第十六章 专题四 活用乘法公式+数学活动-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（人教版2024）

图形如图所示. c ac be e2 ab 0- ab 6 c 专题四活用乘法公式 1.解：(1)a2+b2=(a十b)2-2ab=11-2=9. (2),(a-b)2=a2+b2-2ab=9-2=7, ∴.a-b=士√7 2.解：(1)原式=-(3-1)×(3+1)×(32+1)×(3+1)> (38+1)×(36+1)×(32+1)-1=-(32-1)×(32+1) (34+1)×(38+1)×(318+1)×(332+1)-1=-34. (2)1 3.解：(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n) =9n2-1-(9-n2) =9n2-1-9+n2 =10n2-10 =10(n2-1), 则对于任意正整数n,整式(3n+1)(3n-1)一(3一n)(3+n 的值一定是10的倍数. 4.(1)(92+3×9+1)2 (2)(n2+3n+1)2 5.解：(1)3x2-6x+12 =3(x2-2x+4) =3(x2-2x+1-1+4) =3(x-1)2+9. ·无论x取什么数，都有(x一1)的值为非负数， .(x一1)2的最小值为0，此时x=1, .3(x-1)2+9的最小值为3×0+9=9， 即当x=1时，原多项式有最小值是9. (2)-x2-2x+8 =-(x2+2x-8) =-(x2+2x+1-1-8) =-(x+1)2+9. :无论x取什么数，都有(x十1)2的值为非负数， .(x+1)2的最小值为0，此时x=一1， ∴.一(x+1)2十9的最大值为一0+9=9， 即当x=一1时，原多项式有最大值是9. 数学活动 1.解：(1)151515 (2)(x-7)(x+7) 证明：由题意得a=x一8，b=x一7，d=x+7,e=x十8， .b·d=(x-7)(x+7), .∴.bd-ae =(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8) =x2-49-x2+64 =15. 2.解：(1)35 (2)证明：C上的数为x, .B上的数为(x一1)，D上的数为(x+1),A上的数为(x 6),E上的数为(x一6)， ∴.(x-1)(x+1)-(x+6)(x-6) =x2-1-(x2-36) =x2-1-x2+36 =35. 3.(1)5×5(2)15×15 4.解：(1)602-m2相等 (2)40000 (3)两条邻边长的和是定值，为40÷2=20(cm). 周长为40cm,一条边的长为xcm,则另一条边的长为(20 x)cm,由长方形的面积公式可得S=x(20一x), 长方形的长与宽的和为x+(20一x)=20(cm), 当x=20-x,即x=10时，x(20-x)最大，即面积S最大. 本章综合提升 【本章知识归纳】 不变相加a+x不变相乘amm乘方相乘 a”乃”不变相减am-”1相乘不变分配律相加 每一项相加平方差a2一b2平方和积的2倍a2士 2ab+b2相除因式除以相加 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)(a十b)(a-b) (2)a2-b2=(a+b)(a-b) (3)①8 ②原式=(67.75十32.25)(67.75-32.25)=100×35.5= 3550. 【变式训练1】(1)a2一b2 (2)(a+b)(a-b)=a2-b2 、101 (3)200 【例2】解：(1)A=(m-3)2-(2-m)(2+m)+2=m2-6m+ 9-(4一m2)+2=m2-6m+9-4+m2+2=2m2-6m+7. (2),x2-2mx+4是一个完全平方式，∴.-2m=士2×1× 2,∴.m=士2.当m=2时，A=2×22-6X2+7=8-12+ 7=3:当m=-2时，A=2×(一2)2一6×（一2）+7=8+ 12+7=27.故所求A的值为3或27. 【变式训练2】D 【例3】解：(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2. (2)如图所示即为所求 b ab ab b2 a2 I ab 【变式训练3】解：由S阴影=SE方形ABCD十S正方形DEFG一S△ABc SAe可得，Ss-a2+62-2a2-名b(a+6)-号a2+ 6-7=a2+-0)=[a+6r-ab1= 2×(100-72)-14. 【通模拟】 1.D2.D3.A4.C5.-6a26.15 7.248.69.-1012 22专题四 活用乘法公式（答案P22) 类型1》巧用乘法公式的变形求式子的值 3×4X5×6+1=(32+3×3+1)2; 1.已知(a+b)2=11,ab=1. 4×5×6×7+1=(42+3×4+1)2;…. (1)求a2+b2的值. (1)根据你的观察，归纳，发现规律，得9×10× (2)求a-b的值. 11×12+1= (2)试猜想：n(n+1)(n+2)(n+3)+1= 类型5)巧用乘法公式解决最值问题 5.先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 完全平方公式(x士y)2=x2士2xy十y2及 (x士y)2的值恒为非负数的特点在数学学习 类型2》巧用乘法公式进行简便计算 中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+ 12x一4的最大（小）值时，我们可以这样处理： 2.已知算式-2×(3+1)×(32+1)×(34+1)× 解：原式=2(x2+6x-2) (38+1)×(316+1)×(332+1)-1. =2(x2+6x+9-9-2) (1)计算出算式的结果. =2[(x+3)2-11] (2)结果的个位数字是 =2(x+3)2-22. 因为无论x取什么数，都有(x十3)2的值为非 负数，所以(x十3)2的最小值为0，此时x 一3，进而2(x十3)2一22的最小值是2X0 22=一22，所以当x=一3时，原多项式有最小 值是-22. 类型3)巧用乘法公式解决整除问题 解决问题： 3.对于任意正整数n,整式(3n十1)(3n一1)一 请根据上面的解题思路，求： (3-n)(3+n)的值一定是10的倍数，试说明 (1)多项式3x2一6x+12的最小值是多少，并 理由. 写出对应的x的取值. (2)多项式一x2一2x十8的最大值是多少，并 写出对应的x的取值. 类型4)巧用乘法公式解决规律问题 4.有一系列等式： 1×2×3×4+1=(12+3×1+1)2; 2×3×4×5+1=(22+3×2+1)2; 90 优+学案·课时通△ 数学活动（答案P22) 活动1)月历中的奥秘（续） 活动2)和为定值的两数积的规律 1.在日历中，我们可以发现其中某些数满足一定 3.(1)通过观察以下一位数的积：1×9,2×8，…， 的规律， 8×2,9×1,其中每个式子中的两数之和为10， (1)图①是某年11月份的月历，我们用如图② 推测在这些式子中，乘积最大的算式是 所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数 (只需填符合的算式，不需要算出结果) (如图①中的阴影部分)，先将位置b,d上的数 (2)通过观察以下两位数的积：11×19,12× 相乘，再将位置a,e上的数相乘，最后把它们 18,…,18×12,19×11,其中每个式子中的两 的积相减 数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的 例如：5×19-4×20= ,2×16-1× 算式是 .(只需填符合的算式，不需 17= ,发现结果都等于 要算出结果) (2)设“Z”字型框架中位置c上的数为x,请用 4.观察下列各式： 含x的代数式表示b·d= ,利用整 ①60×60=602-02=3600； 式的运算对(1)中的规律加以证明， ②59×61=(60-1)×(60+1)=602-12= 二三四五六日 3599; 123 ③58×62=(60-2)×(60+2)=602-22= 45678910 d e 11121314151617 3596: 18192021222324 “Z”字型框架 ④57×63=(60-3)×(60+3)=602一32= 252627282930 ① ② 3591；…. 【探究】(1)上面的式子表示的规律是： 2.在日历中，我们可以发现其中某些数满足一定 (60+m)(60-m)= ;观察各等式的 的规律。 左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积 (1)图①是某年1月份的月历，我们用如图② 却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因 所示的框架任意框住月历中的5个数（如图① 数 时，乘积最大。 中的阴影部分)，先将位置B,D上的数相乘， 【应用】(2)根据上面的规律思考，若a十b= 再将位置A,E上的数相乘，再相减，例如： 400,则ab的最大值是 10×12一17×5,20×22一27×15，不难发现， 【拓展】(3)将一根长40cm的铁丝折成一个长 这两个代数式计算结果都等于 方形，设它的一边长为xcm,面积为Scm2,此 (2)设框架框住的5个数中位置C上的数为 时长方形的两条邻边长有什么关系？当x为 x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以 何值时，S取得最大值？ 证明. 四五六日 2345 6789101112 13141516171819 20212223242526 2728293031 ① ② △八年级·上册·数学.RJ 91