精品解析：山东省临沂市兰山区2025-2026学年高二上学期11月学科素养水平监测数学试题

2024级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 内含 3. 若，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 4. 直线与平行，则（ ） A. B. C. 2 D. 或2 5. 在直三棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 7. 若，，动点满足，则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 8. 设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，l过坐标原点 B. 当时，l的倾斜角为 C. 当时，l与两条坐标轴都相交 D. 当，时，l经过第一、二、四象限 10. 若，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 最大值为 C. 椭圆C的焦距为1 D. 不存在点，使得 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，直线，则 C. 若是圆上的一个动点，且，则 D. 若为坐标原点，动点满足，则的轨迹与曲线围成的区域面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若空间向量，，则______. 13. 设、分别是直线和圆上的动点，则的最小值为______. 14. 在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，，. （1）求圆M的方程； （2）过点作圆的切线l，求l的方程. 16. 如图，在平行六面体中，且. （1）求的长度； （2）求证：平面. 17. 已知椭圆过，离心率为. （1）求的方程； （2）若的上顶点为，则上是否存在一点，使得的面积最大.若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由. 18. 如图1，在中，，，分别是，上的两点，且，，将沿折起至的位置，平面平面，如图2所示. （1）求证：平面； （2）若二面角大小为. （i）求与平面所成角； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的位置；若不存在，说明理由. 19. 已知圆，定点为圆内一点，点为圆上任意一点.线段的垂直平分线交于，当点在圆上运动时，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）若直线，与交于，两点，与轴交于点. （i）求的最小值； （ii）若以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点均在的内部（包括在边界上），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】取计算得到答案. 【详解】，取得到，即直线在轴上的截距为. 故选：C. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出两圆圆心及半径后，比较其半径之和与圆心距离的关系即可得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则，， 则，故两圆内切. 故选：C 3. 若，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算表示出的坐标，再利用向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得. 故选：A 4. 直线与平行，则（ ） A. B. C. 2 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】由直线一般式方程平行的充要条件列式计算即可求解. 【详解】直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与平行，符合题意； 当时，直线与重合，不符合题意，舍去. 故直线与平行，则. 故选：B 5. 在直三棱柱中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以C为原点，以分别为轴，建立如图所示直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 6. 若直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时的直线与的位置关系，即可得结果. 【详解】直线即恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5，所以. 故选：A 7. 若，，动点满足，则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的轨迹方程为圆，数形结合得高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】设，由， 得，化简整理得， 即点的轨迹方程为圆，半径为， 由于，所以当边上高最大时，的面积最大， 所以. 故选：D 8. 设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积. 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，l过坐标原点 B. 当时，l的倾斜角为 C. 当时，l与两条坐标轴都相交 D. 当，时，l经过第一、二、四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】原点坐标适合直线方程判断A；方程变形为可判断BC；选项D，化简直线方程为，结合且，判断D. 【详解】选项A，当时，是方程的解，即l过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，由不全为0得， 直线的方程可化为垂直x轴，所以l的倾斜角为，故B正确； 选项C，当，时，直线垂直x轴，与y轴平行，不与y轴相交，故C错误； 选项D，由直线，可得， 因为，，所以，则直线斜率，且， 所以直线经过第一、二、四象限，故D正确. 故选：ABD. 10. 若，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则（ ） A. 椭圆C的长轴长为 B. 最大值为 C. 椭圆C的焦距为1 D. 不存在点，使得 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得，即可求解长轴长和焦距判断AC；利用二次函数性质求解最值判断B；利用焦点三角形性质及余弦定理求得为锐角判断D. 【详解】由椭圆可知，，，所以， 所以椭圆C的长轴长为，焦距为2，所以选项AC错误； 设，，则， 所以时，取到最大值为，故选项B正确； 当P为椭圆短轴顶点时，最大，此时 ，即为锐角， 故不存在点，使得，故选项D正确. 故选：BD． 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，直线，则 C. 若是圆上的一个动点，且，则 D. 若为坐标原点，动点满足，则的轨迹与曲线围成的区域面积是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据定义可判断项；取特殊点，结合定义可判断项；根据定义可确定点的轨迹，再结合曲线方程画出图象，求对应面积即可. 【详解】根据定义知，故正确； 设直线上的点，则根据定义知， 因为，所以，故错误； 在圆上取点，则根据定义知： ，故错误； 设，则，所以点的轨迹是以原点为中心，以为边长的正方形. 曲线，根据方程易知曲线图象既关于轴对称，又关于轴对称，也关于原点成中心对称， 当且时，化简得，即，表示以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分. 结合对称性质可作出图象，如图所示： 则所求为阴影部分，其面积为，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若空间向量，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积公式及夹角公式求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 13. 设、分别是直线和圆上的动点，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据的最小值为圆心到直线的距离减去半径可得结果. 【详解】 圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，，. （1）求圆M的方程； （2）过点作圆的切线l，求l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般式方程概念，以及待定系数法，列出方程组，求出参数，求出结果； （2）根据直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出方程，求出结果即可； 【小问1详解】 设圆M的一般式方程为， 把点，，代入得，解得， 所以圆M的一般式方程为，则标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，圆心，半径为， 则过点的直线l当斜率不存在时，直线方程为，可知到直线的距离为5，此时相切，符合条件； 当直线斜率存在时，设直线，即， 可知点到直线的距离为，解得， 则直线方程为. 16. 如图，在平行六面体中，且. （1）求的长度； （2）求证：平面. 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 所以，同理可证， 又因为平面． 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用基底表示，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【小问1详解】 设， 由于，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆过，离心率为. （1）求的方程； （2）若的上顶点为，则上是否存在一点，使得的面积最大.若存在，求出B点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即得； （2）先得出直线，再设点，应用点到直线距离结合三角形面积公式化简，最后应用三角恒等变换结合辅助角计算最值. 【小问1详解】 依题意有，解得， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为过， 所以直线，且， 由在椭圆上，令， 则到直线的距离， 所以 所以当，即时，； 存在使得的面积最大为. 18. 如图1，在中，，，分别是，上的两点，且，，将沿折起至的位置，平面平面，如图2所示. （1）求证：平面； （2）若二面角大小为. （i）求与平面所成角； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为，所以，因为平面，平面， 所以平面，因为平面，平面平面，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）（i）； （ii）存在， 为的中点，理由如下： 由（i）知，平面，且，以C为坐标原点， 分别以直线CB, CD, 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 由题意知，即， 解得或（舍去）， 所以当为的中点的时候，符合题意； 【解析】 【分析】（1）先利用比例性质得，然后利用线面平行的判定定理得平面，再根据线面平行的性质定理得，最后利用线面平行的判定定理证明； （2）（i）先利用二面角的平面角定义可得，然后再利用线面垂直的判定定理和利用线面角的定义可得即为所求，在直角三角形中求解即可；（ii）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为， ，所以， 所以即为二面角的平面角，即， 因为，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，，所以即， 又平面，所以平面， 所以即为与平面所成角， 又在中，，， 所以，即与平面所成角为； （ii）略 19. 已知圆，定点为圆内一点，点为圆上任意一点.线段的垂直平分线交于，当点在圆上运动时，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）若直线，与交于，两点，与轴交于点. （i）求的最小值； （ii）若以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点均在的内部（包括在边界上），求的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）4；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义即可得，则得到椭圆标准方程； （2）（i）转化得，再根据的范围即可得到最值； （ii）计算出以为直径的圆方程和的垂直平分线方程，联立解出交点坐标，最后代入坐标得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 由题意得圆心，半径为4， ， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆， 则椭圆的标准方程为， 则，， 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）因为,分别为的左右焦点，直线经过的右焦点． 所以， 即，因为， 所以， 即最小值为4． （ii）当时，以为直径的圆方程为：， 的垂直平分线方程为：， 此时显然以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在的内部． 当时，的中点坐标为， 则以为直径的圆方程为：， 的垂直平分线方程为：， ,得或, 因为以为直径的圆与线段的垂直平分线的交点在的内部， 则有，解得或， 综上，取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $