数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小 【分析】将变形得，由，进而判断与的大小，又得，即，进而求解. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以，所以， 即，所以； 又，结合， 可得 ，而， 所以 ，即， 两边同时取对数得，即， 则必有， 所以． 故选：A． 3（多选）（24-25高三·黑龙江·月考）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由基本不等式比较大小、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】利用基本不等式结合对数换底公式可判断A，利用构造单调函数来比较大小可判断BCD． 【详解】对于A. ，故A正确； 对于B. 由于为上的增函数，， 即，所以， 即，故B正确； 对于C.设，显然为上的减函数， 又， ，，即， 故，即，，故C错误； 对于D.先证明且时，是单调递减的。 ，， 这样 所以，故，即 设，因为在上递增， 所以,故D错误 故选：AB. 4（2025·广东·模拟预测）设，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】令，可得x，y，z的表达式，取，根据对数函数的单调性，可得x最大，分别比较与和与的大小，即可判断A的正误；取，根据对数函数的单调性，分析比较，可判断B的正误；取极小正数，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C的正误；求出成立的必要条件是，构造函数，利用导数求得的单调性，根据对数的运算性质，可得和不可能同时成立，即可判断D的正误. 【详解】令，则，，．其中． 取，此时，， ，此时x最大． 又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故． 同理比较与，可得，故，故． 综上，当时，．故A是可能的． 取．此时，，，故且． 比较y和z，即与，，且是增函数， 所以，又底数，所以，故． 综上，当时，．故B是可能的． 取极小正数，取，此时，，，易知x最小． 现在比较和，即比较与，即和，比较和， 易知，故． 综上，取，．故C是可能的． 下面证明D选项不可能．若，则和同时成立． 若，则． 当时，，当时，， 同理可得，故存在，使得， 所以成立的必要条件是． 若，则，设， 则，且取时，， 等价于， 又，等价于，，易知其在时成立， 已证当时，，所以在上单调递增， 因为，所以当时，，即恒成立， 故和不可能同时成立，即D不可能． 故选：D． 题型12 泰勒公式法 解｜题｜策｜略 1 麦克劳林公式 虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式, 仅仅是取的特殊 结果, 由于麦克劳林公式使用方便, 在高考中经常会涉及到. 2 常见函数的麦克劳林展开式 (1) (2) (3) (4) 3 利用泰勒公式法，主要就是对数值进行估值，估值的程度要根据数值之间的差距。 1（25-26高三·广东广州·月考），，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小 【分析】找中间值进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 由泰勒展开得 ， ， 所以 ， 故，综上所述a，b，c的大小关系是. 故选：C 2（25-26高三上·广东·月考）已知，则(　　) A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 【答案】B 【分析】利用泰勒公式进行估值。 【详解】 使用泰勒公式对，进行估值， 使用泰勒公式 可得， 则， 使用泰勒公式 可得， ∴b>a>c． 故选：B． 3（25-26高三·湖南·月考）设, 则 ( ) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【答案】B 【分析】利用泰勒公式进行估值。 【详解】 ，所以， 以下用泰勒公式判断与的大小， 对想用泰勒公式估值，会想到函数，而它的麦克劳林展开式不熟悉，则需要用麦克劳林公式求出来再估值， ，，， 所以， 则， 实际上，且与的差不超过，影响很小， 使用泰勒公式可得 ， 实际上，且与的差不超过，影响很小， 则此时可判定， 由此可知 故选: B （建议用时：60分钟） 1（24-25高三上·四川泸州·月考）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小 【分析】利用单调性比较A；利用，比较B；利用中间值1比较C；利用，单调性比较D. 【详解】对于A，函数，在上单调递减，因为，所以，故A错误； 对于B， ，，所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C正确； 对于D，函数，在上单调递增，， ，所以，故D错误； 故选：C. 2（25-26高三上·天津南开·期中）已知幂函数的图象过点，设，，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 则，， 根据指数函数单调性知，即， 由上知幂函数的解析式为，函数为上的单调递增函数， 又，所以，即. 故选：B. 3（2025·天津河东·二模）已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数的性质可判断，再由对数函数的性质可判断，即可得出答案. 【详解】因为， ，，且， 故. 故选：A. 4（25-26高三上·河北沧州·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数幂及对数的运算性质得到a，b，c的范围，即可比较大小. 【详解】因为， 而，因为，所以， 又因为，所以，所以； 而 ， 因为，所以， 所以，所以，所以. 综上，可知 故选：A 5（2024·甘肃·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较正弦值的大小 【分析】根据正弦及指数函数性质有，，构造研究的大小，即可得答案. 【详解】因为，故，而， 设，则，所以在上为增函数． 又，所以，即，所以． 综上，． 故选：D 6（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由基本不等式比较大小、比较对数式的大小 【分析】由基本不等式可比较，再比较即可得解. 【详解】因为，且， 所以， 又，所以， 故最大的是d. 故选：D 7（25-26高三上·河北·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小 【分析】利用对数运算，分离“1”之后，结合底数、真数的大小关系，画出图象进行比较即可. 【详解】由，，， 因为，而， 画出的图象，        由图可知，，那么， 则，则，即． 故选：A． 8（24-25高三上·重庆·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得. 【详解】记，则， 可知在上单调递增，则，即， 可得； 又因为，则，即； 所以. 故选：B. 9（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 10（25-26高三·湖北·月考）已知x，y，z都是大于1的正数，且，令，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小、指数幂的运算 【分析】根据条件，可设，由，，均大于1可知，从而可得出，利用幂函数的单调性，从而得出结论． 【详解】由， 令； ，，均大于1； ； ； ； ， ，且 是单调增函数， ， 故选：． 11（24-25高三·湖北·期中）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性可得，构造函数，利用导数可得时，函数单调递减，进而有可得，即得. 【详解】因，故，故， 设，则， 令得，故当时，， 即函数在区间上单调递减， 因，故， 得，即，故， 故选：D 12（2025高三·全国·专题练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】表示出，并适当变形，观察式子，构造函数,，利用导数即可证明，，可比较大小. 【详解】由得， 由得，又． 取，则，，． 设，则， 所以在单调递增，又，则， 即，所以． 令，则，所以在单调递增， 则，故，则，即，所以． 故选：A. 13（25-26高三上·贵州遵义·月考）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用两个经典不等式和即可比较出，再构造函数，再求导利用其单调性即可比较出，则得到三者大小关系. 【详解】由题知，，，，先证在上恒成立， 设，，则， 则在上单调递增，则，则在上恒成立， 则在上恒成立， 故，， 先证明在上恒成立， 设，，则， 则在上单调递减，则，即在上恒成立， 即在上恒成立， 得，得，即. ，，构造函数， ， 在上单调递增，所以， 所以，即，即. 综上，， 故选：A. 14（多选）（25-26高三上·浙江丽水·月考）设，，为正实数，且，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】令，，讨论根据的单调性确定大小关系. 【详解】令，则，，， 所以， 当时，，故B正确； 当时，由函数在上为增函数知，所以，故A正确； 当时，由函数在上为减函数知，所以，故C正确D不正确； 故选：ABC 15（多选）（2024·湖北·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】基本初等函数的导数公式、对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】将，变形作差，可得，设，，求导判断函数的单调性即可判断；将变形，可得，设，，求导判断函数的单调性即可判断；根据，即可判断. 【详解】，， ， 令，， 则，在上单调递减， 所以，即，故正确； 因为，所以， 令，， 则，在上单调递减，所以， 即，故正确， 因为，，所以，故正确. 故选：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $