第十六章 专题训练 （二）乘法公式 培优练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第六章整式乘法 专题训练乘方公式培优练习 【题型归纳】 专题一：利用平方差公式进行简便运算.1 专题二：利用完全平方公式进行简便运算. .3 专题三：利用完全平方公式求字母的值3 专题四：利用完全平方公式求代数式的值. 专题五：完全平方公式的应用问题6 【专题一：利用平方差公式进行简便运算】 1.李明同学在计算5×6+1)(62+1)(6+1时，把5写成6-1，发现可以连续运用平方差公式计算： (6-1)(6+1)(62+1(64+1=(62-1(62+1)(6+1=…,则计算(7+1(7+1)(74+1(78+1的结果是() A.78-1 B.7-1 C.716-1 D.716-1 6 6 2.20252-2026×2024=— 3计第：50×9 94 4.计算：xm-y)(xm+y）-xm(x"-x）= 5.简便运算： (1)1007×993; (2)6652x-3352x 11 6.阅读下列材料：计算：(2+1)×2+1×2+1. 解：原式=(2-1)×(2+1)×22+1×24+ =[(2-1)×(2+1]×2+1×24+1 =(22-1×(22+1×(24+1 =(24-1×24+1 =28-1 =255. 运用上述方法计算： ++++ 7.己知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形.请仔细观察，解决下列 问题： b 图1 图2 图3 (①)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是 (②)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：20242-2020×2028； ②求(2+1(2+1)(2+1(2+1小…(24+1)+1的结果的个位数字. 8.阅读材料：计算： (2+1)×2+1×24+1 =(2-1)×2+1×22+1×24+1 第六章整式乘法 =[(2-1刂×2+]x(22+1×(2*+ =[(22-×(22+1]x24+ =(24-1×24+1 =2-1 =255 运用上运方法求1+}1+1+X1+十京- 【专题二：利用完全平方公式进行简便运算】 9.利用乘法公式计算982，下列方法正确的是() A.982=1002-22 B.982=1002-2×100×2+22 C.982=1002-100×2+22 D.982=1002-2×100×2-22 10.计算：2022+404×198+1982= 11.用简便方法计算. (1)17×0.15+37×0.15+46×0.15; (2)182-36×118+1182. 【专题三：利用完全平方公式求字母的值】 12.若(3x-2)2=9x2+kx+4,则k的值是（) A.-6 B.6 C.12 D.-12 13.若x2-(a-1)x+16是一个完全平方式，则a的值为() A.9 B.-7 C.9或-7 D.-9或7 14.已知9x2+2(k+1x+1是完全平方式，那么k的值为一 15.若多项式x2-axy+16y2是一个完全平方式，则正数a的值为一 【专题四：利用完全平方公式求代数式的值】 16.己知(a+b)=19,ab=2,则(a-b)的值为 17.己知x+y=5,y=6,则(x-y)=一。 18.若x+y=4,y=3,求下列各式的值： (1)x2+y2; (2(x-y)2-2xy. 19.已知x+y=1,xy=-12,求下列代数式的值： (1)x2+y2 (2)x-y 20.若x+y=4,且x+1(y+1=8. (1)求y的值； (2)求x2+y2的值； (3)求x-y的值. 2,已知a+力=5的求下列状子倚值： (1)a2+b2; 第六章整式乘法 (2)(a-b)2: (3)a+b. 22.若已知(a+b=11,（a-b=5,求下列各式的值： (1)a2+b2; (2)ab. 23.(1)已知(a+b)2=25,ab=10,求a2+b的值. (2)已知m+,求m+的值. m 【专题五：完全平方公式的应用问题】 5 24.将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题.例如： 若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：a+b=3,(a+b)2=9,即a2+2ab+b2=9 又ab=L,a2+b2=7. 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若x+y=10,x2+y2=52,则y=,x-y=；若x>y>0,则x=，y= (2)两个正方形ABCD,AEFG按如图所示的方式摆放，面积和为52，BG=10.求图中阴影部分的面积. 25.(1)一个如图中的②所示的正方形.请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积. 方法1：·方法2： n m 2 2 m ① ② (2)利用等量关系解决下面的问题： ①a-b=5,ab=-6,求(a+b)和a2+b的值； @已知x士3，求+的催， 6 第六章整式乘法 26.完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题， 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：因为a+b=3,所以(a+b)2=9,即：a2+2ab+b2=9, 又因为ab=1,所以a2+b2=7. 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若x+y=6,x2+y2=22,求y的值： (2)填空：①若x3-x)=-10,则x2+(3-x)2=: ②若(2025-x)2+(2026-x)2=17,则2025-x)(2026-x)=; (3)如图，ABC是直角三角形，∠C=90°，分别以边AC,BC为直径向三角形外部作半圆，已知 AC+BC=12,两半圆的面积和S,+S2=13π，求ABC的面积. S2 27.【阅读理解】 若x满足30-x)(x-10)=90,求(30-x)2+(x-102的值. 解：设30-x=a,x-10=b, 则a*b=(30-x)(x-10)=90,a+b=30-x+(x-10)=20, ∴.a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×90=220, .(30-x2+(x-102=a2+b2=220. 我们把这种方法叫做换元法.利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想. > 【解决问题】 (1)若x满足(100-x)(x-95)=5,则(100-x2+(x-95)=-: (2)若x满足(2025-2x)+4(x-1000)=500,，求(2025-2x)(x-1000)的值； (3)如图，在长方形ABCD中，AB-26cm,点E,F是边BC,CD上的点，EC=I0cm,且 BE=DF=xcm,分别以FC,CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN,若长方形BCFQ 的面积为300cm2,求图中阴影部分的面积和S. G H D E B 28.阅读下面的解答过程： 求y2+4y+8的最小值. 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2+4. 因为(y+2)≥0，即(y+2)的最小值是0， 所以y2+4y+8的最小值是4. 仿照上面的解答过程，求m2-2m+4的最小值和-x2+4x-6的最大值. 29.己知a=2024x+2023,b=2024x+2024,c=2024x+2025.求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值 第六章整式乘法 30.先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值. 解：m2+2mn+2n2-6n+9=0.m2+2mn+n2+n2-6n+9=0.(m+n)2+(n-3)2=0 .m+n=0,n-3=0m=-3,n=3 (1)若x2+2y2-2xy-4y+4=0,求x'的值. (②)已知整数a、b、c是不等边ABC的三边长，满足a2+b2=6a+8b-25,且C是ABC中最长的边， 求c的值. 9 专题训练 乘方公式培优练习 解析版 一、单选题 1．李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解题意，熟练运用平方差公式是解题的关键．在原式前乘上，再连续运用平方差公式即可得解． 【详解】解： 故选：D． 2． ． 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，通过将变形为，利用平方差公式简化计算，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：1． 3．计算： ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，把所求式子变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、运用平方差公式进行运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的混合运算及平方差公式，利用平方差公式，幂的乘方即同底数幂的乘法运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）先将恒等变形为，再由平方差公式计算即可得到答案； （2）先由乘法分配律的逆运算得到，再由平方差公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．阅读下列材料：计算：． 解：原式 ． 运用上述方法计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 依据材料将算式变形为，然后根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：   ． 7．已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 8．阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式乘以和除以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】 ． 故答案为：2． 9．利用乘法公式计算，下列方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 10．计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式运用，利用完全平方公式解答即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11．用简便方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子，再运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）结合完全平方公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．若，则k的值是（   ） A． B．6 C．12 D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式求字母系数， 通过展开左边完全平方式，与右边多项式对比系数，即可求出的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 比较项系数得：， ∴． 故选：D． 13．若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键． 根据首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去与积的倍，可得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 则， 所以， 当 时，解得 ； 当 时，解得 ， 的值为 或 ； 故选：C． 二、填空题 14．已知是完全平方式，那么k的值为 ． 【答案】2或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构，平方项系数为9和常数项为1，可得中间项系数应为，从而求出的值，熟练掌握完全平方式的结构是解此题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴，即或， 解得：或， 故答案为：2或． 15．若多项式是一个完全平方式，则正数的值为 ． 【答案】8 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，根据是一个完全平方式，则，整理得或，又因为为正数，故，即可作答． 【详解】∵多项式是一个完全平方式，且 ∴， 则， ∴或， ∵为正数， ∴， 故答案为：8． 16．已知，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，熟练掌握这一公式变形是解题的关键．利用完全平方公式的变形，将转化为，代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：11． 17．已知，则 ． 【答案】1 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式的变形进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：1． 三、解答题 18．若，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： （1）利用完全平方公式，得到，代值计算即可； （2）根据，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 19．已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据进行计算的值即可； （2）根据结合（1），进行计算的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，即， 则； （2）解：由（1）知，， 则，即， 因此． 20．若，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)3 (2)10 (3)2或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握多项式乘法法则以及完全平方公式的变形应用． （1）将展开，结合，可求出的值； （2）利用完全平方公式，代入已知值计算； （3）先求出的值，再开方得到的值． 【详解】（1）解：， ； 又，将其代入上式得：， ； （2）解：已知， 代入得：； （3）解：由（2）知， ， 则，即的值为2或． 21．已知，求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了用完全平方公式变形求代数式的值． 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值； 把变形，可得：原式，再把当代入变形后的代数式求值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 22．若已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式、熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）将两个已知等式相减求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①，②， ①②得：， 则． （2）①②得：， 即． 23．（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的运用，熟记完全平方公式是解答的关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，， ∴． 24．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则______，______；若，则______，______． (2)两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)24；；6；4 (2)图中阴影部分的面积为6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，掌握熟练并运用完全平方公式的不同变形，结合已知条件求解代数式的值或图形面积是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，结合已知条件，逐步求出以及的值； （2）设两个正方形的边长分别为，利用完全平方公式的变形求出的值，再结合阴影部分面积的计算方法求解． 【详解】（1）解：由，得，即， ， 解得， 由，得， ， ， 联立 解得． （2）解：设正方形的边长为，的边长为． 由题意知，，① ， ． ， ．② 联立①②，解得， 即， ， ， 图中阴影部分的面积为6． 25．（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：______．方法2：______． （2）利用等量关系解决下面的问题： ，，求和的值； 已知，求的值． 【答案】（1），，（2）①，，② 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键． （1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积；也可以直接利用小正方形的面积公式得到； （2）①根据（1）的结论代入进行计算即可求解；②根据（1）的结论代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积， ∵小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴阴影部分的面积表示为或， 故答案为：，． （2）①∵，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． 【答案】(1)7 (2)①29；②8 (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，将实际问题转化为数学问题是正确解答的关键． （1）根据完全平方公式的变形，即可求出的值； （2）①根据完全平方公式的变形，即可求出答案； ②根据完全平方公式的变形，即可求出答案； （3）设，将问题转化为，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ， 即， 又 ∵， ． （2）解：①∵，， ∴， 故答案为：29； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：8； （3）解：设，则， 由可得，，则， ∵， ∴， ， ， ． 27．【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ， ． 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点，是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和S． 【答案】(1)15 (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握运用公式解题的关键． （1）设，，仿照示例解答即可； （2）设，， 仿照示例解答即可； （3）根据前面的方法解答即可． 【详解】（1）解：设，， 则， ． 即， 故答案为：15． （2）设，， 则， ， ， ； ； ； （3）由题意得：，， 设，， 则， 长方形的面积为300， ， ， 图中阴影部分的面积和 ． 答：图中阴影部分的面积和为． 28．阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是4． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 【答案】最小值是3，最大值是 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式与非负数的性质，多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是3． ． 因为，即的最大值是0， 所以的最大值是． 29．已知，，．求的值 【答案】3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 30．先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求和的值． 解：         ，    ， (1)若，求的值． (2)已知整数a、b、c是不等边的三边长，满足，且是中最长的边，求的值． 【答案】(1)4 (2)5或6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、三角形三边关系的应用 【分析】此题考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方． （1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； （2）由，得，结合非负数的性质求得a，b的值，然后利用三角形的三边关系求得c的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ， ， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵整数a、b、c是不等边的三边长，c是中最长的边， ∴，，， ∴或6， 则c的值是5或6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $