第六章一次函数练习题2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

第六章一次函数练习题 一、单选题 1．下列各题中的与之间关系式中，是的正比例函数的是(   ) A．在时速为的匀速(速度不变)运动中，路程与时间之间的关系 B．圆柱的体积与它的底面半径之间的关系 C．正方形的面积与它的边长之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过的行李，超过部分每千克收取元的行李费用，则旅客需交的行李费(元)与携带行李质量()之间的关系 2．将如图的直线向上平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 3．若一次函数（k、b是常数）的图象经过一、二、三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．下列有关一次函数的说法中，正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第一、二、四象限 5．给出下面函数：①；②；③；④．其中是的正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到（m，n为常数，且）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（   ） A．y的值随着x值的增大而减小 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．与x轴的交点坐标点是 7．已知一次函数（、是常数）的图象经过点和点，则下列说法中，不正确的是（    ） A．图象不经过第四象限 B．函数值随自变量的增大而增大 C．方程的解是 D．不等式的解集是 8．如图，直线与轴交于点，下列说法正确的是（  ） A．， B．直线不经过第四象限 C．关于的方程的解为 D．若，是直线上的两点，若，则 9．在一条笔直的公路上两地相距，甲车从地开往地，乙从地开往地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度比乙的速度慢 B．甲车出发1小时后乙才出发 C．乙车行驶了或时，甲、乙两车相距 D．乙车到达地时，甲车还有1小时到达地 10．已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知函数（a为常数），当时，y有最大值为5，则a的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 13．直线与直线在同一坐标系中的位置可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 14．为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（    ） A．铁块的高度为 B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为N D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底 15．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，连接．点C是直线的图象在第三象限上的一点．若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．当k变化时，两条直线：和：的最短距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 17．已知一次函数，当时，y的最大值与最小值的和为 ． 18．如图，已知直线，则关于的方程的解是 ． 19．点在的函数图象上，则代数式 ． 20．如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有 个． 21．关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 22．如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ． 三、解答题 23．为了鼓励市民节约用水，郑州市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/m3 单价（元/m3） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量（结果保留一位小数）． 24．某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 25．如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 26．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 27．甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 28．如图，已知直线与轴交于点、与轴交于点，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点，使的面积是的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章一次函数练习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D C D D C C B 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C C B D B A 1．A 【分析】本题考查了正比例函数的识别，根据正比例函数的定义，为常数逐一判断各选项． 【详解】正比例函数需满足为常数)， 选项A：匀速运动中，路程y与时间x关系为，符合形式； 选项B：圆柱体积与半径关系为 为常数不符合； 选项C：正方形面积与边长关系为，不符合； 选项D：行李费与质量关系为，不符合． ∴只有A选项是正比例函数． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了一次函数的解析式，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设直线的解析式为，把代入，求出，即直线的解析式为，然后结合将直线向上平移3个单位长度，进行分析，即可作答． 【详解】解：观察函数，得出直线经过原点， 故设直线的解析式为， 把代入，得，解得 即直线的解析式为， ∵将直线向上平移3个单位长度， ∴得到一个一次函数的解析式为， 故选：B 3．D 【分析】本题考查了一次函数的图象，点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象经过象限的特征，可知确定且，从而判断点所在象限． 【详解】解：∵ 函数的图象经过第一、二、三象限， ∴ 且， ∴ ， ∴ 点中，，， ∴点在第四象限， 故选：D． 4．D 【分析】根据一次函数的性质，图象分布，与坐标轴的交点计算，解答即可． 本题考查了一次函数的性质和应用，图象分布，与坐标轴的交点，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 【详解】A．∵， ∴y随x的增大而减小，故A错误； B．令，则，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故B错误； C．当时，， ∵y随x的增大而减小 ∴，故C错误； D．∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义：，其中 k 为常数且，逐一判断每个函数是否符合该形式，即可求解． 【详解】解：①可化为形式（），是正比例函数； ②含有常数项，不符合形式，不是正比例函数； ③ 可化为形式（），是正比例函数； ∵ ④不符合形式，不是正比例函数； 综上，只有①和③是正比例函数，共2个． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，求一次函数的解析式．先根据给定点求出原一次函数解析式，再根据平移规律得到新函数解析式，最后逐一判断各选项是否正确，即可作答． 【详解】解：∵一次函数经过点和， ∴得 ∴， ∴原函数为， 将向下平移3个单位长度，得新函数， 即，， ∵， ∴随增大而增大， 故A选项不符合题意； ∵，， ∴函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故B选项不符合题意； 与轴交点：令，则， 解得，交点为； 与轴交点：令，，交点为； 面积， 故C选项不符合题意； 与轴交点：令，则， 解得，交点为； 故D选项符合题意； 故选：D 7．D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，以及利用一次函数图象解不等式等知识，求出函数解析式是解答本题的关键． 先求出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴． A．∵，∴图象不经过第四象限，故正确； B．∵，∴函数值随自变量的增大而增大，故正确； C．令，解得，∴方程的解是，故正确； D． 令，解得，∵函数值随自变量的增大而增大，∴不等式的解集是，故不正确； 故选D． 8．C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．由直线的图象可知，即可判断A；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断B；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断C． 【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； 又∵，， ∴直线经过第一、二、四象限，故B错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴关于x的方程的解为，故C正确，符合题意； ∵直线经过第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 9．C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：甲车的速度为，乙车的速度为， ∴甲车的速度比乙的速度慢，故A正确； ∴， ∴，即甲车出发1小时后乙才出发；故B正确； 设甲车所作直线的函数解析式为，把点代入可得：， 解得：， ∴甲车所作直线的函数解析式为， 同理可得乙车所作直线的函数解析式为， ∴， 解得：或， ∴甲车行驶了或时，甲、乙两车相距；故C错误； 乙车到达地，甲行驶了小时，其路程为，则还需到达地；故D正确； 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．一次函数的斜率，那么随的增大而增大，由可知，选项B中，若，则且，结合，可得和，因此恒成立．其他选项可通过反例排除． 【详解】解：∵中，，且， ∴， 对于选项B： 若，则且， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故选项B正确； 其他选项反例： 选项A：取，则，但，，不满足； 选项C：取，则，但，，不满足； 选项D：取，则，但 ，，不满足； 因此，只有选项B正确， 故选：B． 11．C 【分析】本题考查了绝对值的性质，一次函数的性质；由函数的最大值只可能出现在端点处得或，通过解绝对值方程并验证端点值是否满足最大值为5，即可确定 的值． 【详解】解：当时，y有最大值为5， 或， 当时， 或， 解得或， 当时，，（舍去）， 当时，，； 当时， 或， 解得或， 当时，，， 当时，，（舍去）； 故或. 故选：C． 12．C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 13．B 【分析】本题考查一次函数的解析式，要求学生会根据一次函数的解析式，分析判断函数的图象的性质． 根据题意，联立两直线的方程可得，，解得，，即两直线的交点的横坐标为，且两直线的比例系数异号，即直线的倾斜方向不一致，分析选项，可得答案． 【详解】解：根据题意，联立两直线的方程可得，， 解得，， 即两直线的交点的横坐标为， 且两直线的比例系数异号，即直线的倾斜方向不一致， 分析选项，B符合； 故选：B． 14．D 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，旨在考查学生的信息提取与整合能力，根据图象所给数据，逐一判断即可. 【详解】解：由图2可知，铁块在下降到时刚开始浸入水中，继续下降到时恰好整个铁块全部没入水中，因此铁块的高度为，故 A 正确；   铁块未入水前（即刚接触水时）下降了，图 1 中标出了从烧杯底到铁块顶端为可见水面到烧杯底的高度为，故 B 正确；   当铁块下降到 时，此时已经浸入水中，即铁块浸入了自身高度的一半，浮力也应为最大浮力 N 的一半，即 N，故 C 正确；   若弹簧测力计示数为 3 N，则铁块所受浮力为，占最大浮力 N 的，即铁块浸入高度为；即此时铁块顶端距烧杯底 ，故 D 错误； 故选：D. 15．B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，正比例函数的性质．先计算的面积，再根据的面积是面积的两倍，设设点C坐标为，其中，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∵点C在直线上，且在第三象限， 故设点C坐标为，其中， 根据面积公式：， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故点C坐标为． 故选：B． 16．A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，当两个不同的一次函数的解析式的k相同的时候，这两条直线在坐标系中的图象是平行的，解题要运用数形结合的思想，通过画图来求解．先观察两个一次函数的解析式发现，这两个图象分别经过一个定点，直线：经过定点，：经过定点，然后可将大致图象在坐标系中画出，来观察两直线的最短距离，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，直线：和：的图象大致如下： 这两条直线图象可分别绕着A点、B点旋转，可知当时，两直线之间的距离最短为的长度为1，此时与x轴重合，与x轴平行 故选：A． 17．2 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据增减性求出最大值和最小值，求和即可． 【详解】解：一次函数中，， ∴函数值随自变量增大而减小， ∵， ∴当时，，最大 当时，，最小， ∴最大值与最小值的和为． 故答案为：2． 18． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 19．3 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由点代入函数解析式可得b与a的关系，进而求出的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵点在的函数图象上， ∴， 即， ∴； 故答案为3． 20．3 【分析】本题主要考查了一次函数与动点问题，准确分析求解是解题的关键． 根据已知条件求出一次函数解析式，当点在轴上，设，则根据和两种情况讨论，当点在轴上，设，当时求解即可． 【详解】，点在轴的负半轴， ， 直线过点， ， ， ， ， 当点在轴上， 当，点与原点重合，； 当，设， ，，， ，，， ， 解得：， ； 当点在轴上， 当，设， ，，， ，，， ， ， ； 符合条件的点的坐标是或或，有个； 故答案是：． 21．②③④ 【分析】本题考查了一次函数的概念，图像和性质，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．对于函数，结合k的取值情况依次判断即可． 【详解】解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误． 故答案为：②③④． 22． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键． 由解析式先求出点、坐标，利用勾股定理求出线段长，设，根据对称性质及勾股定理得到，求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ，， 在中，由勾股定理可知：， 由折叠性质可知， ， 设，则， 由勾股定理得：，解得， ， 设直线解析式为，代入点坐标得：，解得， 直线的函数解析式是． 故答案为：． 23．(1) (2)元 (3) 【分析】本题考查了函数解析式以及一元一次方程的实际应用，注意计算的准确性即可； （1）求出第一档的水费为，则第二档的水费为； （2）根据（1）即可求解； （3）求出第一档和第二档的最高费用，可推出该户的年用水量属于第二档，所以，即可求解； 【详解】（1）解：第一档的水费为（元）， 第二档的水费为（元）， ∴水费y（单位：元）与x之间的关系式为：； （2）解：当某户一年用水量是时，处于第二档， ∴（元）； 该户这一年的用水费为元． （3）解：第一档的最高费用为（元）， 第二档的最高费用为（元）， 因为，所以该户的年用水量属于第二档，所以， 解得：x约等于． 答：该户去年一年的用水量约为． 24．(1) (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ； （2）解：①当时，，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 25．(1) (2)的最小周长是 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）周长， 当最小时，的周长最小， 如下图，作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D， 此时，可得到最小值， ，C与A关于y轴对称， M为中点，， ，即， ， ， 在中，， 在中，， 周长． 26．(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 27．(1)甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 (2) (3)乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； （2）解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 28．(1) (2)12 (3)的坐标为或． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点与轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ∵直线， ∴，， ， ， ， 当点在延长线上时设， ，   ， ， 的横坐标为或10(舍去）， 代入直线得，， 的坐标为， 当点在线段延长线上时，设， ， ， ， 的横坐标为（舍去）或2， 代入直线得，， 的坐标为． 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $