3.5 反比例函数的图象与性质&3.6 与反比例函数表达式有关的计算-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

命题点5反比例函数的图象与性质 考情时间轴 3反比例函数对称性 12反比例函数和矩形、正方形结合 13.反比例函数和矩形结合 2024 2021 2025 2023 2019 12.反比例函数增减性(3分) 12.反比例函数增减性(3分) 教材要点归纳 要点1反比例函数的图象与性质（反比例函数的图象一双曲线）】 反比例函数 y=(k≠0) k的取值范围 k① 0 k<0 大致图象 ② 图象由分别位于两个象限的双曲线组成； 图象特征 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 图象所在象限 第一、三象限(y>0)》 第二、四象限(y<0) 在每一个象限内，y随x的增大 在每一个象限内，y随x的增大 增减性 而③ 而④ 对称性 是轴对称图形，对称轴为直线y=±x;是中心对称图形，对称中心为原点O 温馨提示：在判断反比例函数自变量或函数值的取值范围时，一定要注意x≠0，y≠0这一条件. 要点2应用反比例函数的增减性比较大小(2024、2021.12) (1)代值计算法：把点的横或纵坐标代入表达式求值，再比较大小； (2)增减性比较法：在同一象限时，根据函数的增减性来比较； (3)图象比较法：画出草图，标出各点，谁高则谁大.如右图，若x,<0<2<x, 则y,2,y的大小关系为y⑤y,⑥y “对点练习 1若点(-2,3)在反比例函数y-的图象上，则= 2若点(-5，).(-2，)都在反比例函数y(<0)的图象上，则y1 3.已知-3<x1<-2,-2<x2<-1,1<x,<2,若点(x1,a),（x2,b),（x3,c)都在反比例函数y=二(k>0) 的图象上，则a,b,c的大小关系为 .(用“<”表示) 温馨提示：请完成《分层作业本》P28-29 36 知识，点精讲·陕西数学 一战成名新中考 命题点6与反比例函数表达式有关的计算 考情时间轴 13.利用对称性 12.与一次函数结 13.求点坐标涉 求表达式(3分) 合求表达式(3分) 及求表达式(3分) 2023 2020 2018 2025 2022 2019 12.和矩形、正方形 13.求参数涉及 13.含参坐标 结合求表达式(3分) 求表达式(3分) 求表达式(3分) 教材要点归纳 要点1反比例函数表达式的确定重点 (1)给出表达式y=←→找图象上已知点P(a,b)代入一得k=① (2)未给出表达式→设y=(k≠0)，之后步骤同(1). 对点练习 1.点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，点Q(2,4)与点P关于原点对称，则反比例函数的 表达式为 2.[2018陕西13题3分]若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,-1),则这个反比例 函数的表达式为 要点2反比例函数k的几何意义有关的面积计算 初始图形 衍生图形 O(A)B O A B C OD S矩形CD=② SGARCD=IkI S矩形ACD=k,+k2 SAAOP=③ S△ABC= SAmC=(Ik,l-lk1) B S△A0B+S△cD=④ S△ABc=k △4ep=2Ik (AO=AB) SMOn=Ikl 拿易错警示通过k的几何意义确定反比例函数的表达式时，求出的面积值为k1,需要通过反 比例函数所在象限判断k的正负。 知识，点精讲·陕西数学 37 对点练习 3.如图，A是反比例函数y=仁图象上的一点，连接A0并延长交反比例函数图象于点C,过点A, C分别作y轴，x轴的平行线交于点B,若k=1,则SAc= 第3题图 第4题图 4.[2023陕西12题改编]如图，在矩形OABC和正方形ADEF中，点A,D均在x轴的负半轴上， 点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B,E在同一个反比例函数的图象上.若正方形 ADEF的面积为36，且BF=2AF,则这个反比例函数的表达式为y= 要点3反比例函数与一次函数(2022.12) (1)判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象 例1[北师九上p161第6题]函数y=ar-a与y=a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可 能是 (⑤ 容女平 解法1：观察法 函数类型 k,'的符号相同（从'>0） k,k'的符号相反('<0) 结论 反比例函数y= ①k,'同号，必有两交点 k与正比例函 且两交，点关于原点成 中心对称； 数y=k'x ②k,k'异号，无交点 反比例函数y= ①k,k'同号，必有两交点； k与一次函数 《# ②k,飞异号，交点可以有 两个、一个、零个 v=k'x+b 解法2：假设法.假设反比例函数的表达式与图象吻合，即可确定飞的取值范围，由此再根据飞的 取值范围确定一次函数图象，看是否与题图矛盾. 38 知识，点精讲·陕西数学 一战成名新中考 (2)求函数表达式与交点坐标 ①先将已知的交点坐标代入反比例函数表达式，求出反比例函数表达式： ②再将另一个交点坐标（横或纵坐标未知）代入反比例函数表达式，求出该交点坐标； ③最后将两个交点的坐标代入一次函数表达式，求出一次函数表达式， 温馨提示：有时也会根据三角形面积求出交点坐标，再按照以上步骤完成 (3)比较两函数值大小，求自变量的取值范围 ①找交点； ②分区：过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴，将坐标 y-axtb 平面分为四部分，如图，即I,Ⅱ，Ⅲ，V; ③观察函数图象找答案：根据图象在上方的函数值总此图象在下方的 B OX 函数值太，在各区域内找相应的x的取值范围： aI,Ⅲ区城内：车>+6，的取值范国为1<：或0< h.Ⅱ，N区域内：a+b>上，x的取值范围为x<0或>x 例2[人教九下P9第5题政编]已知一次函数y=+b与反比例函数y=严的图象的两个交点为 A(1,6),B(-2,n). (1)反比例函数的表达式为⑥ ，一次函数的表达式为⑦ (2)如图，在平面直角坐标系中画出一次函数y=+b与反比例函数y=严的图象，并通过观 察图象直接写出： ①不等式+b>m的解集为⑧ ②不等式+h≤”的解集为⑨ (3)连接A0,B0,则△AOB的面积为⑩ 例2题图 温馨提示：请完成《分层作业本》P30-31 知识，点精讲·陕西数学 39一战成名新中考 8-2b 根据题意得w=100x+80(12-x)=20x+960 y=-2x+4」 b+4 =0,∴.k= 解得 :直线，： :20>0,w随x的增大而增大， Y= bx+b 8b .当x=6时，心有最小值，为20×6+960=1080 y b+41 答：该公司最少需花费1080元. y=-2x+4与直线b2:y=x+b(k≠0)的交点在第一象限， 14.解：(1)300,2：【解法提示】由图象可知，A、B两地之间 8-2b 6+40, 的距离为180km,B、C两地之间的距离为120km,180+ 且b>0,解得0<b<4 120=300(km),.a=300;轿车的速度为180÷1.5= 8b (6+40, 120(km/h),300÷120=2.5(h),根据图象，得1.5+(3 10.解：(1)设y与x的函数关系式为y=x+b(k≠0)，代入 b)=2.5,解得b=2. (25,596),(30,606), (2)货车从C地出发再返回C地所用时间为3了 得256+6=596 解得2， 30k+b=606,(b=546, 号)号0).货车到达B地的时间为号2 3 ·y与x的函数关系式为y=2x+546: (2)当y=700时，得2x+546=700, 手12四。 解得x=77. 4 答：停止加热时的气体温度为77℃， 货车的速度为120÷了-0(km/h), 11.解：(1)由题意可得，y1关于x的函数表达式为y1=100× .设MN的函数表达式为y=-90x+b, 0.9x=90x 当0≤x≤15时，y2=100x, 将专120)代入，得-90x号+6=120.解得6=240。 当x>15时，y2=15×100+100×0.7(x-15)=70x+450, .在货车从B地返回C地的过程中，货车距出发地的 (100x(0≤x≤15)， 距离y与行驶时间x之间的函数表达式为y=-90x+ ·y,关于x的函数表达式为y2= (70x+450(x>15); 240≤x≤： 8、 (2)当x=40时，y1=90×40=3600, y3=70×40+450=3250. (3)【解法提示别由图象可知，轿车速度为180÷1.5 3250<3600,.在乙种植户家采购费用较少. =120(km/h),由题意得180+120(x-2)+40-90x+240= 12.解：(1)设AB所在直线的函数表达式为F拉为=kx+b(k≠ 0),将(6,4)，(10,2.5)代人， 300,解得x= 轿车从B地驶往C地的过程中，当 8 得/6+b=4 h=- 3 8 轿车与货车相距40k知时，轿车出发了 解得 （10k+b=2.5 25 b= 命题点5反比例函数的图象与性质 4 1.C ·AB所在直线的函数表达式为F拉力= 325 8x+4 拓展解：画出该反比例函数的图象如解图： (2在名空中，令x=8得F 3 ×8+ 4 8 25_13 44 133 由题意得，F浮为=G重力-F拉为=4 44(N), 当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为 13.解：(1)设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的 售价为b元， 根据题意得2a+36=40 解得/a=100. 拓展题解图 (4a+5b=800. (b=80. 该函数的性质如下： 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售 ①图象位于第二、四象限； 价为80元： ②在每个象限内，y随x增大而增大； (2)设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果(12-x)箱， ③图象关于直线y=±x成轴对称： 根据题意得12-x≤x,解得x≥6， ④图象关于原点中心对称 设该公司需花费和元， (写出其中两条即可) 参考答案与重难题解析·陕西数学 17 变式117变式1-23 解法2：如解图②，过点P作PⅡ1x轴宇点i,设PB交 x轴于点G,易得△PHG≌△BOG,.S四边形HO1=S△PB= 2.A3.①④变式3-1三变式3-2m<5 18,即PH·PA=18,:反比例函数的图象在第二象限且 4.-1(答案不唯一) 过点Pk=-18 5.<变式5-1B变式5-23<y1<y2 变式5-3<【解析1~+1>0，反比例函数)=+的 图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而 减小，.…m>3,∴.b>c>0,点A(-3,a),B(3,b)在反比例 函数图象上，a=-b,-a>c,.a+c<0. 图① 图② 6.B7.D8.1(答案不唯一) 第5题解图 9B【解折】：)=女(60反比例函数的图象在第一 6.-6【解析】解法1：如解图①，延长AB交y轴于点D,分 别过点A,B作x轴的垂线，垂足为E,F,点B(-1,3), 三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，：当2≤ ∴.SE形D0r=1X3=3,S矩形ABrE=SoBC0=3,.S矩形DE=6, x≤3时，函数y的最大值是a,∴.当x=2时，y=a,k= :点A在反比例函数y=(x<0)的图象上，且点A在第 2xa=2a,当-2≤x≤-1时，反比例函数在第三象限，当 二象限k=-6. =-2时，)有最大值y-受，当=-1时，y有最小值 解法2：如解图2，延长AB交y轴宇点D,B(-1,3), 9-2a Soo=3,.0C·0D=30C=3,.0C=1,:四边形ABC0 是平行四边形，∴.AB=OC=1,∴.AD=2,∴.A(-2,3),· 10.B 点A在反比例函数y= -(x<0)的图象上k=-6. 命题点6与反比例函数表达式有关的计算 1y=3 变武11= -变式1-22 变式1-3yg E FO C 29【解析过原点的直线与反比例函数，=女(k>0)的 图① 图② 第6题解图 图象交于A(m,n),B(m-6,n-6)两点，.A(m,n),B(m- 7.解：(1)(1,0)： 6,n-6)两，点关于原，点0对称，即A的横坐标与B的横坐 (2)①由题意可画图象如解图： 标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， T7-08 -m=m-6,-n=n-6,.m=3,n=3,A(3,3),把A(3, 3)代人y车得3=专解得=9， 3.-8【解析】点C坐标为(-3,0)，点D坐标为(0,4)， .0C=3,0D=4,CD=√OC+0D=5,在菱形ABCD 中，BC=CD=5,.0B=BC+0C=5+3=8,∴B(-8,0), 点E为菱形ABCD的对称中心，.E(-4,2),:反比例函 65432-10小234x 数y=名（k≠0)的图象恰好经过点Ek=-4x2=-8. 第7题解图 4.A【解析】小：四边形OABC是面积为4的正方形，点B ②-12.【解法提示】如解图，过点C作CD上x轴于点 的坐标为(2,2).解法1：函数y=女（>0)的国象经过 D,∠AB0=∠CBD,∠AOB=∠CDB=90°，.△AOB △CDB, OA OB AB 点B满足y≥2的x的取值范围为0<x≤2 CD DB CB 由(1)得A0=2,0B=1,又：AB: 解法2：排除法在函数图象上取y>2二点，则其x小宇 211 AC=12AB:BC=1:3 CD=DB=3CD=6,BD= 2,排除B,C,D选项 3,0D=2,点C的坐标为(-2,6).将C(-2,6)代人 5.-18【解析】解法1：如解图①，连接0P,点B是点A 1 关于x轴的对称点，.OA=OB,.S△P=S△POB=2S△PHB, 兰可得-2 8.8【解析】点A(-3,-4),0B=0A,0B=0A=5,点 △PAB的面积为18，S△a0p=9,.1k1=18.又：反比 B(-5,0),点C为AB的中点，.点C(-4,-2),k= 例函数的图象在第二象限，.k=-18. -4×(-2)=8. 18 参考答案与重难题解析·陕西数学 一战成名新中考 9y18 【解析】解法1：四边形0ABC是矩形，∴OC= 11.-2【解析】如解图，过点A作AC1 x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于 AB=3,.四边形CDEF是正方形，.CD=CF=EF,:BC 点D,∠B0D+∠0BD=90°， 2CD,.设CD=m,则BC=2m,B(3,2m),E(3+m,m), ∠AOB=90°，..∠BOD+∠AOC= 设反比例函数的表达式为y=冬3x2m=(3+m)·m, 90°，.∠OBD=∠AOC.·∠BD0= 第11题解图 ∠OCA=90°，OB=OA,.△0BD≌ 解得m=3或m=0(不合题意，舍去)，.B(3,6),.k=3 △AOC(AAS),OD=AC,BD=OC,:点A在反比例函 ×6=18,这个反比例函数的表达式是)y=18 数了=的图象上点B在反比例函数y=的图象上。 解法2：如解图，延长ED交y轴宇H,B,E均在发比 .OC·AC=2,OD·BD=Ik1,且k<0,解得k=-2. 例函数图象上，∴.SE形oc=S矩OFH,:BC=2CD,.CD= 命题点7二次函数的图象与性质 BD,∴AB=0C=CF=EF=3,.E(6,3),∴k=18,.这个1.(1)上，x=2,(2,5),小，5；(2)下，x=-1,(-1,4),大，4； 18 (3)下，x=1,(1,16),大，16 反比例函数的表达式是y= 2.B3.D4.D 5.C【解析】由图可知抛物线交x轴于点(2,0)，另一个交 点接坐标在-1和0之间根猛对你性可知了会1 b>-2a,即2a+b>0,故B选项错误：当x=-1时，可知y>0, 即a-b+c>0,故D选项错误：观察图象知a>0,b<0,c<0, 故abc>0,故A选项错误；由对称轴的范围可知b<-a,即 0 C b+a<0,故4b+4a<0①，把，点(2,0)代入抛物线表达式中， 第9题解图 得4a+2b+c=0,故4a=-2b-c,再代入①式中，可得4b-2b 变式9-14【解析】：BC=2CD,CD=DG=1,.BC=2,易 -c<0,整理即为2b-c<0,故C选项正确 知FG=DG=1,设点B的坐标为(a,2),则点F的坐标为6A【解析】k>1,△=(k+1)2-4=(k-1)2>0,二次 (a+2,1),点B,F均在反比例函数y=4的图象上， 函数y=x2+(k+1)x+k(k>1)的图象与x轴有两个交，点， .2a=a+2,解得a=2,k=2a=4 对称轴为直线=生<0，与)箱交点为0.，丽 变式-2号 【解析】AD=3AE,AD=3,AE=1,:四 数图象的顶点在第三象限. 7.(-1,4)8.（1)2:(2)x=1,4:(3)m≤4 边形ABCD是正方形，AB=BC=AD=CD=3,.设E(1,9.D【解析】选项A:顶点坐标为(-1,4)，.对称轴为直 a).则C(3.a-3),反比例函数y兰(>0)的图象经 线x=-1,故选项A错误；选项B:由对称性可知，(-3,0) 关于直线x=-1对称的点为(1,0)，故选项B错误；选项 过点C,E,.1xa=3x(a-3),解得a=9 9 E(1,2), C:开口向下，当x<-1时，y随x的增大而增大，故选项C 错误：选项D:设二次函数表达式为y=a(x+1)2+4,将 k=1x9、9 2=21 (-3,0)代人后解得a=-1,y=-(x+1)2+4,令x=0,得 y=3,二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选 10号【解析1：Snc=6Se=3,∠40C=902, 项D正确； AC/轴，.易得∠AD0=∠CD0=90°，解法1：易得 10.B【解析】解法1：距离比较法：抛物线的对称轴为直线 -2 ∠DA0=∠D0C,△AD0∽△0DC,tan∠OAC=OC= = =1,-1<x1<0,1<x2<2,x3>3,∴.1<1-x1<2,0< 2×1 OA x2-1<1,x,-1>2,而抛物线开口向上，2<y1<y 2,.0C=20A,∴ S0=( 1 1 解法2：画草图法：由题意可画草图如解图，由解图可 子k1=25w?:反比例函数的图象在第二 3 知y,y3 象限太=号 32 (x3,y3) 解法2提示：tan∠OAC=2,.OC=2OA,0D=2DA, 又：S矩形04Bc=6,∴.0A×20A=6,.0A=3(负值已 -4-3-21 23456x 舍)，易得AD= ,0ws2 5,A(、5 (x1y) 2列 5 5 -3 2√ (x2y2) 5 5),点A在反比例函数y=么的图象上，k= -47 第10题解图 52√15 6 11.D【解析】二次函数y=ax2-4ax+2a的图象经过y轴 5 5 5 的正半轴2a>0,即o>0,抛物线开口向上，二4 2a 参考答案与重难题解析·陕西数学 19