2.2 一元二次方程的解法及应用-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

命题点2一元二次方程的解法及应用 教材要点归纳 要点1一元二次方程(a+bx+c=0,0≠0)必须同时满足以下三个条件： (1)是整式方程； 二次项系数(a≠0) —一次项系数 (2)只含有1个未知数： ax'+bx+g=0 (3)未知数的最高次数是2. 二次项一次项常数项 拿易错警示对于方程ax2+bx+c=0,只有当① 时才是一元二次方程；若ax2+bx+c=0是一元 二次方程，则必然隐含着② 要点2一元二次方程的解法（基本思路：降次） 解法 适用形式 方程的根 x2=p(p≥0) x=±p 直接开平方法 (x+n)2=p(p≥0) x=±p-n (x-a)(x-b)=0 x1=0,x2=b 因式分解法 b x(ax+b)=0(a≠0) x1=0,x2=- a 公式法 ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) x=b±v-4a 2a 配方法 ax2+bx+c=0(a≠0)→(x+n)2=p(p≥0) x=±p-n 拿易错警示对于方程两边含有相同因式的一元二次方程（如2x(x-1)=3(x-1),切勿直接约去 公因式求解导致丢根，正确做法是将方程化为两个因式之积等于0的形式，利用因式分解法求解 对点练习 1.[北师九上P36做-做改编]x2+8x+=(x+4)2;x2-12x+=(x-)2. 2.请用你认为的最佳方法解下列方程： (1)x2-3x=0: (2)x2+x-1=0: (3)x2-4x=4: (4)x2-5x+6=0. 18 知识点精讲·陕西数学 一战成名新中考 要点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)b2-4ac叫作一元二次方程a2+bx+c=0的根的判别式 （i)b2-4ac>0→方程有③ 的实数根； (iⅱ)b2-4ac=0-方程有④ 的实数根； (i)b2-4ac<0方程⑤ 实数根 (2)一元二次方程根与系数的关系【2022年版课标变化点】 若方程a2+hr+c=0(a≠0)有两个实数根x1,2,则有x,+x2=⑥ ,x1x2=⑦ 对点练习 3.已知关于x的方程ax2-4x+1=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 (2)若该方程有两个相等的实数根，则a的值为 (3)若该方程没有实数根，则α的取值范围是 (4)若该方程有实数根，则a的取值范围是 4.[北师九上P56第5题改编]已知方程x2-3x+1=0的两根是x1,x2,则x,+x2+比，·x2的值是 要点4一元二次方程的实际应用 类型1变化率问题 变化前的量 变化过程 变化后的量 设未知数 可得方程 a 连续两次增长 b 设平均增长率为x ⑧ e 连续两次下降 b 设平均下降率为x ⑨ 类型2面积问题 (1)如图1，设空白部分的宽为x,则S影=① 图1 图2 图3 图4 (2)如图2、图3、图4，设阴影道路的宽为x,则S室白=① (3)如图5，用总长为m米的篱笆，一边靠墙，围成一个矩形，若平行于墙的一边长为x米（墙 面长度大于x米)，则所围成矩形的面积S=② 平方米：如图6，当在边上留1 米的门时，S=B 平方米： 图5 图6 图7 第5题图 (4)如图7，长为a,宽为b的矩形ABCD的四个角都剪去一个边长为x的正方形后做成一个 无盖的盒子，则该盒子的底面积S=④ 对点练习 5.如图，某小区计划在一个“长为40m,宽为26m”的矩形空地ABCD上修建三条同样宽的道路， 使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（阴影部分），且每块草地的面积为 144m2,设道路的宽为xm,列方程为 ,x的值为 知识，点精讲·陕西数学 19 类型3其他问题 (1)细胞分裂问题：现有α个细胞，若每轮分裂中每一个细胞可分裂成x个细胞，则第一轮分 裂后的细胞总数为⑤ ,第二轮分裂后的细胞总数为⑥ (2)病毒传染问题：有一个人患流感，若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共 有⑦ 个人患流感，第二轮后共有⑧ 个人患流感： (3)提手问题：有知个人相互之间只程一次手，则总握手次数为”》次： (4)互赠礼物问题：有n名同学相互之间各送一个礼物，则总礼物个数为n(n-1)个. 对点练习 6.[人教九上P17第9题改编]参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有 公司共签订了45份合同，设有x家公司参加，则依题意列方程为 ( A. 2(x+1)=45B.7(-1)=45C.x(+1)=45 D.x(x-1)=45 温馨提示：请完成《分层作业本》P14-15 命题点3 分式方程的解法及应用 考情时间轴 16.解分式方程(5分) 16.解分式方程(5分 16.解分式方程(5分) 2024 2021 2020 教材要点归纳 要点1分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 要点2分式方程的解法： 分式方程去分母 [有解检验最简公分母不为0→分式方程有解 整式方程 (最简公分母为0→解是增根→分式方程无解 转化 无解→分式方程无解 3 2 例1 解方程2-61-x3 -1= 答题规范 解：方程两边乘2(x-3),得 常数项不要漏乘最简公分母哦 3-2(x-3)=4,… …去分母 括号前是“”，去括号时要注意变号哦 3-2x+6=4,…去括号 -2x=-5, 移项，合并同类项 X= 2 …系数化为们 检验：当x=号时，2x-3)≠0，… 检验 ·原分式方程的解为x=多 …得解 20 知识，点精讲·陕西数学一战成名新中考 第二章方程（组）与不等式（组） 命题点1一次方程（组）的解法及应用 21.解：设每块条形石的重量是xkg, 1.C2.C3.D4.B 则20x+x+60=20x+3×60, 5.解：去分母，得2(x+1)-6=4x-1, 解得x=120, 去括号，得2x+2-6=4x-1, .大象的质量为20×120+3×60=2580(kg), 移项、合并同类项，得-2x=3, 答：每块条形石的质量是120kg,大象的质量是2580kg 系数化为1.得-令 22.解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物 需要y名学生， 6解：=2-30将0代人2，得2x+2-3=5, 根据题意得/3x+2=27 解得5， “(2x+y=5②， (4x+y=26, (y=6 解得x=2,将x=2代入①，得y=1, .x+y=5+6=11. 方超的5为代： 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生。 23.解：二元一次方程y=3x+5的“共轭二元一次方程”是 7.解：(1)正确，不正确 y=5x+3, (2)由②，得2(3x-2y)+y=13③， .二元一次方程y=3x+5与它的“共轭二元一次方程” 把①代入③，得2×1+y=13,解得y=11, 有一组相同的解 =m, 把)=1代人①，得-孕 y=n, 3m+5=n 23 (5m+3=n 解得m1, (n=8. x= ∴.原方程组的解为 3 24.解：设丙在A地植树x棵 y=11. 由题意可得32×100-x+30(1000-x三 8.D9.B 28 2830=1250, 10.C【解析】设购买x个足球，y个篮球，根据题意得80x+ 解得x=300. 2 ,又，y均为正整数， 答：丙在A地植树300棵 120y=1200,∴.y=10- 25.解：(1)设第一次实验用了x公斤粮食糟酷，y公斤芋头 或{y=6或，=4或 共有4种购买 糟醅， （y=2 方案 根器套.得016年=0 (30%×2x+20%×3y=36, (y=20. 11.解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔 答：第一次实验用了40公斤粮食糟酷，20公斤芋头 记本的单价是(x-3)元， 糟醅； 由题意得，4x+6(x-3)=62 (2)设需要准备m公斤大米， 解得x=8. 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元 根据题意，得m÷×30%×80%=(40+40x2)X30%. 12.解：设这个月李老师的电动汽车峰时的充电量为x度， 解得m=37.5. 谷时的充电量为y度， 答：需要准备37.5公斤大米 4.解得50， 命题点2一元二次方程的解法及应用 庙题意得05x+0.3=64,行30 1.A2.2 答：这个月李老师的电动汽车蜂时的充电量为50度，谷3.B【解析】解法1：将x=3代人x2+mx-3=0,得m=-2, 时的充电量为130度. 则原方程为x2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得1= 13.1.214.1015.A16.C -1,x2=3. 17.解：设小明家距学校的路程为x千米， 解法2：设方程的另一个根为t,:方程x2+mx-3=0的 由影意得兮言品 一个根为3,3t=-3,解得t=-1,即方程的另一个根为 解得x=1.5. 答：小明家距学校的路程为1.5千米 4.解：(1)(x+1)2=2 18.解：设驿卒平常的速度为每个时辰x里，则提速后的速 x+1=√2或x+1=-√2， 度为每个时辰(x+5)里， x1=V2-1,2=-2-1: 根据题意得(12+4)x=(12-1)(x+5), (2)x2-2x+1=3+1, 解得x=11. (x-1)2=4. 答：驿卒平常的速度为每个时辰11里 x-1=2或x-1=-2 19.5420.-2 解得x,=3,x2=-1; 参考答案与重难题解析·陕西数学 13 (3).a=2,b=-3,c=-4. .b2-4ac=9+32=41>0. 子是原分式方积的解 x= -b±√62-4ac3±√4T 8.解：去分母，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3, 2a 4 整理，得x2+2a-x2-2x+x+2=3, 移项，合并同类项，得x=1, 4 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0, (4)x(x-2)+3(x-2)=0, 则x=1是分式方程的增根， (x+3)(x-2)=0, 原分式方程无解。 x1=-3,x2=2. 9.解：方程两边都乘(x-3), 得k+2(x-3)=4-x, 5.x2+x-1=0(答案不唯一)变式5-11 原方程有增根， 变式5-2m≤1变式5-3D6.D变式2027 ∴.最简公分母x-3=0,即增根为x=3, 7.B8.(x-4)2+(x-2)2=x2 把x=3代入整式方程，得k=1. 9.解：根据题意，可得(52-2x)(28-2x)=640, 10.解：任务一：（1)二，等式的性质2： 4x2-160x+816=0, (2)三，去括号时未变号： x2-40x+204=0, 任务二：(1)x=4: (x-34)(x-6)=0, (2)检验：当x=4时，(x-2)2=4≠0， 解得x=34(舍去)或x=6 ∴x=4是原分式方程的解 答：道路的宽为6米 11.D 10.解：设每个电热毯降价x元时，才能使销售该电热毯每 12.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里， 天的盈利达到2100元， 由题意得(50-x)(30+2x)=2100. 根瑞新意-2 整理得x2-35x+300=0 去分母，得160-116=22， 解得x,=15,x,=20, 解得x=2, :为了最快时间将该电热毯的库存清空， 经检验，x=2是原方程的解，且符合题意」 .x取较大值20 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 答：每个电热毯应降价20元，才能使销售该电热毯每天 13.解：(1)原计划平均每月的绿化面积，实际完成这项任 的盈利达到2100元 务需要的月数： 11.解：(1)设一次项系数为b,则方程为x2+bx-6=0, (2)按甲同学的做法解答， 把x=-2代人方程得，4-2b-6=0. 解得b=-1, 1好2， 6060 .·.一次项系数为-1： 解得x=10, (2)方程为x2+bx-6=0, 经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意， .4=62-4×1×(-6)=b2+24>0. 答：原计划平均每月的绿化面积是10km2. 按乙同学的做法解答， .不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的 实数根 60-1.5x60 y+2 命题点3分式方程的解法及应用 解得y=4, 1.A2.A3.D4.C 经检验，y=4是原分式方程的解，且符合题意， 5.解：去分母，得2x=3(x+1), .原计划完成这项工程需要的月数为4+2=6， 整理，得2x=3x+3, .60÷6=10(km2). 解得x=-3, 答：原计划平均每月的绿化面积是10km. 检验：当x=-3时，x(x+1)=6≠0 命题点4一元一次不等式（组）的解法及应用 .x=-3是原分式方程的解. 1.A2.A3.-2x≥-6（答案不唯一） 6.解：去分母，得2+(x+1)2=x2-1, 4.(1)D(2)D(3)B(4)B 解得x=-2, 5.解：去分母：3x-5≤4x, 检验：当x=-2时，(x+1)(x-1)≠0， 移项：3x-4x≤5， .x=-2是原分式方程的解. 合并同类项：-x≤5， 7.解：去分母，得x-2-3(2x-1)=-1, 系数化为1：x≥-5. 得子 将不等式的解集表示在数轴上如解图. 检验：当=号时，2x-10. -6-5-4-3-2-101 第5题解图 14 参考答案与重难题解析·陕西数学