精品解析：安徽省宣城市皖东南第二次联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度九年级第二阶段练习 数学 温馨提示：亲爱的同学，你拿到的试卷共七大题，满分150分，时间120分，希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩. 一、单选题（10小题，共40分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，正确理解二次函数的定义是解题的关． 【详解】解：、，等式右边含分式，不是二次函数，原选项不符合题意； 、，是二次函数，原选项符合题意； 、，不是二次函数，原选项不符合题意； 、在中，因为没有限定，所以不一定是二次函数，原选项不符合题意； 故选：． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 3. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和二次函数的顶点坐标公式． 先求出抛物线的顶点坐标，再利用方程有两个不等实根的条件得到m的范围，从而确定顶点纵坐标的符号，结合横坐标的符号判断象限． 【详解】解：∵ 抛物线的顶点横坐标， ∴ 顶点纵坐标． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 判别式，即， ∴ ． ∴ 顶点坐标为 ，其中 ，， ∴ 顶点在第三象限． 故选：C． 4. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小，把点，，分别代入二次函数解析式，即可比较，，的大小关系． 【详解】解： 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ； 对于点 ，有 ， ∴． 故选：D． 5. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，，且，那么（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．在平行四边形中，有，，根据，可得，即有，根据，可得，即有，根据，可得，根据，可得，即有，问题随之得解． 【详解】解：在平行四边形中，有，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵行四边形中，， ∴， 故选：D． 7. 四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（ ） A. 大于1 B. 等于1 C. 小于1 D. 不能确定，与E的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是利用平行判断成比例的线段，进而得到线段的比例关系． 利用得到线段比例关系，再利用得到线段比例关系，再将两个比例关系相加求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点.若点的横坐标为8，则的值为（ ） A. 20 B. 22 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点E，轴于点F，可证明，得到，，设，得到，设直线的函数解析式为，求得直线的函数解析式为，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点F ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 点A、点C在函数的图象上 设 ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 设直线的函数解析式为 将， 代入得 解得 ∴ 直线的函数解析式为 ∴即 ∴ 解得：或 经检验，或 是原方程的解 当时，轴，点在轴上，不符合题意，舍去 ∴ ∴ 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 10. 如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（ ） A. B. 9 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接 ，又因点在上是一动点，由边与边关系 ，只有当点在直线上时的 和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【详解】解：设，则；过 点作，且 连接，当点、、 三点共线时，的最值小；如图： ∵ ∴四边形是平行四边形 由点、、三点共线， ∴ 由四边形是矩形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵， 在 中，由勾股定理得： 又∵，则， ∴ 解得∶， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小． 二、填空题（4小题，共20分） 11. 抛物线与轴的一个交点坐标为，则它与轴的另外一个交点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标． 【详解】解：抛物线（）的对称轴为直线， ∵ 抛物线与 轴的一个交点为 ，且交点关于对称轴对称， ∴ 另一个交点与 关于直线对称， 设另一个交点坐标为，则，解得 故另一个交点坐标为 故答案为：． 12. 如图，已知，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据线段先求出，由此得到，进而证明，即可求出结果． 【详解】在中，点D在上，，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为： . 13. 如图1等边，，点、分别是和上的点，沿折叠使点落在上的点处，如图2，折痕为，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴, 又∵，点在上， ∴， ， 又∵折叠后与重合， ∴, 又∵,且是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则有， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得即， ∴， ∴， ， 故答案为． 14. 已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是________； （2）若恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质并能灵活运用是解决此题的关键， （1）当时，的取值范围为，根据二次函数的性质求解即可； （2）令得，得出方程两根，然后根据二次函数的图象及性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵函数， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为， ∵当时，；当时，， ∴当时，有最大值为， ∴的取值范围为， 故答案为：； （2）令得， ∴，， 如图，结合函数图象知，时，， ∵当时，恒成立， ∴且， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 已知：，且，求的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 16. 如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ， ，，， ， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ，即， 解得：． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为，，．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别是，，）． （1）使与的相似比为； （2）用无刻度的直尺在上取一点，使，保留作图痕迹． 【答案】（1） 如图，为所求. （2） 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，相似三角形的判定与性质，无刻度作图． （1）先根据位似图形的点的坐标变化求出，，各顶点坐标，再依次连接即可解答； （2）如图可知，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：，，，且与的相似比为， ，，， 如图，为所求. 【小问2详解】 如图；，则 ， ∴． 18. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． （1）当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ （2）若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】（1）当时，花园面积最大，为100平方米； （2）当花园面积最大时，的长为8米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； 【小问2详解】 由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 【答案】（1）4，12 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积． （1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值． （2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果． 【小问1详解】 把，代入得，，得， ∴，把，代入得，， ； 【小问2详解】 点，点的纵坐标是0，， 点的纵坐标是， 把代入得，则． 如图，作轴于，交于，当时，，即， 又，于是， ； 20. 在中，，，点的对应点落在边上，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：（1）， ，， 又， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，，即可求证； （2）过点作的垂线，交于点，根据全等得，则，可得，得，，，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作的垂线，交于点， ， 又 ， ，，， 又，，， ，， 又， ， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 六.解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 如图，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，将抛物线沿轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线． （1）求的解析式； （2）在抛物线的第一象限内的图像上有一点，求的面积的最大值． 【答案】（1）（或）. （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，需要综合运用待定系数法确定函数关系式，二次函数图象与几何变换，坐标与图形性质，二次函数最值的求法以及三角形面积公式等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）根据二次函数几何图象的变换规律求得的解析式即可； （2）设，由图形知，，由此得到二次函数关系式，根据二次函数最值的求法解答． 【小问1详解】 解：将抛物线：沿轴翻折后得到， 即． ， 将其向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 得到抛物线：， ． 【小问2详解】 如图，过点作轴于， 抛物线：， ． 抛物线：， 令，则，解得或， ，． 设， ，，，． ． 即. 当时，． 的面积的最大值是6． 22. 已知正方形，点是边上任意一点，沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接、、． （1）求证：； （2）当，求：的值； （3）当，时，直接写出的值． 【答案】（1） 由折叠可知，点和点关于对称， ∴垂直平分， ， 又是正方形， ∴，， ∴， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据折叠的性质，等边对等角，四边形的内角和定理推出，进而求出，根据相似三角形的性质，推出点落在线段上，进而得到是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）过作，证明，得到，，三线和一结合勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作交于点，于点，则四边形为矩形，证明，求出的长，进而求出的长，再证明，求出的长，再根据折叠的性质，线段的和差关系，求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由折叠可知，， 又是正方形， ，，， ， ，， ， ， 又， ， 点落在线段上， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ； 【小问3详解】 解：过作， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， 点是中点， ， ∴， ∴， ∴， 过点作交于点，于点，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 七.解答题（本大题1题，共14分） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求与之间关系； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：∵点在函数的图象上， ∴. 由①知，点，关于直线对称， 不妨设，则， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 （1）由点，在该函数的图象上，所以，得到，即可解答； （2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到，代入等式左边和右边即可判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的对称轴为，点，在该函数的图象上， ， ， ∴； 【小问2详解】 ①解：由（1）可得，， ∴该函数的表达式为， 则函数图象的顶点坐标为. ∵函数的有最小值为， ∴，且， 解得，或（舍去）. ∴该二次函数的表达式为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第二阶段练习 数学 温馨提示：亲爱的同学，你拿到的试卷共七大题，满分150分，时间120分，希望你仔细审题，认真作答，遇到困难时请不要轻易放弃，相信你一定会取得好成绩. 一、单选题（10小题，共40分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，且，那么（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 7. 四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（ ） A. 大于1 B. 等于1 C. 小于1 D. 不能确定，与E的位置有关 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点.若点的横坐标为8，则的值为（ ） A. 20 B. 22 C. 16 D. 24 9. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（ ） A. B. 9 C. 10 D. 二、填空题（4小题，共20分） 11. 抛物线与轴的一个交点坐标为，则它与轴的另外一个交点的坐标为________． 12. 如图，已知，，，，则________． 13. 如图1等边，，点、分别是和上的点，沿折叠使点落在上的点处，如图2，折痕为，且，则________． 14. 已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是________； （2）若恒成立，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 已知：，且，求的值． 16. 如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为，，．在第一象限画出以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别是，，）． （1）使与的相似比为； （2）用无刻度的直尺在上取一点，使，保留作图痕迹． 18. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． （1）当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ （2）若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积． 20. 在中，，，点的对应点落在边上，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长． 六.解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 如图，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，将抛物线沿轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线． （1）求的解析式； （2）在抛物线的第一象限内的图像上有一点，求的面积的最大值． 22. 已知正方形，点是边上任意一点，沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接、、． （1）求证：； （2）当，求：的值； （3）当，时，直接写出的值． 七.解答题（本大题1题，共14分） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． （1）求与之间关系； （2）已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $