精品解析：天津市北京师范大学天津附属中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

北京师范大学天津生态城附属学校 2026—2027学年度高一年级第一学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每题5分，共45分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性与单调性定义判断． 【详解】和在定义域内不是减函数，A，C选项错误； 是减函数，不是奇函数，D选项错误； 是减函数也是奇函数，B选项正确. 故选：B． 3. 已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义可判断；根据图象一一分析函数的定义域和值域，即可判断其它选项. 【详解】对于，直线与图象有两个交点，不符合函数的定义，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，符合题意，故正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确. 故选：. 4. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B，函数，，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意. 故选：D 5. 下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质结合反例一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，显然不成立，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D错误. 故选：B 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和正负性进行判断即可. 【详解】设， 易知定义域为R,关于原点对称，因为， 所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，因此排除选项B、C. 当时，， 当时，，因此排除选项D， 故选：A 7. 函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，断点为， 当时：，，， 当时：，，， 所以值域为：. 8. 已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意，以及题中函数图像，得到时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果. 【详解】当时，由得；由函数图像可知，； 由函数是定义在上的奇函数，其图像关于原点对称， 所以当时，，此时满足； 当时，，不满足； 当，，此时满足； 综上，不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型. 9. 若函数的最小值为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，要使为函数的最小值，需满足对任意都有.我们将定义域分为和两部分，分别建立关于的不等式求解即可. 【详解】当时，. 若，则该二次函数在处取得最小值，此时，不符合题意； 若，则函数在上单调递减，此时恒成立.因此必有. 当时，.由于，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 若要使对任意恒成立，只需，即，解得. 综上，参数需满足，解得. 二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分． 10. 已知，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求代数式的范围. 【详解】由题设，则. 故答案为： 11. “成立”是“成立”的_____________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的意义判断即得. 【详解】由，得，由，得， 显然， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 12. 已知是偶函数，当时，，则当时，的解析式为______，不等式的解集是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据偶函数的性质由条件求出函数在上的解析式，根据的解析式化简不等式求其解集. 【详解】设，则，则， 因为函数为偶函数，， 所以当时，． 若， 则当时，，化简可得解得； 当时，，化简可得，解得， 所以所求不等式的解集为． 故答案为：，. 13. 已知，，且，则的最小值为__________；此时__________． 【答案】 ①. 9 ②. ## 【解析】 【分析】利用进行恒等变换，最后利用基本不等式进行求解即可. 【详解】，，， 当且仅当时等号成立，即， . 14. 函数在上的最小值为，最大值是2，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用绝对值的定义将函数解析式转化为分段函数的形式，研究函数在各段上的单调性，求得函数取到与时对应的自变量取值，结合闭区间上最值的要求，分析需要满足的范围，最后求出的最大值 【详解】 将函数解析式去绝对值分段表示为： 当时，，该部分图象是对称轴为的二次函数的一部分.令，解得(负值舍去)，即. 当时， 由于，故为奇函数. 由奇函数的对称性可知，. 当时， 综上可知，满足条件的区间有且仅有，此时，，则，故的最大值为. 15. 已知函数，①若对任意，，且都有，则实数的取值范围为__________；②若在上的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知可得在单调递减，利用二次函数的对称轴的位置可得的取值范围； 分、利用单调性可得实数的取值范围. 【详解】若对任意，，且都有，则在单调递减， 则，即，所以实数的取值范围； 当时，若在上的值域为，，解得或（舍去）， 又，所以； 当时，因为在单调递减， 则在上的最大值为，不合题意， 所以实数的取值范围为. 三、解答题：共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程、演算步骤． 16. 已知集合，. （1）若，求; （2）若，求实数的取值集合. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解化简集合,即可根据集合的交集和补集的定义求解， （2）根据，即可分类讨论求解. 【小问1详解】 若，则 或， 或 【小问2详解】 若，则 当时，有，即 当时，，解得 实数的取值集合是 17. 已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解集，确定 1、b是对应方程两根，用韦达定理列方程组求出； （2）代入，因式分解得到两根1和，比较两根大小，分三类讨论写出不等式解集． 【小问1详解】 由题意得： 关于的不等式的解集为或， 所以1，是方程的两根， 则，解得． 【小问2详解】 由（1）知，不等式转化为， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，，开口向上的二次不等式的解集为或． 18. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式． 【答案】（1）1 （2）或2 （3） 【解析】 【分析】（1）由分段函数解析式先求，再求， （2）分，两种情况，由结合分段函数解析式列方程求即可， （3）分，两种情况，由结合分段函数解析式列不等式求其解集. 【小问1详解】 因为，， 所以，因为， 所以， 【小问2详解】 当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 【小问3详解】 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 19. 已知二次函数满足，， （1）求表达式； （2）当，求最大值和最小值； （3）在上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）最大值7，最小值 （3），或. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）根据二次函数的图象与性质计算即可求解； （3）由题意可得，对称轴为，分类讨论对称轴与区间的位置关系，列出最小值，即可求解. 【小问1详解】 设（）， 因为，所以，则. 又， 得， 展开得， 所以，解得，， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的最大值3，最小值. 【小问3详解】 ， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，在上单调递减， 此时，解得，符合题意； 当时，在上单调递增， 此时，解得，符合题意； 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时， 整理得，解得，不符合题意. 综上，或. 20. 已知函数． （1）若判断的奇偶性并加以证明． （2）当时， ①用定义法证明函数在上单调递增； ②设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数. 证明： 定义域为关于原点对称， ，故该函数为奇函数． （2）①证明：， 任取， ， 因为，所以，，故， 即，故在上单调递增； ② 【解析】 【分析】（1）先化简，求出定义域，再通过证明是奇函数； （2）①用定义证明单调性； ②转化已知条件为在上的最大值小于等于在上的最大值，再对一次函数求最值列不等式求解． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①略. ②对任意的，总存在，使得， 等价于在上的最大值小于在上的最大值，即， 由①知，在上递增，故， 故只需， 当时，显然成立， 当时，在上单调递增，则， 解得，故； 当时，在上单调递减，则， 由得，故恒成立，故； 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学天津生态城附属学校 2026—2027学年度高一年级第一学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每题5分，共45分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（    ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的最小值为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分． 10. 已知，则的取值范围是_____. 11. “成立”是“成立”的_____________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 12. 已知是偶函数，当时，，则当时，的解析式为______，不等式的解集是______． 13. 已知，，且，则的最小值为__________；此时__________． 14. 函数在上的最小值为，最大值是2，则的最大值为__________． 15. 已知函数，①若对任意，，且都有，则实数的取值范围为__________；②若在上的值域为，则实数的取值范围为__________． 三、解答题：共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程、演算步骤． 16. 已知集合，. （1）若，求; （2）若，求实数的取值集合. 17. 已知关于的不等式的解集为或． （1）求，的值； （2）当时，解关于的不等式． 18. 已知 （1）求的值； （2）若，求的值； （3）解不等式． 19. 已知二次函数满足，， （1）求表达式； （2）当，求最大值和最小值； （3）在上的最小值为，求实数的值. 20. 已知函数． （1）若判断的奇偶性并加以证明． （2）当时， ①用定义法证明函数在上单调递增； ②设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $