3.8 二次函数图象与性质的应用&3.9 二次函数表达式的确定-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 命题点8二次函数图象与性质的应用 教材要点归纳 要点1二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+b+c=0的关系 【2022年版课标新增内容】 本质：求ax2+bx+c=0的根即求对应函数y=ax2+bx+c=0时x的值[数]→[形]二次函数图象与 x轴交点的横坐标 抛物线①与x轴有两个交，点方程a2+br+c=0有① 的实 数根，根为交点横坐标曰→b2-4ac>0 抛物线②与x轴有一个交，点曰方程ax+bx+c=0有② 的实 数根，根为交，点的横坐标→b2-4ac=0 抛物线③与x轴无交，点台方程ax2+br+c=0③ 实数根b2-4ac<0 拓展方程ax2+bx+c=t(a>0)的根可看作抛物线y=ax2+bx+c和 直线y=t交点的横坐标 t>y魔点，如抛物线①，方程ax2+bx+c=t有两个不相等的实数根； t=y顶点，如抛物线②，方程ar+bx+c=t有两个相等的实数根； t<y须直，如抛物线③，方程ax2+bx+c=t没有实数根。 对点练习 1.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象 (1)方程ax2+bx+c=0的解是 (2)方程a2+bx+c=2的解是 (3)已知t<2,则方程ax2+bx+c=t的解有 个 (4)不等式ax2+bx+c>0的解集是 (5)不等式ax2+bx+c<2的解集是 第1题图 要点2区间最值问题 例二次函数y=(x-1)?+3图象的对称轴为直线x=攻方法指导(1)如图1，当对称轴在所 ④ ,开口向⑤ ,在对称轴左侧，y随x的给区间内，顶点处有一最值，距离对称 增大而⑥ ,在对称轴右侧，y随x的增大而轴最远的端点处有一最值；(2)如图2， ⑦ :当2≤x≤4时，该二次函数的最大值为 当对称轴不在所给区间内，两个端点处 ⑧ ,最小值为⑨ 均为最值点 变式 已知二次函数y=-(x-h)(h为常数)，当自变量 最大值最大值 最大值 x满足2≤x≤5时，函数y的最大值为-4，则h的 值为⑩ 最小值 最小值 画图区 图1 图2 思维点拔对称轴h不确定时，通过 对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三 种情况分类讨论，求出符合条件的h 的值 温馨提示：请完成《分层作业本》P34 知识，点精讲·陕西数学 43 命题点9二次函数表达式的确定 考情时间轴 10.y轴对称求表达式(3分) 25.(1)待定系数 8、25.(1)待定系 8.待定系数 24.(1)待定系数法求表达式 法求表达式 数法求表达式 法求表达式 (2)原点对称后求表达式 2024 2022 2020 入 2018 2025 2023 2021 2019 8、25.()待定系 25.(1)待定系数 24.(1)待定系数 24.(2)平移 数法求表达式 法求表达式 法求表达式 后求表达到 25.(2)y轴对称后 求表达式 教材要点归纳 要点1待定系数法求二次函数表达式重点 (1)表达式给定型→a,b,c未知几个，代入几个已知点坐标求解； (2)表达式未给定型， 已知条件 设函数表达式类型 还需条件 顶点为原点 y=ax2 图象上一个已知，点（非原点） 顶，点在y轴上 y=ax2+c 图象上两个已知，点 顶点在x轴上 y=a(x-h)2 图象上两个已知，点 图象过原点 y=ax2+bx 图象上两个已知点（非原点） 顶点为(h,k) y=a(x-h)2+k 图象上一个已知，点（非顶点） 对称轴为直线x=h或最值k y=a(x-h)2+hk 图象上两个已知点 与x轴的交点(x1,0),(x2,0) y=a(x-x1)(x-x2) 图象上一个已知，点（非与x轴的交，点） 任意三，点[2022年版课标删除内容 y=ax2+bx+c 无 2,再设顶点式 1+X2 温馨提示：当二次函数的图象经过点(x1,n),(x2,n)时，可先求对称轴x= 要点2二次函数图象的变换(8年6考，对称4次，平移2次) (1)二次函数图象的平移 平移特点：开口大小与开口方向均不变，即二次项系数不变 方法步骤：先化为顶点式y=α(x-h)+h确定顶点坐标，再根据顶点坐标的平移求解 平移方式 原顶点坐标 平移后顶点坐标 平移后表达式 简记 向左平移m(m>0) y=a(x +m-h)2+k 个单位长度 (h-m,k) 左右平移： 向右平移m(m>0) x左加右减 (h+m,k) y=a(x -m-h)2+h 个单位长度 (h,k) 向上平移n(n>0)】 (h,k+n) y=a(x-h)2+h +n 上下平移： 个单位长度 等式右边整 向下平移n(n>0) (h,k-n) y=a(x-h)2+k -n 体上加下减 个单位长度 44 知识点精讲·陕西数学 一战成名新中考 (2)二次函数图象的对称（翻折）、旋转 变换特点：开口大小恒不变 方法步骤：先化为顶点式y=a(x-h)2+k确定顶点坐标，再根据变换后a,顶点坐标求解。 变换方式 原顶点坐标 开口方向变换后顶点坐标 变换后表达式 关于x轴对称 相反 ① y=-a(x-h)2-k 关于y轴对称 (h,k) 不变 (-h,k) y=a(x+h)2+k 绕原点旋转180° 相反 (-h,-k) y=-a(x+h)2-k 对点练习 类型1已知任意两点/三点 1.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-2,-5),求抛物线的表达式. 2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,2),B(2,0),C(1,2),求抛物线的表达式. 类型2已知顶点 3.多解法已知A(-1,4)为抛物线y=-x2+bx+c的顶点，求抛物线的表达式， 类型3已知与x轴的交点 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-3,0)，(1,0)，(0,3)，求该二次函数的表达式。 类型4已知对称轴 5.多解法已知抛物线y=2x2+bx+c的对称轴为直线x=2,且经过点(1,0)，求抛物线的表达式 类型5求图象变换后的抛物线表达式 6将抛物线y=x-2x+2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后所得新抛物 线的表达式为 7.将抛物线y=-2x2+4x-1沿x轴翻折，得到的抛物线的表达式为 及将袍物安y宁亨写沿)植翻斯，得的泄物线的表达式为 温馨提示：请完成《分层作业本》P35 知识，点精讲·陕西数学 452,.抛物线的对称轴是直线x=2.x,+x,≥4，x,<x2, 命题点8二次函数图象与性质的应用 2-2≥2-x1,·点A到对称轴的距离小于或等于点B到 对称轴的距离，y1≤y2 1.D【解析】解法1：利用对称轴求解：抛物线的对称轴 12.B【解析】：二次函数y=x2-2mx+m2+m+1的图象经 为直线x=-1,与x轴的一个交点为(1,0)，.抛物线与x 过点(0,3)，m+m+1=3,解得m=-2或m=1,:对称 轴的另外一个交点为(-3,0)，.一元二次方程-x2+bx+ 轴在y轴的右侧，a=1>0,.m>0..m=1,.二次函数 3=0的根为x1=1,x2=-3. y=x2-2x+3=(x-1)2+2,该函数有最小值为2. 解法2：根与系数关系：由图象可设一元二次方程-x+ 13.D【解析】小~抛物线y=ax2-2ax+a2-1的对称轴为直线 x=1,且当x<0时，y>0,.当>2时，y>0,又当1<x<2 bx+3=0的根为x1=1,2,则x12=-3,解得，2=-3一 时，y<0,.当x=2时，y=0,.当x=1时，y<0,.顶点在 元二次方程-x2+bx+3=0的根为x,=1,2=-3. 第四象限 解法3：确定表达式求解：将(1,0)代入抛物线表达式中 14.D【解析】解法1：代数法：y=x2-6x+m2+6=(x-3)2+ 得-1+b+3=0,b=-2,y=-x2-2x+3,令y=0,则-x2- m2-3,.将二次函数y=x2-6x+m2+6(m为常数)的图 2x+3=0,解得，x,=1,2=-3,.一元二次方程-x2+bx+3 象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 后得到y=(x-3+1)2+m2-3-2,即y=(x-2)2+m2-5,顶 =0的根为=1二3 点坐标为(2，m2-5),0<m<2,则m2-5<0,平移后的2.x≤-2或x≥4【解析】：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点在第四象限. 的图象过点(-2,0)，对称轴为直线x=1,.图象与x轴 解法2：草图法平移后的抛物线表达式为y=4x+ 的另一个交点坐标为(4,0)，由图象可知：不等式ax2+bx+ m2-1,0<m<2,对称轴为直线x=2,b2-4ac=20-4m2> c≥0的解集为x≤-2或x≥4. 0,画草图如解图平移后的顶点在第四象限 3.C【解析】小无论x为何值，函数值y恒为正，即二次函 数y=ax2-4x+1的图象在x轴的上方，，a>0,b2-4ac<0, 即(-4)2-4a<0,解得a>4. 4.B【解析】·二次函数y=x2-5x-5的图象与x轴有交 点，.4=(-5)2-4k×(-5)=25+20k≥0，k≠0，解得k≥ 21 且60 -2-1 八 234元 5.x<-3或x>-1【解析】由表格可知，该抛物线的开口向 -2 下，抛物线的对称轴为直线x=4+0:-2,“抛物线与x 第14题解图 2 15.D【解析】由题意可得，方程ax2-2ax+a-3=0的两根 轴的一个交点坐标为(-1,0)，.抛物线与x轴的另一个 异9 交点坐标为(-3,0)，当y<0时，x的取值范围是x<-3 二<0，解得0<a<3,.二次项系数a>0. 或x>-1. 图象的开口向上，故A不符合题意；：二次函数y=ax2- 6.(1)小，-2；(2)-1：(3)34，-1：(4)2，-2 -2a 2x+a-3(a≠0)图象的对称轴为直线x=-2 =1,当7.C【解析】小y=x2-4x=(x-2)2-4.抛物线开口向上， x>1时y随x增大而增大，故B不符合题意：当x= 对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-4)，可画出抛物线 1时，y=-3,.函数的最小值为-3，故C不符合题意；当 如解图，当x=6时，y=12,.(6,12)关于对称轴对称的 x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3,0<a<3,.此时y<0,故 点坐标为(-2,12)，要满足当x=6时，函数取得最大 D符合题意 值：当x=2时，函数取得最小值，-2≤t-3≤2，.1≤t≤5. 16.C【解析】抛物线对称轴为x=1,2<x2<3,.-1<x1< 16 0,结合a<0,可画抛物线草图如解图，由解图可知，抛物 1x=2 线与y轴交于正半轴，c>0.故A选项错误.抛物线的 14 (-2,12)八 (6,12) 对称轴为宜线=1=1.即=-2故B速明 错误·抛物线上横坐标为-2的点，其纵坐标小于零」 .4a-2b+c<0.故C选项正确.c>0,a<0,.c-a>0.故 D选项错误， 6548 6-543-2寸123456789101i2元 0123x 第7题解图 1x=1 第16题解图 8.2或-2【解析】由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴 20 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 为直线x=-4=2,与y轴交于点(0,3），抛物线过点 解法2：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 2a (a+b+c=0. (4,3),画草图如解图，当a>0时，抛物线开口向上，则抛 将A(1,0)、B(0,3)代入，得 (c=3. 物线在x=2时取得最小值，在x=4时取得最大值，y=3, 当x=2时，y=ax2-4ax+3=4a-8a+3=-4a+3,则3-(-4a+ 又：抛物线对称轴是直线x=2, b =2,∴.b=-4a 2a 3)=8,解得a=2,同理，当a<0时，抛物线开口向下，则 a=1 抛物线在x=2时取得最大值，在x=4时取得最小值， 联立解得b=-4 -4a+3-3=8,解得a=-2. c=3 a<0时，x=2处 .抛物线的表达式为y=x-4x+3. 取最大值 3.解：根据题意，令x=0,易得c=1,c'=2 令x=3,得y=-3x+xtc a>0时，x=4处取最大值 3×32+3动+1=0. a<0时，x=4处取最小值 解得6子： ∴.A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y(m)与水平距 2 4 a>0时，x=2处取最小值 离（四）之间的表达式分别是y=子产 3x+1和y= 第8题解图 子学2 9.B【解析】①当n≥4时，则x=4,y=-10,代入抛物线y= 4.y1=x2-2x+1【解析】：抛物线y1=x2+(n-2m)x+m -(x-n)2-1,得-10=-(4-n)2-1,整理得n2-8n+7=0,解 n与抛物线y2=-x2+(4m-6)x+2m-3关于原点对称， 得n=7或1（舍去）：②当n≤1时，则x=1,y=-10,代入 （n-2m=4m-6, 解得m1, 抛物线y=-(x-n)2-1,得-10=-(1-n)2-1,整理，得n2 (m-n+2m-3=0 n=0,方的表达式为为=- 2n-8=0,解得n=-2或4（舍去）.③当1<n<4时，当x= 2x+1. n时，取最大值为y=-1,不符合题意.故n的值为7或-2 5.解：C,关于y轴对称的表达式为y=ax2+2x+3 命题点9二次函数表达式的确定 .a=-1,m=2,n=3. .C1y=-x2-2x+3,C2y=-x2+2x+3. 1.解：解法1：二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,5)， 6.解：由题意，把，点(1，-3)代入，得a(1+2)2=-3,解得a= .c=5,.y=aa2+bx+5. 将(-1,4)，(1,8)代入y=ax2+bx+5中. 3 加得公 1 (8=a+b+5, 抛物线C的表达式为)=3(x+2), .此二次函数的表达式为y=x2+2x+5. 将抛物线C向左平移5个单位长度，向下平移3个单 解法2：二次函数)y=a+hx+c的图象过点(-2,5， 位长度得到抛物线C, 1 (0,5), 抛物线C,的表达式为y=3(+7)-3, 二对称轴为直线x=, =-1 .抛物线C,的顶，点坐标为(-7，-3) 命题点10二次函数的实际应用 .顶点坐标为(-1,4)， A 设二次函数表达式为y=a(x+1)2+4, 2.B【解析】DE:EF-3:2,.设DE=3a,EF=2a,由题意 将(0,5)代入，得a+4=5,解得a=1, 此二次函数的表达式为y=(x+1)2+4=x2+2x+5. 得D(-a,3a),把点D的坐标代人y=- 2+8,得3a 解法3：任取三组x和y的对应值代入y=ax2+bx+c(a≠ 0)中，解三元一次方程组即可. 2×(-a)2+8,解得a=2(负值已舍去)D=3a 2.解：解法1：.·抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(1 6(米) 3.2.75 0) 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(3,0) 4.解：(1)依题意，顶点P的坐标为(5,9)， :设抛物线的表达式为y=a(x-,)(x-,)(a≠0)， 设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9, 即y=a(x-1)(x-3), 将0.0代人得0=a0-549.解得a=云 把B(0,3)代入，得3=3a,.a=1, 9 .抛物线的表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3 “抛物线的函数表达式为y=25（x-5)°+9； 参考答案与重难题解析·陕西数学 21