精品解析：天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026学年高一上学期11月期中检测数学试卷

天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026（上） 高一级部期中检测数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集与补集运算出结果. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可求解． 【详解】对于A，函数为偶函数，当时，单调递减，故A不正确； 对于B，指数函数为非奇非偶函数，且在上单调递减，故B不正确； 对于C，函数是偶函数又在区间上单调递减，故C不正确； 对于D，函数是偶函数又在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解绝对值不等式和分式不等式，根据两个范围的包含关系，结合充要条件的判断方法即得结论. 【详解】，即， 或，即， 因是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 设、、、为实数，则下列命题为真命题的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果且，那么 D. 如果，，那么 【答案】C 【解析】 【分析】通过取特殊值并利用不等式性质，对选项逐一分析可得结论. 【详解】对于A，不妨取，满足，， 但此时，因此A是假命题； 对于B，当时，若，则，即B为假命题； 对于C，如果且，那么只有，即C为真命题； 对于D，不妨取,满足，，但，即D为假命题. 故选：C 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数、的单调性即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选： 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图像，可知先判断函数的奇偶性进行排除，再利用特值法，分析的函数值与的大小和的函数值与的大小，从而得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状． 故选：B． 8. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式确定解集，再根据必要不充分条件列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则是集合的真子集，所以，解得，故实数的取值范围是． 故选：C 9. 著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃）满足：，其中是一个根据物体与空气接触情况而定的正常数，现有42℃的物体放在2℃的空气中冷却，2分钟后物体的温度为22℃，则再过4分钟该物体的温度可冷却到（ ） A. 6℃ B. 7℃ C. 12℃ D. 9℃ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设及温度变化公式求参数，然后计算再过4分钟物体所达的冷却温度. 【详解】由题设，，可得， 再过4分钟，有. 故选：B. 10. 设函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合图象求出时的取值范围. 【详解】画出的图象，如下图所示： 由可得或， 解得或，则的取值范围是. 故选：C. 11. 下列选项中错误的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若是奇函数，当时，，则时， D. 若函数在上只有一个零点，则实数的范围为 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法可判断A；利用换元法结合二次函数性质可判断B；利用函数的奇偶性求解函数解析式，可判断C； 结合二次函数性质以及零点存在定理可判断D. 【详解】对于A：因为函数的定义域为， 所以，所以，所以，所以，故A正确； 对于B：令，所以， 所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C：令时，则，所以， 因为是奇函数，所以，故C正确； 对于D：因为函数在上只有一个零点， 所以或， 而无解，解得， 当时，，令，则， 函数在上无零点，不满足题意， 当时，， 令，则或， 函数在上无零点，不满足题意， 所以实数的范围为，故D错误； 故选：D 12. 已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于对称 C. 是奇函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A、B，由已知条件通过变量代换判断对错；对C，分析的周期，利用周期性及中心对称赋值化简判断；对D，利用周期性和对称性求解判断. 【详解】对于A：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，A正确； 对于B：由得， 由得， 所以，即函数的图象关于对称，B正确； 对于C： 因为关于点对称，所以， 因为关于对称，所以， 所以，所以，所以， 即周期为， 又由关于点对称可得 即，所以是奇函数，C正确； 对于D：因为关于对称，所以， 因为关于点对称，所以， 所以，D错误； 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共90分． 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义列不等式，解不等式组即可. 【详解】由已知，若函数有意义，则，解得， 即， 故答案为：. 14. 已知函数则__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用分段函数求值方法，结合指数幂性质求解即可. 【详解】，所以. 故答案为：. 15. 函数的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由换元法，借助二次函数性质及指数函数单调性计算即可求解. 【详解】令， 则，所以， 设，， 因为在区间上单调递增， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 16. 已知且，则 的最小值为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式结合指数的运算，即可得解. 【详解】由题意，，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 17. 命题P：，使得成立，若P是假命题，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到“，使得恒成立”为真命题，根据的取值分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】因为P是假命题，所以是真命题，即，使得恒成立． 当时，结合二次函数的图象可知不能恒成立； 当时，不等式恒成立； 当时，需使，解得. 综上：可得k的取值范围为． 故答案为：. 18. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次不等式的解集，判断参数的正负和关系，进而判断一元二次函数的零点，求出一元二次不等式的解集. 【详解】由不等式的解集为，可知且， 可知的零点为或，且图像开口向下， 所以的解集为，即. 故答案为：. 19. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】幂函数在上单调递增， ，且，解得， 故， 令，得，且， 可得的图象过定点． 故答案为：. 20. 已知函数（且）， ①若时，则； ②若在上为减函数，则的取值范围是； ③若的值域为，则的取值范围是； ④若时，在区间的值域为，则的最大值为； 以上结论正确的有_________． 【答案】① 【解析】 【分析】代入计算可判断①；根据分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解可判断②；当，根据函数性质讨论可得此时值域不为可判断③，作出函数图象，结合图象计算可判断④. 【详解】对于①，若时， ， 所以，故①正确； 对于②，当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是，故②错误； 对于③，当时， 因为，所以函数在区间上单调递减， 则当时，， 因为在区间上单调递减， 所以 在区间上单调递减， 则时，时，函数有最小值， 此时，，即， 综上，若的取值范围是，函数的值域不可能为，故③错误； 对于④，时，， 若， 当时，，解得， 当时，，解得， 若， 当时，，解得， 当时，，因为，故此方程无解， 作出函数图象如下： 所以在区间的值域为，则，， 则，故④错误. 故答案为：①. 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知集合． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得，再利用集合间的关系，分集合为空集和不为空集，即可求解； （3）根据条件得是的真子集，从而得，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，所以， 又时，，所以或， 则，或. 【小问2详解】 因为，则，由（1）知， 当，即时，，满足题意， 当，即时，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为是的充分不必要条件，则是的真子集，由（1）知， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 22. （1）计算； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）借助指数幂的运算法则与根式运算法则计算即可得； （2）分、、、及进行讨论即可得. 【详解】（1）原式； （2）， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，令，解得或， 则当时，有，故原不等式解集为； 当时，有，原不等式解集为； 当时，有，原不等式解集为； 当时，有，原不等式解集为； 综上可得：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 23. 已知函数是定义在上的函数，且． （1）求出的值并写出函数的解析式； （2）用定义法证明在上是减函数； （3）若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，列出方程求解即可； （2）由减函数的定义即可求证； （3）由函数单调性去“”即可求解. 【小问1详解】 因函数 是定义在上的函数， 由于，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为，. 【小问2详解】 对，且， . 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 因，有意义，所以，，解得； 因为，函数在上单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 24. 已知，其中为奇函数，为偶函数． （1）求的解析式并指出的单调性（无需证明）； （2）若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解； （2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围； （3）由（1）知，，可得，由存在，，即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为①，为奇函数，为偶函数， 则，即②， 联立①②，得，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得单调递增， 因为，所以， 整理得对于任意的成立，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以. 【小问3详解】 由（1）知，，， 则 ， 令，则， 则原题目转化为存在，使得成立， 当，成立，当时，， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学滨海生态城学校2025-2026（上） 高一级部期中检测数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设、、、为实数，则下列命题为真命题的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果且，那么 D. 如果，，那么 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃）满足：，其中是一个根据物体与空气接触情况而定的正常数，现有42℃的物体放在2℃的空气中冷却，2分钟后物体的温度为22℃，则再过4分钟该物体的温度可冷却到（ ） A. 6℃ B. 7℃ C. 12℃ D. 9℃ 10. 设函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 下列选项中错误的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若是奇函数，当时，，则时， D. 若函数在上只有一个零点，则实数的范围为 12. 已知函数定义域均为，的图象关于点对称，且满足，，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于对称 C. 是奇函数 D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共90分． 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 函数的定义域是_________． 14. 已知函数则__________. 15. 函数的值域为_________． 16. 已知且，则 的最小值为_______ 17. 命题P：，使得成立，若P是假命题，则k的取值范围是______． 18. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______． 19. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点______． 20. 已知函数（且）， ①若时，则； ②若在上为减函数，则的取值范围是； ③若的值域为，则的取值范围是； ④若时，在区间的值域为，则的最大值为； 以上结论正确的有_________． 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知集合． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 22. （1）计算； （2）求关于的不等式的解集． 23. 已知函数是定义在上的函数，且． （1）求出的值并写出函数的解析式； （2）用定义法证明在上是减函数； （3）若不等式成立，求实数的取值范围． 24. 已知，其中为奇函数，为偶函数． （1）求的解析式并指出的单调性（无需证明）； （2）若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $