3.10 二次函数的实际应用&3.11 二次函数与几何图形综合题-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 为直线x=-4=2,与y轴交于点(0,3），抛物线过点 解法2：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 2a (a+b+c=0. (4,3),画草图如解图，当a>0时，抛物线开口向上，则抛 将A(1,0)、B(0,3)代入，得 (c=3. 物线在x=2时取得最小值，在x=4时取得最大值，y=3, 当x=2时，y=ax2-4ax+3=4a-8a+3=-4a+3,则3-(-4a+ 又：抛物线对称轴是直线x=2, b =2,∴.b=-4a 2a 3)=8,解得a=2,同理，当a<0时，抛物线开口向下，则 a=1 抛物线在x=2时取得最大值，在x=4时取得最小值， 联立解得b=-4 -4a+3-3=8,解得a=-2. c=3 a<0时，x=2处 .抛物线的表达式为y=x-4x+3. 取最大值 3.解：根据题意，令x=0,易得c=1,c'=2 令x=3,得y=-3x+xtc a>0时，x=4处取最大值 3×32+3动+1=0. a<0时，x=4处取最小值 解得6子： ∴.A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距 2 4 a>0时，x=2处取最小值 离（四）之间的表达式分别是y=子产 3x+1和y= 第8题解图 子学2 9.B【解析】①当n≥4时，则x=4,y=-10,代入抛物线y= 4.y1=x2-2x+1【解析】：抛物线y1=x2+(n-2m)x+m -(x-n)2-1,得-10=-(4-n)2-1,整理得n2-8n+7=0,解 n与抛物线y2=-x2+(4m-6)x+2m-3关于原点对称， 得n=7或1（舍去）：②当n≤1时，则x=1,y=-10,代入 （n-2m=4m-6, 解得m1, 抛物线y=-(x-n)2-1,得-10=-(1-n)2-1,整理，得n2 (m-n+2m-3=0 n=0,方的表达式为为=- 2n-8=0,解得n=-2或4（舍去）.③当1<n<4时，当x= 2x+1. n时，取最大值为y=-1,不符合题意.故n的值为7或-2 5.解：C,关于y轴对称的表达式为y=ax2+2x+3 命题点9二次函数表达式的确定 .a=-1,m=2,n=3. .C1y=-x2-2x+3,C2y=-x2+2x+3. 1.解：解法1：二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,5)， 6.解：由题意，把，点(1，-3)代入，得a(1+2)2=-3,解得a= .c=5,.y=aa2+bx+5. 将(-1,4)，(1,8)代入y=ax2+bx+5中. 3 加得公 1 (8=a+b+5, 抛物线C的表达式为)=3(x+2), .此二次函数的表达式为y=x2+2x+5. 将抛物线C向左平移5个单位长度，向下平移3个单 解法2：二次函数)y=a+hx+c的图象过点(-2,5， 位长度得到抛物线C, 1 (0,5), 抛物线C,的表达式为y=3(+7)-3, 二对称轴为直线x=, =-1 .抛物线C,的顶，点坐标为(-7，-3) 命题点10二次函数的实际应用 .顶点坐标为(-1,4)， A 设二次函数表达式为y=a(x+1)2+4, 2.B【解析】DE:EF-3:2,.设DE=3a,EF=2a,由题意 将(0,5)代入，得a+4=5,解得a=1, 此二次函数的表达式为y=(x+1)2+4=x2+2x+5. 得D(-a,3a),把点D的坐标代人y=- 2+8,得3a 解法3：任取三组x和y的对应值代入y=ax2+bx+c(a≠ 0)中，解三元一次方程组即可. 2×(-a)2+8,解得a=2(负值已舍去)D=3a 2.解：解法1：.·抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(1 6(米) 3.2.75 0) 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(3,0) 4.解：(1)依题意，顶点P的坐标为(5,9)， :设抛物线的表达式为y=a(x-,)(x-,)(a≠0)， 设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9, 即y=a(x-1)(x-3), 将0.0代人得0=a0-549.解得a=云 把B(0,3)代入，得3=3a,.a=1, 9 .抛物线的表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 “抛物线的函数表达式为y=25（x-5)°+9； 参考答案与重难题解析·陕西数学 21 2令y=6,得君5户49=6 :抛物线Ⅲ依然过点E,顶点高度不变，沿x轴正方向移 动了40个单位长度， 解得，555，=555 .抛物线Ⅲ的顶点为(160,180)， 3 3 设抛物线Ⅲ的表达式为y=m(x-160)2+180, 4s6.5596 将点E(80,120)代入， 得m(80-160)2+180=120,解得m=320 3 5.解：(1)由题意，得点A(0,90)为图中抛物线的顶点， B(20,70). 之抛物线Ⅲ的表达式为y三30x-160)2+180, ∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+90, 把B(20,70)代人y=ax2+90,得70=400a+90, 3 当y=0时，320x-160)+180=0, 解得a-1 20 解得x1=160+805,x2=160-805(舍去)， 抛物线的西数表达式为y分490： .新降落点的坐标为(160+805,0). 8.解：：四边形BFED为矩形，设EF=x,.EF=x=BD,EF∥ (2)把y=20代入y=20+90得20=分40， BC, AF EF 解得x=10√4≈37.4（负值已舍去）， △AEF∽△ACB,.ABCB'1 .:0C=30cm, AF=x8= 4 .0D=0C+CD=30+20=50cm, 6 3, .30<37.4<50. “.小球最终能落到纸箱内。 F=8 6.解：(1).B0=4m, .SE形DEr=EF·BF=x·(8- 4 .抛物线L,的顶点B的坐标为(0,4)，设抛物线L,的函 数表达式为y=a(x-0)2+4=a2+4, 3(x-3)2+12. AC=16m,结合抛物线的对称性得A(-8,0),C(8,0), 将C(8,0)代入y=ax2+4, 、4 <0SE形r有最大值， 得0=64a+4,解得a=i6 当=3时，Smr= 号3-3412=12. y=6+4 ∴.该矩形木料BDEF的面积为12. 9.解：如解图，过点C作CF⊥AB,交AB (2)由(1)得抛物线乙的函数表达式为y=16+4, 的延长线于点F AB⊥AD,.∠BAD=∠D=∠F .MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC,NQ= 之m,且抛物线L,的 =90°， 3 .四边形ADCF为矩形 函数表达式为y归6x4), 又：AD=CD,四边形ADCF为正 第9题解图 0=%%=石+4总-4门= 1 方形， ∴.AF=AD=CD=CF=100m. 整理得x2-12x+36=(x-6)2=0, AB=DE,..AE=BF. 解得x1=2=6, 设AB=xm,则AE=BF=(100-x)m,DE=xm, .MN=2×6=12(m) 7.解：(1)0D=40,抛物线I的顶点C到04的距离 5Sag7CF.BF-7x10x(10-)=500-50, 为60， .C(40,60), 设抛物线I的表达式为y=a(x-40)2+60, 0B=120,对称轴为直线x=40, Sw=了4BA=7(10-)=7+50. .B(0,120),E(80,120), 将B(0,120)代入y=a(x-40)产+60，得a=80 55%a=100-(500-30e）-30r-(7+50)- 3 y=80(x40)+60(0≤x≤80)： 2(-100)+5000=7（-50)2+3750 当x=50时，△BCE的面积最小，最小为3750m2. (2)抛物线I与抛物线Ⅱ关于点E中心对称， 10.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪 抛物线Ⅱ的顶点坐标为(120,180)， 吒”纪念品每个进价为y元， 22 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 由题意得 200x+300y=14000 100x+200y=8000 解得40， (y=20 解法2：①将y=- 9 4(x-3)+向右平移K(K>0)个 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪 单位 念品每个进价为20元： 得y=(3-+当过(0,4)时y=0-3 1 (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念 品(400-m)个， 24 由题意得，40(400-m)+20m≤12000，解得m≥200. 解得K=-8(舍去)或K=2. m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个 44(-5)+9」 =x3-2+=4 4 (3)由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) 2将y=子3)，号白左平移K0个单位， =(a-40)(500-5a) =-5a2+700a-20000 =-5(a-70)2+4500. 当过(0，-4)时，y=4(0-3+K)°+ =-4,解得K=-2 -5<0,60≤a≤100， 舍去)或K=8. ∴.当a=70时，W最大，最大值为4500元. 91 ..y=- 命题点11二次函数与几何图形综合题 4(x-3+8)2+ 1.解：如解图，设对称轴交x轴于点H,过点E作EG⊥DH 综上，L2的表达式为y=- 4(x-5)2 9或y1 于点G,易得△DGE∽△AHD ÷0品镜01 5)9 4 3.解：存在点P:画图如解图 由-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3, ∴.A(-1.0),∴.AH=2. 由已知得，该抛物线的对称轴为直线x=2x(-）1 则BG=DI=nG==1, 点C与点C关于直线x=1对称，C(0,8), OH .C(2,8),CC'=2. .GH=t-1, .CC'//0B. 第1题解图 t 点P在y轴上， 点E的坐标为(1+21)， ∴∠PCC'=∠POB=90°， 六1=-1+宁户+21+宁*3. :PC与P0是对应边， 当△PCC'∽△P0B时，P0OB PC CC' 解得t=26-2或t=-26-2(舍去)， 设P(0,y),由B(4,0)得0B=4, ∴.点E的坐标为(6,2w6-3). ①当n8时，则)名y=16n0.16 4 4 ②当0<y<8时，则8y= 16 4…y= 16 、.抛物线L的顶点为(1，年)， 9 y 3P.(0,3). ÷顶点关于(2,0)的对称点为(3, ③当×0时则c0p,与%不香， 4）, 点P不存在 山的表达式为y=子-3)子 1 综上所述，点P的坐标为(0,16)或(0,3)， 16 易得抛物线Ly=子(-1)户-？与y轴的交点为c(0. 4 -2), 由题可知AB=A'B',要使S△rc=2Sac,则L,与y轴的 交点为(0，-4)， 解法1：令y=(-3)产+ 1 =-4,解得x=8或x=-2, C8 只需将抛物线L,向右平移2个单位或向左平移8个 P 单位， 的表达式为y=子(-3-2)+？ 1 1 B 4 4(-5)+9 20 91 9 或y=4(x3+8)+=-4(x+5)+ 第3题解图 参考答案与重难题解析·陕西数学 23 4.解：：二次函数的表达式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 综上，点P的坐标为(2，√17)，(2,2)或(2,3+√14). 与x轴交于AB两点，顶点为D, .D(-1,4),对称轴为直线x=-1,A(-3,0),B(1,0), .H(-1,0),.0H=1,DH=4,BH=2, ·PG⊥x轴，二次函数对称轴与x轴交于点H,.∠DB =∠PGQ=90°，要使P、Q、G为顶点的三角形与△BDH全 等，则 ①如解图①，PG=DH=4,GQ=BH=2,∴.yp=-4,在y=-x2- D 2x+3中，令y=-4,得-x2-2x+3=-4, 解得x1=-1-22(舍去)，x2=-1+22, 图① 图② 图③ .P(-1+22,-4), 第5题解图 .G(-1+22,0), .Q1(1+2√2,0)，Q2(-3+2√2,0)： 6解：抛物线=子+b+c经过A40,G0,-4两点。 ②如解图②，PG=BH=2,GQ=DH=4,∴y,=-2,在y=-x2- 、×42+4b+c=0 解得1， 2x+3中，令y=-2,得-x2-2x+3=-2, (c=-4, c=-4. 解得x3=-1-√6（舍去），x,=-1+√6， .P(-1+W6,-2),.G(-1+W6,0), 八抛物线的表达式为y=4: ∴.Q3(-5+6,0),Q4(3+6,0), :将抛物线)了-一4向右平移3个单位长皮得范物 综上，以P、Q、G为顶点的三角形与△BDH全等时，点P 7 线y=7(x-3)户-(x-3)-4=2-4+2, 的坐标为(-1+2√2，-4)，点Q的坐标为(1+22,0)或 (-3+2√2,0)：点P的坐标为(-1+√6，-2)，点Q的坐标 ·新抛物线的对称轴是直线x=-一4 =4 1 为(-5+√6,0)或(3+√6,0). 2×2 在)-47中，令=0得y子r0子. 7 将P(2,-4)向右平移3个单位长度得M(5,-4), 设4..0之-4+子. 7 则①当QNMF为对角线时， 1r+4=5 r=1, 图① 图② .1 2-4r+ 77 解得 n+ 4 n= 2 22 第4题解图 1 5.解：：二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴交于点A和点 .0(1,0),N(4,-2); B,与y轴相交于点C.C(0,3),对称轴为直线x=2,当 ②当QM、NF为对角线时， y=0时，解得1=1，x2=3,A(1,0),B(3,0),易得BC= 15+r=4, r=-1. 35. … 7 7解得 {4+-4子n 2 点P在对称轴上，且点P在直线BC上方，设点 1 P(2,m),.PB2=1+m2,BC2=18,PC2=4+(m-3)2, Q(-1,8),N(4,2) 要使△PBC为等腰三角形，则 ③当QF、NM为对角线时， ①如解图①，当PB=BC时，1+m2=18,解得m=±√7 T=4+5, r=9. P,(2,√7)，P(2,-√7)（舍去）； .12-4 77 解得 31 21 =n-4. 22 n 21 ②如解图②，当PB=PC时，1+m2=4+(m-3)2,解得m= 31 2,即点P,(2,2): Q(9,8),N(4,2 ③如解图③，当BC=PC时，18=4+(m-3)2, 综上所述，01,0)，N4,之)或Q(-1,8),N(4,2)或 解得m=3±√/14， 即点P(2,3-√14)（舍去），P(2,3+√14) 0u9.84,3. 24 参考答案与重难题解析·陕西数学命题点10二次函数的实际应用 考情时间轴 25.大门背景求 25.拱门背景比较 26.(2)二次函数 线段长(8分) 面积大小(8分) 求面积最值 2024 2022 2020 2025 2023 2021 25.索桥背景求 25.隧道背景求 25.(3)二次函数 线段长(8分) 点坐标(8分) 求面积最值 教材要点归纳 类型1抛物线型、类抛物线型问题(2025~2022.25) (1)关键词：涵洞、桥拱、喷泉、踢足球、投篮球、大棚等； (2)常考方式：结合图形建立平面直角坐标系，根据文字描述对应写出图中点的坐标，再结合坐 标求函数表达式. 特别提醒：①距离转化为点坐标要注意正负：②最大高度、水平距离等词要正确理解 例1[人教九上P36例4改编]某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流距水 平面的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB, 垂足为点A.已知OC=OB=8m,OA=2m,求该水流距水平面的最大高度AD. 解读关键句： ①D为…最高点→D是抛物线顶点 ②0C=OB=8m,OA=2m,DA⊥OB→C(0,8),B(8,0),对称轴为直线x=2. 【自主作答】 y/m OA B x/m 例1题图 类型2面积问题(2021.26、2020.25) (1)常考方式： ①规则图形面积→直接用面积公式表示出面积S与自变量x之间的二次函数关系： ②不规则图形→利用割补法转化为几个图形面积的和或差，再列函数关系 (2)常考设问： ①确定函数关系式； ②确定面积最值一→能取到对称轴时，利用配方法或最值公式求解：不能取到对称轴时，利用 增减性求最值 46 知识，点精讲·陕西数学 一战成名新中考 例2某农场拟建一间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留 2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m.设饲养室长 为xm,占地面积为ym2,则y关于x的函数表达式是 A.y=-x2+50x B.y=- 22+24x C.y= 2t2+25 D.y=- +26 墙 -xm- 例2题图 例3题图 例3[2020陕西25题改编]如图，AB是半⊙0的直径，AB=10,C是半圆上一动点，CP平分 ∠ACB交AB于点P,PM⊥AC于点M,PWN⊥BC于点N,若AP=x,阴影部分的面积为y,则 y关于x的函数关系式为 思维点拨 先证四边形PMCN是正方形，再旋转△APM使得PM和PW重合，由三角形面积公式 得解。 类型3销售利润问题 (1)常考方式： ①单价每增加…销量减少.… ②单价每减少…销量增加… ③已知销量与价格的一次函数关系（多以图象、表格形式呈现），再求利润（利润=单价×销售 量-总成本)； (2)常考设问：如何定价利润最大→二次函数性质求最值。 例4[2024西工大附中月考]某超市购进一种商品，成本为每盒30元，市场规定商品销售单价 不能高于商品成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(盒)与销售单价x(元)符合一次函 数关系，如图所示.当销售单价为多少元时，该超市日获利最大？最大获利是多少元？ y/盒 审（解读关键句、图中信息）： 80 ①成本为每盒30元，销售单价不能高于商品成本价的2倍x≤2× 30=60: ②日销售量y与销售单价x…如图y是x的一次函数，经过点(40， 4050/元80)，(50,60)： 例4题图 ③日获利=（销售单价-成本单价）×日销售量 温馨提示：请完成《分层作业本》P36-39 知识，点精讲·陕西数学 47 命题点11二次函数与几何图形综合题 考情时间轴 25.相似存在性问题(8分) 24.全等存在性问题(10分) 24.相似存在性问题(10分) 24.面积相等问题(10分) 2021 2020 2019 2018 问题：已知二次函数y=-x2+2x+3的图象如图所示，与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴 交于点C,顶点为M,对称轴与直线BC的交点为N.动点D是线段OB上一点（不与点B重合）， 过点D作DF垂直于x轴，交二次函数的图象于点F,交BC于点E,设点D的横坐标为m 设问角度一求图中点的坐标 点A的坐标是① ,点B的坐标是② 点C的坐标是③ ,点M的坐标是④ 设问角度二求直线表达式 对称轴是直线⑤ 直线BC的函数表达式是⑥ 直线AC的函数表达式是⑦ ;直线BM的函数表达式是⑧ 设问角度三求图中线段的长 AB=⑨ ;BC=0 :CM=① ;BM=2② :MN=13 设问角度四 用含m的代数式表示 (1)表示点坐标：点E的坐标是④ ,点F的坐标是⑤ (2)表示线段长：DE=⑥ ;EF=⑦ ； BE=B ;CE=9 (3)表示图形面积：SArC=四 ;S四边形CFB= 设问角度五最值类 (1)当m=2 时，线段EF最长： (2)当m=3 时，△BCF的面积最大，最大面积是④ 设问角度六等量关系类 (1)当EF=MN时，可列方程为5 解得m=6 (2)当E是DF的中点时，列方程为2⑦ ,解得m=8 设问角度七特殊图形类 (1)若△CEF是等腰三角形，按以下三种情况分类： 当EF=CF时，∠FCE=∠FEC=29 ·,则∠CFE=③0 °，CF3① OB,则点F的坐标为 2 ;同理可求当CF=CE时，点F的坐标为3 ;当EF=EC时，点F的坐 标为3④ (2)若△CEF是直角三角形，由于∠CEF=45°，则只需按以下两种情况分类： ①∠CFE=90°，可得点F的坐标为 ②LFCE=90°，可得点F的坐标为36 (3)若以点M,N,E,F为顶点的四边形是平行四边形，由已知MNEF,则需MN与EF的数量关 系是3 可得点F的坐标为8 温馨提示：请完成《分层作业本》P40-42 48 知识，点精讲·陕西数学