辽宁省大连市滨城联盟2025-2026学年高三上学期12月期中Ⅱ联考数学试卷

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中I考试 数学试卷 命题人：大连一中高志岩校对人：大连一中贾天雷 一单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求) 1.已知复数z满足z(1+i)=1-2,则z的虚部为() A.i B.-i C.1 D.-1 2.设a,B是两个不同平面，m,n是两条不重合直线，若mc,nc,则“a∥B”是 “m/1B,nlB”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量a,五满足a=3,=V5，且ā1(a-35),设a,6的夹角为0，则cos20= A.5 C.3 D.- 3 5 5 5 5 已知函数了(=Acs0r一写引4>00>0)的部分图象如图所示（为图象与x轴的 4. 一个交点，Q为图象的一个最高点)，且P可=“，2)，则f(x)的一个对称中心可以是 ( (0(50c(0）n(5 5.已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接 球的表面积为() A.20V15π B.64v6π C.96r D.60π 6。已知f()为函数f()=1n2x-+x的导函数， x+1 则f(2025)+f'(2025)+f(-2025)-f'(-2025)的值为( ) A.2 B.21n2 C.0 D.2025 7.已知EF是圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的一条弦，且CE⊥CF,P是EF的中点，当弦EF 在圆C上运动时，直线1：x-y-3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥严恒成立，则线段AB长 度的最小值是( ) A.3W2+1 B.4N2+2 C.4W3+1 D.4W5+2 8.若函数f(树的定义域内存在，(5≠，使得)+-1成立，则称该函数为 2 “完整痛数，已如/四-9ar君引方ma+音}o>0足后]上的“完整面 数”，则0的取值范围为() A.[2,+o) B.[3,+∞) C.[3,5] D.[4,o∞) 二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知椭圆C:+y=1的左、右焦点分别为，5，点P在椭圆上，则下列说法正确的是 4 () A.使△PFF2为直角三角形的点P有8个 B.△PF1F2的面积可能为2 C.PFPF的最大值为4 D.PF·PF,的最小值为-2 10.下列说法正确的是（) A.已知直线k-y-k-1=0和以M（-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范 围为k≤ B.经过点(2，)且在×轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0 C.已知A(-1,0),圆O:x2+y2=49,过点A作两条互相垂直的直线，分别交圆O于点E,G 和F,H,则四边形EFGH的面积的最大值为97 D.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行，则a=-1 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,C,D,中，E是棱AB的中点，点F在线段B,D上，点G 在四边形CCDD（包含边)内，且EGI平面BCD,则（) A.CF的最小值是23 B.三棱锥G-B,CD的体积为定值 C.点G的轨迹长度为22 D.(CF+EF)2的最小值为28+8√3 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°， ∠BAA'=∠DAA'=60°.则AA'与BD所成角的余弦值为 18.已知椭圆二+片=1a>b>0的左、右焦点分别为5，月、焦距为2，若直线 y=-V3(x+1)与椭圆交于其中-个点M,满足∠MFE=2∠M,E,则离心率是 14.设函数f(x)=(x-a)sin ax,若存在xo使得xo既是f(x)的零点，也是f(x)的极值 点，则a的可能取值为 (写出符合条件的一个即可) 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13分).在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 acosC+√5 asinC=b+c,AD是Bc边上的中线，且AD= 2,c=5. (1)求角A的大小；(2)求a及△ABC的面积S」 5分)已知椭圆c+1(a>6>0)的短轴长为25，离心 (1)求椭圆C的方程. (2)过椭圆C的右焦点F,斜率存在且与×轴不重合的直线交椭圆C于P,Q两点，在x轴上是 否存在点M使得兴P2若存在，求出点M的坐标若不存在，说明理由 IQMI 17.(15分)已知函数f(x)=ax-1-(a+1)nx,a>0. (1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1内的最大值为2，求a的值 18.（17分)在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形， AB∥CD,∠ADC=90°，AD=AB=2,DC=4,△PAD为等边三角形，点E,F分别为AD,AB的 中点 p (1)证明：BC1平面PEF; (2)求平面PEF与平面PCD所成角的余弦值； (3)点M为线段DC上的动点，求直线PM与平面PEF所成角的正弦值的取值范围· 19.（17分)对于一个函数f(x)和一个点M(a,b),令s(x)=(x-a)2+f(x)-b)2,若 P(xof(xo)是s(x)取到最小值的点，则称P是M在f(x)的"最近点”. (1)对于f(x)=(x>0),求证：对于点M(-1,-1),存在点P,使得点P是M在fx)的最近 点" (2)对于f(x)=lnx,M(0,1),请判断是否存在一个点P,它是M在f(x)的"最近点"，且直线MP与 y=f(x)在点P处的切线垂直； (3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f'(x),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点 M1(t-1,f(t)-g(t),M2(t+1,f(t)+g(t).若对任意的t∈R,存在点P同时是M1,M2在 f(x)的“最近点”，试判断f(x)的单调性. 滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中I考试 数学答案 1·D.【详解】考查了模，复数概念，除法运算 2.A【详解】若m/1B,nWB,则a,B可能平行，也可能相交，故a∥B不一定成立， 若a∥B,则m/IB,nllB,故a∥B是m/1B,nlB的充分不必要条件.故选：A 3D【详解】由a1a-3b),则aa-36)=-3a.b=0, 故a6=-=3,则c0s0=a-6-3=5 33 535-5 故c0s20=2c0s20-1=2× 5 -1=-3故选：D. 详獬)由P0=,2).得=，A=2,所以T=元，0 4.B 2-2 所以f(=2x-令2=+受ez.得x=受+？z 212 所以当k=1时。x=一沿所以一受0是运数一个对称中心故选日 5.D 【详解】边长为6的正三角形的内切圆半径为：R=x ×6=√5， 32 所以正三棱柱的高为h=2R=2√5， 则外接球半径r=0A=R2+O,A=3+3×x6 2×6 =√15， 所以外接球的表面积为：4πr2=4π×15=60元，故选：D 若直线1：x-y-3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥匹恒成立， 则以AB为直径的圆要包括圆(x-1)2+(y-2)2=1, 6.B详解1由题可得：()=n2+h+2,所以f()-x+ +3x2, x+1 则f(2025)+f(-2025)=2ln2,f'(2025)-f'(-2025)=0, f(2025)+f'(2025)+f(-2025)-f'(-2025)=2n2故选：B 7.B【详解】由题可知：☐C:(x-1)2+(y-2)2=2,圆心C1,2),半径r=√2， 又CE⊥CP,P是EF的中点，所以CP=EF=l, 所以点P的轨迹方程(x-1)2+(y-2)2=1,圆心为点C(1,2),半径为R=1, 若直线1：x-y-3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥严恒成立， 则以AB为直径的圆要包括圆(x-1)2+(y-2)2=1, 点c,2列到直线的距离为d=-2-=22, V12+(-1)2 所以AB长度的最小值为2(d+1)=4V2+2,故选：B. &B【解】由意可得：f-9tor君引方+ ino-in)in(ac+)inos, 2 即f(x)=sinx是 π3π 2'2 上的完整函数”所以存在[径]， 使得()+f（=1成立： 2 「元3π 即存在名[2'2] 使得f(x)+f(x)=2成立： 又因为f(x)x=1,因此f(x)=f()=1, 即f(x)=sin x在x∈ π3π 2'2 上至少存在两个最大值点， 所以孤-≥T=2 ,解得0≥2： 22 3π-元≥2T=4红，即0≥4时，一定满足题意： 22 0 若25c4因为3引@>0，所以受≤amg， 2 2 又易知元≤m<2元，3m≤30r<6r: 2 2 所以只需保证≤<6即可，解得3≤0<4，综上可知0≥3.故选：B. 2 二·多选题 9.ACD【详解】选项A:P为直角顶点的有4个，F1为直角顶点的有2个，F2为直角顶点 的有2个，故A正确： 选项B:当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则P(O,), 此时△PF的面积0最大，且为×Fx1=×25x1=5, 所以△PFF2的面积最大为√，不可能为2，故B错误： 选项C:由椭圆定义得PF+PF=2a=4, 所以PRI PFS =4, 当且仅当PF=|PF=2时取等号，所以PF引PF的最大值为4，故C正确； 选项D:设P(x,y)，由题意F(←√3,0)，F(5,0), 所以PF=(-√5-x,-y,P瓦=(N3-x,-y),所以PF·P瓦=x2+y2-3, 因为P在椭圆上，所以号+y=1,且x2小， 所以P所·P5=2+y八-3=3x -2, 4 所以当x=0时，P所，PR=3X-2的最小值为2，故D正确，故选：ACD 4 10.CD 【详解】对于选项A:k的取值范围为k≤-或k之所以A错误； 对于选项B:当直线经过原点和点(2，)时，在x轴和y轴上截距都相等，直线方程为y=一x, 2 所以B错误； 对于C,记点0到直线EG,FH距离为d,d,|FH=249-d, d+d=l0A=1,EG=2W49-d, 所以EG+|FH=388≥2EGFH, 即EGFH≤194，则四边形EFGH的面积s=ECFH 2 即四边形EFGH的面积的最大值为97，故C正确； 对于选项D:当直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行时， a 1 2a-1 可得 解得a=-1,所以D正确故选：D. 1-a2 -3≠ a-1 11.BCD 【详解】因为正方体ABCD-AB,C,D中，AB=4,所以B,C=B,D,=CD,=4W2. 因为点F在线段B,D,上，所以当F为BD的中点时， CF取最小值为， c-(2 =2√6，所以A错误 E.- B 因为EG//平面B,CD,所以三棱锥G-B,CD,的体积与三棱锥E-B,CD,的体积相等， 因为点E是固定的，所以点E到平面B,CD,的距离确定，所以三棱锥G-B,CD,的体积与三棱锥 E-B,CD,的体积是定值，B正确 分别取棱CD,DD,的中点M,N,连接EM,EN,MN 所以AN//CD,EMI1B,C. 又CD,B,CC平面BCD,而MN,EM不在平面BCD内， 所以MN/平面B,CD,EM/平面B,CD. 又MNOEM=M,所以平面EMNI/平面B,CD,. 因为点G在四边形CCDD(包含边)内，且EG/平面B,CD,所以点G的轨迹为线段MN 因为M,N分别是棱CD,DD,的中点，所以MN=CD,=22,C正确， t E.- B 将平面BDE与平面B,CD展开到同一平面，则CF=CF,连接CE 由题意可得B,E=2,BC'=4V2,∠C'B,E=45°+60°=105°， CE2=BE2+BC2-2BE.BC'cos LC'BE=28+83. 当F是线段CE与B,D,的交点时，CF+EF=CE,即(CF+EF)2的最小值为28+85，D 正确. 三.填空题： 12。答案：0 13.答案：√5-1 【详解】依题意，直线y=-√3(x+1)经过椭圆的左焦点F,且∠MFF=60°， 由∠MF=2∠MFF,得∠MFF=30°，则∠FMF2=90°， 因此M=l,M=5,所以离心率e=2aM+M 22 =5-1. 故答案为：√5-1 % 14.答案：√元（答案不唯一） 【详解】由f(x)=(x-a)sin ax,得f'(x)=sinax+ac-a2)cosax, 令f()=(-a)sina,=0,则x=a或sina心，=0， 当x=a时，由f'(x)=sina+a-a2)cosa=0,得sina2=0, 5 所以a2=m(keN),则a=士际(k∈N), 当sina=0时，由f'(x)=sina+(a,-a2)cosax。=0,得(a-a2)cosa=0, 由cos ax。≠0，得a=0或x=a, 当a=0时，f(x)=0不存在极值点， 当x=a时，得a=±V阮(k∈N), 综上，a=±V际(keN), 所以当k=1时，a=√元.故答案为：√元（答案不唯一）. 四.解答题 15.【答案】国A=(2a=m5-5随 【详解】(1)由正弦定理得：sinAcosC.+√3sinAsinC=sinB+sinC ,sinB=sin(A+C),再根据两角和的正弦公式展开得： sinAcosC+3sinAsinC sinAcosC+cosAsinC+sinC, 消去sinAcosC,整理得：√3sinAsinC-cosAsinC=sinC, ----2分 :0<C<元，sinC≠0，两边同除以sinC得：√5sinA-cosA=1, 由辅助角公式得：如4-君引 -------4分 又0<A<,则4-（产得】改4吾君怎得A-写 ·---6分 (2)由题意得：2AD=AB+AC, -----7分 平方得：4AD2=c2+b2-2 bccos5,化简得b2+5b-6=0, 3 解得b=1(b=6舍) ----9分 由余弦定理得：a2=b2+c2-2bcc0sA=1+25-10c0s60°=21 .a=√21 ------11分 AABC的面积S=)bcsinA=x1x5sin60=5V5 -----13分 2 2 16答案四号+皆-： (2)存在，M(4,0). 【详解】(1)因为2b=25,所以b=√5， e与6=)，所以a=2c,所以BP=a2-c2=3c2=3,所以c=1a=2 6