2.1 一次方程(组)的解法及应用-【一战成名新中考】2026陕西中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名目 第二章方程（组）与不等式（组） (每年2~4道，8~18分) 命题点1一次方程（组）的解法及应用 考情时间轴 11.一次方程 20.一次方程的应 20.一次方程的应 11.一次方程的应用(3分) 的应用(3分) 用，工程问题(5分) 用，购买问题(5分) 19.一次方程的应用，销售问题(5分) 2025 2024 2023 2021 教材要点归纳 要点1等式的性质 基本性质 文字表达 数学表达 在解方程中的应用 等式两边加（或减）同一个数（或式 性质1 若a=b,则a±c=b±c 移项 子)，结果仍相等 等式两边乘同一个数，或除以同 若a=b,则ac=bc; 去分母， 性质2 个不为0的数，结果仍相等 若a=b,c≠0，则4=b 系数化为1 cc 要点2解一元一次方程：经过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤，将以 x为未知数的方程转化为x=a的形式. 例1解方租若2-2- 2 答题规范 解：① 第一步：去分母：①不要漏乘不含分母的项； ②分子是多项式时，去分母时要加括号 ② 第二步：去括号：去掉“-()”括号时要变号 ③ 第三步：移项：移项一定要变号 ④ 第四步：合并同类项：把方程化为ax=b(a≠0)的形式 ⑤ 第五步：系数化为1：方程两边同除以未知数的系数 要点3二元一次方程组的解法 (1)基本思想：二元一次方程组清无一元一次方程； 转化 (2)解法：代入消元法，加减消元法， 14 知识，点精讲·陕西数学 一战成名新中考 2x+3y=16,① 例2多解法 解方程组： (x+4y=13.② 解法1：代入消元法 解法2：加减消元法 解：由②，得x=⑥ ,③ 解：②×(-2)+①，得② 把③代入①，得⑦ 解得3 解得⑧ ④ ⑨ ,解得⑩ 解得⑤ .方程组的解为① .方程组的解为⑥ 归纳：①任意一个二元一次方程组都可以用两种消元法求解； ②加减消元法：更适用于方程组中两个方程同一未知数的系数相等或互为相反数时； ③代入消元法：更适用于方程组中一个方程常数项为0或某个未知数的系数为1或-1时. 对点练习 xY=1, 1.解方程组：(1)34 (2)2(3-1)=3+3y,① 3x-1=2y.② x-y=2; 要点4一次方程（组）解的应用 (1)若x=m是关于x的一元一次方程ax+b=0的解，则am+b=0: 2老是关于的二元一次方程*=0的架，则m=0 《3)若{：是关于，5的二三元-次方程组t6=0 (a2x+b2y=0 的解，则m+6,n=0, (a2m+b2n=0; (4)·三元一次方程组的解法(*为选学内容) 基本思想：三元一次方程组消无二元一次方程组消 转化 转化 一元一次方程。 对点练习 2.已知x=3是关于x的方程x-2=x+1的解，那么m的值为 变式] 已知2是方程2a6的一组解，那么u的值为 变式2 若关于，的方程组x+y=3m-5,中+y=-1,则m的值为 x-y=m-1 要点5一次方程（组）的实际应用(8年5考) 类型1购买、打折销售类问题重点 (1)常见关键词：购买、进价、售价、标价、成本、销售量、利润、打x折等； (2)基本关系式： ①购买某类物品：总花费=单价×购买量： 知识，点精讲·陕西数学 15 ②多人共买一物：物价=人均花费×人数±差的金额； ③购买A,B两类物品：总花费=A的单价×A的数量+B的单价×B的数量： ④打折销售：售价=标价（或原价）×折扣（如：打八折即标价×80%）： ⑤单件利润：利润=售价-进价（或成本）：利润率= 利润 进价 100%; ⑥单一物品多件销售：销售额=单件售价×销量：利润=单件利润×销量 例3我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩 余3元；每人出7元，还差4元.问一共有几个人，这个物品的价格是多少元？ 解：设：一共有x个人， 审：梳理题目关键信息 列：根据题意可列方程为⑨ ①每人出8元，剩余3元：人数×8⑦ 3= 解：解得① 物价； 物品的价格为8x-3=④ 元， 人，这个物品的价格为物价。 ②海人出7元，还差4元：人数×7⑧4= 答：一共有2 3 元 例4「2021陕西19题5分1一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价 的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求 这种服装每件的标价： 审：梳理题目关键信息 ①标价8折销售10件的销售额=标价× 24 ×②5 ②标价降低30元销售11件的销售额= ②0 ×11. 类型2工程生产问题重点 (1)常见关键词：施工、修路、单独完成、合作完成等； (2)基本关系式： ①单人工作：工作量=工作效率×工作时间： ②多人合作：工作总量=甲的工作量+乙的工作量+… 温馨提示：工作总量的巧用：当工作总量不确定时，常设工作总量为单位1 例5[2024陕西20题5分]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大 扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h;若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一 段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打 扫了3h,求这次小峰打扫了多长时间. 审：梳理题目关键信息 ①根据题意，总的工作量可以设为单位1： ②小峰的工作效率为②⑦ ;爸爸的工 作效率为②⑧ ③设这次小峰打扫了x小时，则爸爸打扫了 2四 h. 16 知识，点精讲·陕西数学 一战成名新中考 类型3行程问题重点（匀速运动）：基本关系式s=v·t. (1)相遇问题（同时出发）：如图1，S甲+sz=AB,t甲=t乙； A■ B 甲一 相遇处 一乙 图1 (2)追及问题： 同时不同地：如图2，S甲=sz+AC,t甲=tz; C B 甲一 A- .B 甲 甲乙→ 相遇处 乙 相遇处 图2 图3 同地不同时：如图3，甲出发a小时后乙出发，在B处乙追上甲，s甲=s乙，t甲=a+t2 对点练习 3.[新北师八上P123第2题改编]甲、乙两人从相距34km的两地匀速相向而行，若甲比乙先动身 2h,则在乙动身2h后甲、乙两人相遇；若乙先走9.5km,则在甲动身2.5h后，甲、乙两人相遇，则 甲的速度为 ,乙的速度为 类型4阶梯费用问题 （1)常见关键词：“在…以内，超出后…”； (2)设基础量为5，在基础量以内单价为2元，超出基础量后，超出部分单价为3元.若共付m元， 求用量x 先判断，有两种情况： 情况1：m≤2×5时，关系式为2x=m; 情况2：m>2×5时，关系式为2×5+(x-5)×3=m. 例6[2025交大附中期未改编]为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手 段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：用水不超过12吨，每吨按2元收费，超过 12吨的部分按每吨3元收费，王老师家三月份平均水费为每吨2.7元，则王老师家三月份用 水多少吨？ 类型5配套问题 （1)常见关键词：“…恰好配套”； (2)基本关系式： ①1个A和1个B配套：A的总数量=B的总数量： ②m个A和n个B配套：A数量的n倍=B数量的m倍 对点练习 4.[新人教七上P140第2题改编]已知1个桌面配4个桌腿，木匠师傅用1根木材可做3个桌面 或12个桌腿，现在木匠师傅有24根木材，如何分配木材才能使桌面和桌腿刚好配套？设用 x根木材做桌面，用y根木材做桌腿，依题意得方程组为 温馨提示：请完成《分层作业本》P10-13 知识，点精讲·陕西数学 17一战成名新中考 第二章方程（组）与不等式（组） 命题点1一次方程（组）的解法及应用 21.解：设每块条形石的重量是xkg, 1.C2.C3.D4.B 则20x+x+60=20x+3×60, 5.解：去分母，得2(x+1)-6=4x-1, 解得x=120, 去括号，得2x+2-6=4x-1, .大象的质量为20×120+3×60=2580(kg), 移项、合并同类项，得-2x=3, 答：每块条形石的质量是120kg,大象的质量是2580kg 系数化为1.得-令 22.解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物 需要y名学生， 6解：=2-30将0代人2，得2x+2-3=5, 根据题意得/3x+2=27 解得5， “(2x+y=5②， (4x+y=26, (y=6 解得x=2,将x=2代入①，得y=1, .x+y=5+6=11. 方超的5为代： 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生。 23.解：二元一次方程y=3x+5的“共轭二元一次方程”是 7.解：(1)正确，不正确 y=5x+3, (2)由②，得2(3x-2y)+y=13③， .二元一次方程y=3x+5与它的“共轭二元一次方程” 把①代入③，得2×1+y=13,解得y=11, 有一组相同的解 =m, 把)=1代人①，得-孕 y=n, 3m+5=n 23 (5m+3=n 解得m1, (n=8. x= ∴.原方程组的解为 3 24.解：设丙在A地植树x棵 y=11. 由题意可得32×100-x+30(1000-x三 8.D9.B 28 2830=1250, 10.C【解析】设购买x个足球，y个篮球，根据题意得80x+ 解得x=300. 2 ,又，y均为正整数， 答：丙在A地植树300棵 120y=1200,∴.y=10- 25.解：(1)设第一次实验用了x公斤粮食糟酷，y公斤芋头 或{y=6或，=4或 共有4种购买 糟醅， （y=2 方案 根器套.得016年=0 (30%×2x+20%×3y=36, (y=20. 11.解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔 答：第一次实验用了40公斤粮食糟酷，20公斤芋头 记本的单价是(x-3)元， 糟醅； 由题意得，4x+6(x-3)=62 (2)设需要准备m公斤大米， 解得x=8. 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元 根据题意，得m÷×30%×80%=(40+40x2)X30%. 12.解：设这个月李老师的电动汽车峰时的充电量为x度， 解得m=37.5. 谷时的充电量为y度， 答：需要准备37.5公斤大米 4.解得50， 命题点2一元二次方程的解法及应用 庙题意得05x+0.3=64,行30 1.A2.2 答：这个月李老师的电动汽车蜂时的充电量为50度，谷3.B【解析】解法1：将x=3代人x2+mx-3=0,得m=-2, 时的充电量为130度. 则原方程为x2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得1= 13.1.214.1015.A16.C -1,x2=3. 17.解：设小明家距学校的路程为x千米， 解法2：设方程的另一个根为t,:方程x2+mx-3=0的 由影意得兮言品 一个根为3,3t=-3,解得t=-1,即方程的另一个根为 解得x=1.5. 答：小明家距学校的路程为1.5千米 4.解：(1)(x+1)2=2 18.解：设驿卒平常的速度为每个时辰x里，则提速后的速 x+1=√2或x+1=-√2， 度为每个时辰(x+5)里， x1=V2-1,2=-2-1: 根据题意得(12+4)x=(12-1)(x+5), (2)x2-2x+1=3+1, 解得x=11. (x-1)2=4. 答：驿卒平常的速度为每个时辰11里 x-1=2或x-1=-2 19.5420.-2 解得x,=3,x2=-1; 参考答案与重难题解析·陕西数学 13