3.7 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

命题点7二次函数的图象与性质 教材要点归纳 要点1二次函数的图象与性质（图象一抛物线） 概念 形如y=ax2+br+c(a,b,c为常数且a≠0)的函数叫作x的二次函数 一般式 顶点式 交点式 三种表达式 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x,)(x-2)(a≠0) a>0 大 开口向上 致 图 象 a<0 开口向下 对称轴 直线x=① 直线x=② 直线x=③ 顶点坐标 ④ ⑤ b x=- 时， x=h时， X a>0 2a x2时， 2 y有最小值⑥ y有最小值⑦ y有最⑧ 值 最 值 b 2x=- 时， x=h时， x=时， a<0 y有最大值⑩ 2 y有最大值⑨ y有最① 值 在对称轴左侧时，y随x增大而② 增 a>0 减 在对称轴右侧时，y随x增大而B 性 在对称轴左侧时，y随x增大而四 a<0 在对称轴右侧时，y随x增大而⑤ 温馨提示：特别地，若已知二次函数的表达式为y=ax+bx,则二次函数图象必过原点；反之，若已 知二次函数y=a2+bx+c的图象过原点，则必有c=0. “对点练习 1.多解法[2024陕西8题3分]已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对 应值如下表： -4 -2 0 3 5 -24 -8 0 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 40 知识，点精讲·陕西数学 一战成名新中考 要点2二次函数的图象与a,b,c的关系 决定抛物线的开口方向，Ia|决定开 a>0,抛物线开口向上； a 口大小 a<0,抛物线开口向下 b=0,对称轴为⑥ 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为 6 >0,对称轴在y轴⑦ 侧； a、b b 直线x=一2a 左同右异 b <0,对称轴在y轴⑧ 侧 a c=0,抛物线过原点； 与y轴必 决定抛物线与y轴交，点的位置 c>0,抛物线与y轴交于正半轴； 有交点 c<0,抛物线与y轴交于负半轴 B b2-4c=0时，与x轴有唯一的交，点（顶点）； 决定抛物线与x轴的交，点个数 b2-4ac>0时，与x轴有四 交点； Aac b2-4ac<0时，与x轴没有交，点 到2a+h,比较和1的大 看到2a-b,比较力与-1的大小： 特殊 2a 关系 看到a+b+c,令x=1,看y的值； 看到a-b+c,令x=-1,看y的值； 看到4a+2b+c,令x=2,看y的值；看到4a-2b+c,令x=-2,看y的值 对点练习 2.在如图所示的网格中建立平面直角坐标系xOy,已知每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D 均在网格的格点上，二次函数y=ax2+bx+c的图象恰好经过点A,B,C,D. (1)该二次函数的图象还能经过网格中的哪个格点？在图中描出这个点，并用描点法画出该 二次函数的图象； 第2题图 (2)观察这个二次函数图象，回答下列问题 ①图象的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 ②当x= 时，y有最 值（填“大”或“小”）为 (填数字)： ③比较大小：若点(-2，m),(-1.5,n)在该函数图象上，则m; 若点(2，d),(4,t)在该函数图象上，则dt; 若点(-2，m),(4,t)在该函数图象上，则mt.(填“>”“<”或“=”) 知识，点精讲·陕西数学 41 要点3对称轴的理解与应用重点 (1)对称轴与函数图象的对称性 文方法指导 例1抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,4)和(-6,4)两点， 利用抛物线的对称性求对称轴或对称 则此抛物线的对称轴为直线x=②0 点的坐标 变式[2021陕西8题改编]已知抛物线y=ax2+bx+c(a 如图1，若对称轴为x=a的抛物线上有 ≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下 两点A(x1y),B(x2,y)(x1≠x2),其纵 表，则此抛物线的对称轴为直线x=① ,开 坐标相等，横坐标不相等，则对称轴为 口向2 ,顶点坐标为3 与x轴 x1+x2 直线x=a= 2x=2a-*2,x2=20-t 的交点坐标为④ 直线y=-5 与抛物线的一个交点坐标为(2，-5)，另一个交点 坐标为巧 A(xy) B(xzY) -1 0 2 0 图1 (2)比较函数值的大小 女方法指导 例2[2022陕西8题改编]已知点A(-3,y1),B(-1, 解法1：代入法.若二次函数表达式已 y2),C(-2,y3)在函数y=x2+3的图象上，则y1,y2, 知，代入横坐标，求出纵坐标进行比较； y的大小关系是 (②6 解法2：异侧转同侧结合增减性比较 A.y1>y2>y3 B.y3>y1>y2 求出异侧点关于对称轴对称的点的横 C.y1>y3>y2 D.y2>y1>y3 坐标，然后利用同侧的增减性比较，如 图2,3； 画图区 增大 减 D DO C 减 YE>YC>YA YE>YD>YE 例3[2024高新一中六模]已知二次函数y=-kx2+3kx 图2 图3 1-k的图象与y轴交于正半轴，且A(1,y,),B(3, 解法3：距离法.先确定开口方向，再算 y2),C(-1,y3)是图象上的三个点，则y1,y2,y3的 点到对称轴的距离，开口向上，距离越 大小关系是 (2⑦ 远的函数值越大，开口向下，距离越远 A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 的函数值越小，如图4 C.y1>y3>y2 D.y2>y1>y3 画图区 Ye>Yc>Ya 图4 温馨提示：请完成《分层作业本》P32-33 42 知识，点精讲·陕西数学一战成名新中考 9y18 【解析】解法1：四边形0ABC是矩形，∴OC= 11.-2【解析】如解图，过点A作AC1 x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于 AB=3,.四边形CDEF是正方形，.CD=CF=EF,:BC 点D,∠B0D+∠0BD=90°， 2CD,.设CD=m,则BC=2m,B(3,2m),E(3+m,m), ∠AOB=90°，..∠BOD+∠AOC= 设反比例函数的表达式为y=冬3x2m=(3+m)·m, 90°，.∠OBD=∠AOC.·∠BD0= 第11题解图 ∠OCA=90°，OB=OA,.△0BD≌ 解得m=3或m=0(不合题意，舍去)，.B(3,6),.k=3 △AOC(AAS),OD=AC,BD=OC,:点A在反比例函 ×6=18,这个反比例函数的表达式是)y=18 数了=的图象上点B在反比例函数y=的图象上。 解法2：如解图，延长ED交y轴宇H,B,E均在发比 .OC·AC=2,OD·BD=Ik1,且k<0,解得k=-2. 例函数图象上，∴.SE形oc=S矩OFH,:BC=2CD,.CD= 命题点7二次函数的图象与性质 BD,∴AB=0C=CF=EF=3,.E(6,3),∴k=18,.这个1.(1)上，x=2,(2,5),小，5；(2)下，x=-1,(-1,4),大，4； 18 (3)下，x=1,(1,16),大，16 反比例函数的表达式是y= 2.B3.D4.D 5.C【解析】由图可知抛物线交x轴于点(2,0)，另一个交 点接坐标在-1和0之间根猛对你性可知了会1 b>-2a,即2a+b>0,故B选项错误：当x=-1时，可知y>0, 即a-b+c>0,故D选项错误：观察图象知a>0,b<0,c<0, 故abc>0,故A选项错误；由对称轴的范围可知b<-a,即 0 C b+a<0,故4b+4a<0①，把，点(2,0)代入抛物线表达式中， 第9题解图 得4a+2b+c=0,故4a=-2b-c,再代入①式中，可得4b-2b 变式9-14【解析】：BC=2CD,CD=DG=1,.BC=2,易 -c<0,整理即为2b-c<0,故C选项正确 知FG=DG=1,设点B的坐标为(a,2),则点F的坐标为6A【解析】k>1,△=(k+1)2-4=(k-1)2>0,二次 (a+2,1),点B,F均在反比例函数y=4的图象上， 函数y=x2+(k+1)x+k(k>1)的图象与x轴有两个交，点， .2a=a+2,解得a=2,k=2a=4 对称轴为直线=生<0，与)箱交点为0.，丽 变式-2号 【解析】AD=3AE,AD=3,AE=1,:四 数图象的顶点在第三象限. 7.(-1,4)8.（1)2:(2)x=1,4:(3)m≤4 边形ABCD是正方形，AB=BC=AD=CD=3,.设E(1,9.D【解析】选项A:顶点坐标为(-1,4)，.对称轴为直 a).则C(3.a-3),反比例函数y兰(>0)的图象经 线x=-1,故选项A错误；选项B:由对称性可知，(-3,0) 关于直线x=-1对称的点为(1,0)，故选项B错误；选项 过点C,E,.1xa=3x(a-3),解得a=9 9 E(1,2), C:开口向下，当x<-1时，y随x的增大而增大，故选项C 错误：选项D:设二次函数表达式为y=a(x+1)2+4,将 k=1x9、9 2=21 (-3,0)代人后解得a=-1,y=-(x+1)2+4,令x=0,得 y=3,二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选 10号【解析1：Snc=6Se=3,∠40C=902, 项D正确； AC/轴，.易得∠AD0=∠CD0=90°，解法1：易得 10.B【解析】解法1：距离比较法：抛物线的对称轴为直线 -2 ∠DA0=∠D0C,△AD0∽△0DC,tan∠OAC=OC= = =1,-1<x1<0,1<x2<2,x3>3,∴.1<1-x1<2,0< 2×1 OA x2-1<1,x,-1>2,而抛物线开口向上，2<y1<y 2,.0C=20A,∴ S0=( 1 1 解法2：画草图法：由题意可画草图如解图，由解图可 子k1=25w?:反比例函数的图象在第二 3 知y,y3 象限太=号 32 (x3,y3) 解法2提示：tan∠OAC=2,.OC=2OA,0D=2DA, 又：S矩形04Bc=6,∴.0A×20A=6,.0A=3(负值已 -4-3-21 23456x 舍)，易得AD= ,0ws2 5,A(、5 (x1y) 2列 5 5 -3 2√ (x2y2) 5 5),点A在反比例函数y=么的图象上，k= -47 第10题解图 52√15 6 11.D【解析】二次函数y=ax2-4ax+2a的图象经过y轴 5 5 5 的正半轴2a>0,即o>0,抛物线开口向上，二4 2a 参考答案与重难题解析·陕西数学 19 2,.抛物线的对称轴是直线x=2.x,+x,≥4，x,<x2, 命题点8二次函数图象与性质的应用 2-2≥2-x1,·点A到对称轴的距离小于或等于点B到 对称轴的距离，y1≤y2 1.D【解析】解法1：利用对称轴求解：抛物线的对称轴 12.B【解析】：二次函数y=x2-2mx+m2+m+1的图象经 为直线x=-1,与x轴的一个交点为(1,0)，.抛物线与x 过点(0,3)，m+m+1=3,解得m=-2或m=1,:对称 轴的另外一个交点为(-3,0)，.一元二次方程-x2+bx+ 轴在y轴的右侧，a=1>0,.m>0..m=1,.二次函数 3=0的根为x1=1,x2=-3. y=x2-2x+3=(x-1)2+2,该函数有最小值为2. 解法2：根与系数关系：由图象可设一元二次方程-x+ 13.D【解析】小~抛物线y=ax2-2ax+a2-1的对称轴为直线 x=1,且当x<0时，y>0,.当>2时，y>0,又当1<x<2 bx+3=0的根为x1=1,2,则x12=-3,解得，2=-3一 时，y<0,.当x=2时，y=0,.当x=1时，y<0,.顶点在 元二次方程-x2+bx+3=0的根为x,=1,2=-3. 第四象限 解法3：确定表达式求解：将(1,0)代入抛物线表达式中 14.D【解析】解法1：代数法：y=x2-6x+m2+6=(x-3)2+ 得-1+b+3=0,b=-2,y=-x2-2x+3,令y=0,则-x2- m2-3,.将二次函数y=x2-6x+m2+6(m为常数)的图 2x+3=0,解得，x,=1,2=-3,.一元二次方程-x2+bx+3 象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 后得到y=(x-3+1)2+m2-3-2,即y=(x-2)2+m2-5,顶 =0的根为=1二3 点坐标为(2，m2-5),0<m<2,则m2-5<0,平移后的2.x≤-2或x≥4【解析】：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点在第四象限. 的图象过点(-2,0)，对称轴为直线x=1,.图象与x轴 解法2：草图法平移后的抛物线表达式为y=4x+ 的另一个交点坐标为(4,0)，由图象可知：不等式ax2+bx+ m2-1,0<m<2,对称轴为直线x=2,b2-4ac=20-4m2> c≥0的解集为x≤-2或x≥4. 0,画草图如解图平移后的顶点在第四象限 3.C【解析】小无论x为何值，函数值y恒为正，即二次函 数y=ax2-4x+1的图象在x轴的上方，，a>0,b2-4ac<0, 即(-4)2-4a<0,解得a>4. 4.B【解析】·二次函数y=x2-5x-5的图象与x轴有交 点，.4=(-5)2-4k×(-5)=25+20k≥0，k≠0，解得k≥ 21 且60 -2-1 八 234元 5.x<-3或x>-1【解析】由表格可知，该抛物线的开口向 -2 下，抛物线的对称轴为直线x=4+0:-2,“抛物线与x 第14题解图 2 15.D【解析】由题意可得，方程ax2-2ax+a-3=0的两根 轴的一个交点坐标为(-1,0)，.抛物线与x轴的另一个 异9 交点坐标为(-3,0)，当y<0时，x的取值范围是x<-3 二<0，解得0<a<3,.二次项系数a>0. 或x>-1. 图象的开口向上，故A不符合题意；：二次函数y=ax2- 6.(1)小，-2；(2)-1：(3)34，-1：(4)2，-2 -2a 2x+a-3(a≠0)图象的对称轴为直线x=-2 =1,当7.C【解析】小y=x2-4x=(x-2)2-4.抛物线开口向上， x>1时y随x增大而增大，故B不符合题意：当x= 对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-4)，可画出抛物线 1时，y=-3,.函数的最小值为-3，故C不符合题意；当 如解图，当x=6时，y=12,.(6,12)关于对称轴对称的 x=2时，y=4a-4a+a-3=a-3,0<a<3,.此时y<0,故 点坐标为(-2,12)，要满足当x=6时，函数取得最大 D符合题意 值：当x=2时，函数取得最小值，-2≤t-3≤2，.1≤t≤5. 16.C【解析】抛物线对称轴为x=1,2<x2<3,.-1<x1< 16 0,结合a<0,可画抛物线草图如解图，由解图可知，抛物 1x=2 线与y轴交于正半轴，c>0.故A选项错误.抛物线的 14 (-2,12)八 (6,12) 对称轴为宜线=1=1.即=-2故B速明 错误·抛物线上横坐标为-2的点，其纵坐标小于零」 .4a-2b+c<0.故C选项正确.c>0,a<0,.c-a>0.故 D选项错误， 6548 6-543-2寸123456789101i2元 0123x 第7题解图 1x=1 第16题解图 8.2或-2【解析】由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴 20 参考答案与重难题解析·陕西数学