第三章 勾股定理 提优测试 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

第三章素养提优测试卷 考试内容：勾股定理 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边长的平方是 ( ) A. 12 B. 169 C.144或194 D.144或169 2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 () A.∠A+∠B=90° C. a=5,b=12,c=13 3.如图,在 Rt△ABC中, 90°,AC=8,BC=6,分别以点A,B为圆心,以AB长为半径画弧,两弧相交于点 D,连接AD,BD,则△ABD的周长为( ) A.18 B. 24 D. 30 4.如果m表示大于1的整数，设a=a=2 在其中任选三个数能构成勾股数的为 ( ) A. a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D. b,c,d 5.为了预防流感，某中学在大门口的正上方A处装了一个红外线激光测温仪，离地AB=2.1米(如图)，当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD 等于 () A. 1.2米 B. 1.3米 C.1.4米 D.1.5米 6.「★☆」下列结论中，错误的是 ( ) A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边长的平方为25 B. △ABC中,若 则△ABC 是直角三角形 C.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:5:6,则△ABC是直角三角形 D.若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形 7.「★☆」已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14,c=10,则 Rt△ABC的面积是 ( ) A.36 B.24 C.48 D.60 8.「★☆」如图，将一个棱长为3c m的正方体所有的面均分成3×3个小正方形.假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从底面A处沿表面爬行至侧面的B处，最少要用时 ( ) A.3.5s B.2.2s C.2s D.2.5s 9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=2，AC=3，沿过点A 的直线折叠，使点B落在BC边上的点 D处，再次折叠，使点C与点D 重合，折痕交AC 于点 E，则AE的长度为 ( ) 10.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点 D,BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,下列结论中,正确的是 ( ) ①当 时,∠ACB=90°; ②当∠ACB=90°时,a+b=c+h; ③当∠ACB=90°时, ④当∠ACB=90°时, ab= ch. A. ①② B.①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分) 11.「★☆」如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米. 12.如图，在某中学实践活动课上，小丽打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子拉直，且使绳子的底端刚好接触到地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是 m. 13.「★☆」如图,有一块四边形花圃ABCD, ，该花圃的面积为 m². 14.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD=8 四边形ABCD的周长为32，则BC的长为 . 15.如图,点E,F分别在AB,CD上,AF 垂足为O， 若AF=4,BF=3,则点F到直线AB的距离为 . 16.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地(阴影部分).如图，已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,，技术人员通过测量确定了 则这块绿化地的面积是 m². 17.「★☆」如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm，4 cm，3c m，则能放进木箱中的直木棒最长为 cm. 18.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AC,BC和AB为边向上作正方形ACED 和正方形 BCMI和正方形ABGF,点 G落在MI上，若AC+BC=7，空白部分的面积为16，则图中阴影部分的面积是 . 三、解答题(共6小题，共66分) 19.「★☆」(10分)在Rt△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,垂足为E,AB=8,BC=10.求 CD+DE的值. 20. (10分)某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配.该校七年级劳动实践基地的示意图如图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力,测得AB=8m,AD=6m,BC=24m,CD=26m,∠A=90°. (1)求B,D之间的距离. (2)求四边形ABCD 的面积. 21. (10分)梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动.滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图形，如图②所示,若开始时,滑块A 距O 点20cm,滑块 B 距O 点15cm,当滑块A向下滑13cm至点A'处时，滑块 B滑动到点B'的位置，则BB'的长为多少? 22. (10分)在 中， AC=3cm,动点 P从点 B 出发，沿射线 BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当 为直角三角形时，求t的值. (12分)台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围广，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心由A 向B移动，已知点 C 为一海港，且点 C 与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km,BC=400km,且AB=500km,经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响. (1)已预测海港C会受到台风影响，请说明理由. (2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响海港C的时间有多长? 24.项目探究题(14分)【问题背景】 著名的赵爽弦图如图①，其中四个直角三角形中较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则 【探索求证】 (1)古今中外，勾股定理有很多证明方法， 与 按如图②所示的方式放置，连接CD，其中 请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC,，由于某种原因，由C到A的路现在不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH,且( 测得CH=2.4千米，HB=1.8千米，求新路CH 比原路CA 短多少千米? 【延伸拓展】 (3)在图③中,若 设AH=x,求x的值. 答案速查。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D B B A B D B C 1. C分两种情况：①当第三边是斜边时，第三边长的平方是 ②当第三边是直角边时，第三边长的平方是 故选C. 2. B 因为∠A+∠B=90°,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意； 因为 所以 所以△ABC不是直角三角形，故选项B符合题意； 因为a=5,b=12,c=13,所以 所以△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意； 因为 所以 所以△ABC是直角三角形，故选项D 不符合题意.故选 B. 3. D 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,所以 即 所以AB=10, 因为分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D,所以AB=AD=BD=10,所以△ABD的周长为3×10=30.故选 D. 4. B 因为 所以 所以a，b，d三个数能构成勾股数，故选 B. 5. B 如图,过点D 作DE⊥AB 于点 E, 因为AB=2.1米,BE=CD=1.6米,ED=BC=1.2米,所以AE=AB-BE=2.1-1.6=0.5(米). 在 Rt△ADE中，由勾股定理得 所以AD=1.3米, 故选 B. 6. A A项,在Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长的平方为 或 错误;B项,△ABC中，若 则△ABC是直角三角形，正确；C项，在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:5:6,则 故△ABC是直角三角形，正确；D项，因为三角形的三边长之比为3：4：5，所以可设三边长为3x，4x，5x，因为 所以该三角形是直角三角形，正确.故选 A. 7. B 因为a+b=14,c=10,∠C=90°, 所以 所以 所以 ab=48, 所以Rt△ABC的面积是 故选 B. 8. D易知各个小正方形的边长均为1cm.分情况讨论： ①展开左面与上底面，示意图如图1，由勾股定理得 ②展开前面与上底面，示意图如图2，由勾股定理得 ③易知展开前面与右面时，AB 的长与情况②相等. 因为37>25，所以最短路径长为5cm，所以最少要用时5÷2=2.5(s),故选 D. 方法归纳在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点之间的最短路线不一定是连接两点的线段，应将立体图形表面展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路程. 9. B 因为∠BAC=90°,所以∠B+∠C=90°. 由折叠得∠ADB=∠B,∠EDC=∠C,AD=AB=2,DE=CE,所以∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°,所以∠ADE=180°-(∠ADB+∠EDC)=90°.在 Rt△ADE中, 因为DE=CE=3-AE,所以 所以 故选 B. 10. C 当 时,∠ACB=90°,故①说法正确;当∠ACB=90°时, 则 ab= ch,故④说法正确；因为( 所以c+h>a+b,故②说法错误;因为 ab= ch,所以 所以 所以 由勾股定理得 所以 故③说法正确.故选 C. 11.答案 4 解析 设“路”长为x米，由勾股定理，得 则x=13，所以“路”长为13米，所以他们仅仅少走了12+5-13=4米. 12.答案 12 解析 设旗杆的高度为 xm，则绳子的长度为(x+1)m，根据勾股定理得 解得x=12，即旗杆的高度为12m. 13.答案 24 解析 连接AC， 因为AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°, 所以△ACD的面积 即 所以AC=5m, 在△ABC中,因为AC=5m,BC=12m,AB=13 m,所以 所以△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°, 所以直角△ABC的面积 所以四边形ABCD 的面积 故答案为24. 14.答案10 解析 如图，连接BD， 因为AB=AD=8,所以△ABD是等腰三角形,因为∠A=60°, 所以∠ABD=∠ADB=60°,△ABD是等边三角形, 所以 BD=AB=AD=8,∠BDC=∠ADC-∠ADB=150°- 由条件可知BC+DC=32-AB-AD=16,所以DC=16-BC,在 Rt△BDC中, 解得BC=10.故答案为10. 15.答案 解析 因为∠BFD=∠C,所以BF∥CE, 因为AF⊥CE,即∠COF=90°,所以∠AFB=∠COF=90°,因为AF=4,BF=3, 所以 所以AB=5, 设点 F到直线AB的距离为 h， 因为 所以 所以 则点 F 到直线 AB 的距离为 16.答案 114 解析 连接AC， 因为∠ABC=90°,AB=9m,BC=12m, 所以 即 所以AC=15m, 因为CD=17m,AD=8m,15²+8²=17², 所以 所以△ACD为直角三角形,∠DAC=90°, 所以绿化地的面积 故答案为114. 17.答案 13 解析 如图，由勾股定理可得 所以CB=5cm,在Rt△ABC 中,因为AC=12 cm,BC=5cm,所以 所以AB=13cm,所以能放进木箱中的直木棒的最大长度为13cm. 18.答案 995 解析 因为四边形ABGF 是正方形， 所以 AF = AB,∠FAB = ∠AFG = 90°,所以 ∠FAC+∠BAC=90°, 又∠ACB=90°,所以∠CAB+∠ABC=90°, 所以∠FAC=∠ABC,所以△FAH≌△ABN(ASA), 所以 所以 四边形FNCH. 在△ABC中,∠ACB=90°,所以 因为AC+BC=7,所以( 所以 所以 因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以 所以阴影部分的面积 19.解析 因为∠A=90°,所以DA⊥BA, 又因为BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,所以DA=DE. 在Rt△ABC中, 因为AB=8,BC=10,所以AC=6, 所以CD+DE=CD+DA=AC=6. 20.解析 (1)连接BD, 在Rt△ABD中,∠A=90°,AB=8m,AD=6m,所以 即 所以BD=10m,所以B，D之间的距离为10m. (2)由题意可知 所以 所以△BCD是直角三角形， 所以BD⊥BC, 144 m²,所以四边形ABCD的面积为144 m². 21.解析 在 Rt△ABO中,因为∠AOB=90°,AO=20cm,OB=15cm,所以 所以AB=25cm,在 Rt△A'OB'中,A'O=AO-AA'=20-13=7(cm)，所以 所以OB'=24 cm,所以BB'=OB'-OB=24-15=9cm,所以BB'的长为9 cm. 22.解析 在 Rt△ABC中, 由勾股定理得 所以BC=4 cm. 根据题意得BP=t cm. ①如图1,当∠BAP 为直角时, BP=t cm,CP=(t-4) cm,AC=3cm, 在 Rt△ACP中, 在Rt△BAP中, 所以 解得 ②如图2,当∠APB 为直角时,点P与点C重合， BP=BC=4cm,所以t=4. 综上，当△ABP为直角三角形时，t=4或 23.解析 (1)因为AC=300km,BC=400km,AB=500km,所以 所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°. 如图,过点 C作CD⊥AB于D, 因为 所以AC·BC=CD·AB, 所以300×400=500CD,所以CD=240km,因为距离台风中心260km及以内会受到影响，所以海港C受台风影响. (2)如图,EC=260km,FC=260km,当台风中心在线段EF上(包括点 E，F)时，台风影响海港C， 因为 所以 ED=100km, 所以EF=2ED=200km, 因为台风的速度为25 千米/时， 所以海港C受台风影响的时间为200÷25=8(小时). 答：台风影响海港 C 的时间为8小时. 24.解析 (1)因为 所以 则 (2)设AC=AB=a千米,则AH=(a-1.8)千米,在 Rt△ACH中，由勾股定理得 所以 解得a=2.5, 即CA=2.5千米, 所以CA-CH=0.1(千米), 所以新路CH 比原路 CA 短0.1千米. (3)因为AH=x,所以BH=7-x, 在Rt△ACH中，由勾股定理得 在 Rt△BCH中，由勾股定理得 所以 所以 解得 学科网（北京）股份有限公司 $