4.2 三角形及其重要线段-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

对点练习 6.已知命题：对顶角相等 (1)请把该命题改为“如果…，那么…”的形式； (2)写出这个命题的逆命题； (3)请判断(2)中的命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出一个反例验证你的 判断。 温馨提示：请完成《分层作业本》P43-44 命题点2三角形及其重要线段 考情时间轴 6.中位线性质 4.三角形内角和与 18.作角平分线 17.作角平分线 内外角关系(3分) 6.角平分线的性质(3分) 26.(3)中位线性质 垂直平分线 17.作垂直平分线 17.作垂直平分线 2024 2022 2020 2018 2025 2023 2021 2019 17.作垂线 7.作角平分线 6.求三角形的高(3分) 6.角平分线的性质 26.(2)中线的性质 17.作垂线 教材要点归纳 要点1三角形的分类 三边都不相等的三角形 锐角三角形：三个角都小于90 (1)按边分类 底边与腰不相等 (2)按角分类 直角三角形：有一个角等于90° 等腰三角形的等腰三角形 钝角三角形：有一个角大于90° 等边三角形 要点2三角形的三边关系 (1)任意两边之和① 第三边.如图，a+b② C: (2)任意两边之差③ 第三边.如图，a-b④ C. 对点练习 1.如图，为估计池塘两岸A,B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m,PB= 12m,那么A,B间的距离可能是 第1题图 A.2 m B.30m C.28m D.20m 52 知识，点精讲·陕西数学 一战成名新中考 要点3三角形的内角和与内外角关系(2021.4) 如图，在△ABC中，∠1，∠2，∠3是三角形的内角，∠4，∠5，∠6是三角形的外角. 图形 结论 依据 ∠1+∠2+∠3=⑤ 三角形内角和等于180° ∠4+∠5+∠6=⑥ 三角形外角和等于360° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 ∠6=∠2+⑦ 角之和 34 C ∠6⑧ ∠2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一 ∠6⑨ ∠3 个内角 若∠2>∠3，则AC0 AB 在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边 对点练习 2.[2021陕西4题3分]如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE.若∠A=35°，∠B= 25°，∠C=50°，则∠1的大小为 A.60° B.70° C.75° B D D.85° 第2题图 要点4三角形中的重要线段重点 名称 图形 三心 重要结论 (1)∠ADB=∠ADC=90°； 1 1 (2)Saac=2BC·AD=2AC·BE: 垂心：三角形三 (3)S△ABD:S△CD=BD:CD; 高线 条高的交点（点 (4)锐角三角形的三条高在其① ；直角 0) 三角形的两条高是其直角边，斜边上的高在 其② ;钝角三角形两条较短边上的 高在其③ 较长边上的高在 其④ (1)BD-CD-BC.AE-CE-AC: 重心：三角形三 1 中线 条中线的交点 (2)SAABD=SAACD= (点0) SAARE=S△CBE= (3)A0:0D=B0:0E=2:1 知识，点精讲·陕西数学 53 续表 (1)DEBC,DE=⑤ BC; 中位线 E (2)△ADE的周长=⑥ △ABC的周长； (3)SAA0e=⑦ B S AABC ()∠BMD=∠CD=2∠BAC, 内心：三角形三 角平分线 条角平分线的 ∠ABE=∠CBE= 2LABC: 交点（点0） (2)SAABD:SAACD=BD:CD=AB:AC, D SARAE :SARCE=AE CE=BA:BC; (3)内心到三角形三边距离相等 金易错警示三角形形状未知时，其高线可能在其内部，可能在其外部，也可能是其边，则求解高 线时需要分类讨论 归纳总结”你会用尺规作图分别作出三角形中的重要线段吗？ 中线AD(点D在 高AC(点C在线 角平分线OC(点C 中位线DE(点D、E分 线段BC上) 段BD上) 在线段AB上) 别在线段AB、AC上) 对点练习 3.[一题串考点]在△ABC中，D是BC上一点，连接AD. (1)如图①，D是边BC的中点. ①若AB=5,AC=6,则△ABD与△ACD的周长之差为 ②若DE∥AC,△ADE的面积为2，则△ABC的面积为 D 6 D D 图① 图② 图③ 第3题图 (2)如图②，AD是△ABC的角平分线， ①若∠B=30°，∠ADC=70°，则∠C的度数为 ②若AB=6,AC=4,S AARD=6,则△ABC的面积为 (3)如图③，AD是BC边上的高： ①若BC=5DC,SAARD=16,则SAC= ②若AB=4,AC=3,∠BAC=90°，则AD的长为 54 知识，点精讲·陕西数学 一战成名新中考 要点5与角平分线有关的结论 点D在BC的延长线上，点D,E分别在AB,AC的 在△ABC中，BP,CP分别平 条件 BP,CP分别平分∠ABC延长线上，BP,CP分别平 分∠ABC和∠ACB 和∠ACD 分∠DBC和∠ECB 图形 B D ∠BPC与 ∠A的角 LBPC=18 ∠BPC=-⑨ ∠BPC=②0 度关系 线段关系 点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离相等 对点练习 4.[北师八上P187第16题改编]如图，在△ABC中，B0,C0分别平分∠ABC,∠ACB,且交于点 O,CE为外角∠ACD的平分线，B0的延长线交CE于点E. (1)求证：∠A=2∠E; (2)直接写出∠BOC和∠E的数量关系，并说明理由. D 第4题图 温馨提示：请完成《分层作业本》P45-46 命题点3等腰（边）三角形的性质与判定 老情时间轴 14.等边三角形性质 18、24、26.涉及等 25.(1)等腰 腰三角形性质 26.(1)等腰三角形性质 7.等腰三角形性质 三角形性质 2024 2022 2019 2025 2023 2021 2018 13.等腰三角形性质(3分) 26.(1)等边三角形性质 17.等腰三角形性质 知识，点精讲·陕西数学 55一战成名新中考 第四章三角形 命题点1线段、角、相交线与平行线 解法2：如解图②，连接BP交AC于点M,由BN=AP= 1.解：(1)画出直线AB如解图； 2,∠BNP=∠APC=90°，PN=CP=3,得△BNP≌△APC, (2)点P如解图所示，作图原理：两，点之间线段最短： .∠BPN=∠ACP,∠CAP+∠ACP=90°，.∠BPN+ (3)2. ∠CAP=90°，.∠AMP=90°，.BP⊥AC,.点M与点D PM AP 重合，易得△PAM~△PBN,PN=√2+3 D =13...Pl 2 C 3后 PM=63 13 BM=BD=BP- 第1题解图 2.(1)26°：(2)10：(3)7.5°3.(1)平分：(2)44.B PM=1V13 5.D6.C7.A8.B9.B 13 变式证明：由作图痕迹可知，BC为∠ABE的平分线， 10.3【解析】如解图，过点D作DF⊥OB于点F,∠BCD= .·∠BED=52°，∠C=26°， 30°，CD∥OA,∴.∠AOB=∠BCD=30°，.OD是∠AOB的 ∴.∠CBE=∠BED-∠C=26°， 平分线，.∠C0D=∠A0D=15°，CD/∥0A,.∠CD0= ·BC为∠ABE的平分线， ∠A0D=15°，∴.∠C0D=∠CD0=15°，∴.CD=0C=6, .∴.∠ABE=52°，∠ABE=∠BED,.∴.AB∥CD 10.解：(1)如解图，过点E作EF∥AB.:EFAB,AB∥CD, DF= 2 CD=3,DEL0A..DE=DF=3. 1 .EF∥CD, ∴.∠B=∠BEF,∠D=∠DEF B ·∠BED=∠BEF+∠DEF,.∠BED=∠B+∠D: D 0 E A 第10题解图 1L.C【解析】解法1：如解图①，延长DC交AB于点F,则 第10题解图 ∠CFB=∠D+∠A=30°+90°=120°，.∴∠BCD=∠CFB+ (2)∠BAE=135°，AF平分∠BAE, ∠B=120°+20°=140° 六∠B=∠B4E=7×135=67.5, 1 解法2：如解图②，连接BD,:LA=90°，，∠ADB+ ∠DCE=130°，CF平分∠DCE, ∠ABD=90°，.∠CDB+∠CBD=(∠ADB-∠ADC)+ ·.∠DCF=65°， (∠ABD-∠ABC)=∠ADB+∠ABD-∠ADC-∠ABC= 由(1)同理可得∠AFC=∠BAF+∠DCF=67.5°+65°= 90°-30°-20°=40°，÷∠BCD=180°-（∠CDB+ 132.5°. ∠CBD)=180°-40°=140°. 命题点2三角形及其重要线段 解法3：如解图③，连接AC并延长到，点E,.∠DCE= 1.(1)40°：(2)85°：(3)85°，709 ∠D+∠DAE,∠BCE=∠B+∠BAE,∠BCD=∠D+ 2.D3.32变式C4.B拓展6 ∠DAE+∠B+∠BAE=∠B+∠D+(∠DAE+∠BAE), 7557 5.(1)18:(2)1:3)23386. ∠B=20°，∠D=30°，∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°， 7.4拓展36°8.5变式14 ∠BCD=20°+30°+90°=140° 9.D【解析】解法1：如解图①，由勾股定理可知，AC= √2+3=√13，SAc=S正方形MNCP-S△AwB-S△BG-S△PAG= 21x3. 3x3x1x2 2*2x3=7 ,则Sac=24C· 7 7√13 BD=- BD= 13 图① 图② 图③ 第11题解图 1210 7 【解析】如解图，连接AE,BF,CD,点E是线段 BD的中点，BE=ED,.S△DE=S△然，S△FE=S△FE,同 图① 图② 理可得：SAADE=SAFE,S△Dc=S△PmC,S△EPB=S△CFB,S△PE= 第9题解图 S△c,.△ABC被分为7个面积相等的三角形.S影= 参考答案与重难题解析·陕西数学 25 _10 BD,∠OBD=∠CA0=60°，：OD=0B,.△0DB是等 7Sa4cSac=10.S阴影=7 边三角形，.OD=BD=20cm,∠B0D=∠CDB=60°， B ∠A0C=∠B0D=60°，.△A0C是等边三角形，：BD= 2AC,∴.C0=AC=10cm,∴.CD=C0+0D=30(cm), ∠CDB=60.CE1k∠DcE=30,DE=子CD= 15(cm),在Rt△CDE中，CE=√CD-DE=153(cm), 第12题解图 第13题解图 DC-CE=(30-155)cm. 13.4√2【解析】如解图，延长DC至，点F,使CF=DC,连接 MA 椅面水平线 BF,DC=CF,点D是AC的中点，∴.AF=3CD,.AB= 3CD,Af=AB,又：∠A=90,AB=AF= 2BE:点 E是BD的中点，DC=CF,..CE是△DBF的中位线，. D 地面水平线 第11题解图 BF-2CE-2x4=8. 2F=4v2. 12.解：解法1：如解图①，AB=AC,.∠ABC=∠ACB, AC∥BF,.∠FBC=∠ACB,.∠ABC=∠FBC,..BC平 命题点3等腰（边）三角形的性质与判定 分∠ABF,过点C作CM⊥AB于点M,过点C作CNI 1.A拓展1-1D拓展1-240°变式22 BF于点N,BC平分∠ABF,CM⊥AB,CN⊥BF,.CM= 2.B3.C4.55.5-16.(1)120°：(2)5 CN,AE=BF,SACEA=SACPB,.SACE+SACE=SACPR+ 7.C【解析】由题意可画草图如解图，点P的位置有两种 S&CBE,.S四边形Be=SAc,过点A作AD⊥BC于点D, 情况，P和P',易得∠AP℃的度数为15°或75° P AB=AC=13,AD LBC,.BD=2 BCBC=10,BD= 1 5,由勾股定理得，AD=√AB-BD=12,.Sac=2BC ·AD= 2X10x12=60S时市c=SAc=60. -D B PL 第7题解图 8.29.C 图① 图② 10.C【解析】如解图，分三种情况：当MP=MW时，以点M 为圆心，MN的长为半径作圆，则点P,P,即为所求：当 第12题解图 NP=NM时，以点N为圆心，WM的长为半径作圆，则点 解法2：如解图②，过点C作CD∥AB交BF的延长线于 P,即为所求：当PM=PN时，作线段MN的垂直平分线， 点D,:AC∥BD,CD∥AB,.四边形ABDC为平行四边 则点P,P,即为所求；综上所述：使得△MWNP为等腰三 形，AB=AC,.四边形ABDC为菱形，BF=AE,.DF 角形的P点的个数为5. =BE,由菱形的性质可得SACDF=S△cBE,S△HcE=SAcr(等 底等高)，Sc=2S美影c=Sac,过点A作A1 BC于点M,则BM=之BC=5,由勾股定理得：AW- VaG-Bm=12S=之c·AW= ×10x12= 60六Saac二60 命题点4直角三角形的性质与判定 1（(I)∠B和∠PCA:(2)空：(3)B 第10题解图 2.C3.D4.B5.66.B7.C8.A9.D 11.(30-155)【解析】如解图，过点C作CE⊥1于点E,10.35【解析】如解图，取AB的中点D,连接CD,BD= CE即为折叠椅完全打开时的高度.：∠CA0=60°，AC∥ AD=3=AC,又：∠A=60°，.△ADC为等边三角形，∠A= 26 参考答案与重难题解析·陕西数学