答题模板09 三角函数应用4题型（专项训练）数学苏教版必修第一册

答题模板09：三角函数应用 题型01 利用三角函数模型解释自然现象 题型02 三角函数模型在物理中的应用 题型03 摩天轮问题 题型04 三角函数模型在生活中的应用 本节导航 题型01 利用三角函数模型解释自然现象 （24-25高一下·浙江宁波·开学考试）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为.典例1 (1)请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； (2)2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 四步 内容 理解 题意 条件:通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. 结论: (1)请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； (2)2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 思路 探求 （1）根据已知条件代入点计算求参即可得出解析式； （2）应用已知代入求值即可判断. 书写 表达 （1）因为， 所以，所以，代入点 可得，所以，所以， ； （2）当.所以不开空调. 题后 反思 求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． （24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.变式1 (1)求的表达式： (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【答案】(1) (2)8小时 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据三角函数的图像即可求得表达式； （2）根据正弦函数的图像与性质解即可得. 【详解】（1）因为图象上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以， 所以，解得， 将代入解析式，有， 故，解得， 由，故， 所以； （2）由（1）得，，所以， 所以， 解得， 因为，所以， 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时. （24-25高一下·山东青岛·月考）经研究表明，同一地区在一天内的温度（单位：℃）随时间（单位：h）变化的曲线接近于函数的函数图象.根据历年气象台测量数据显示预测2025年7月下旬某市区一天内的最高温度出现在，最高温度为30℃；最低温度出现在，最低温度为22℃.变式2 (1)根据以上信息，求出该市区一天内的气温与时间的函数关系式； (2)7月22日—7月23日，某家居公司将举办家居博览会，展出时间为每天上午，下午，晚上.根据公司规定当气温大于或等于26℃时，会场内需开启空调制冷以保证产品质量.在此条件下，博览会期间会场内的空调每天需要开启多长时间？ 【答案】(1)函数关系式为 (2)空调每天需开启 7.5 小时 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解正弦不等式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据已知确定振幅，平均值，根据周期求得角速度，根据最高温度的时刻确定相位，得到函数解析式； （2）根据条件，利用正弦函数的性质解不等式求得的范围，结合各时段，得到最终答案. 【详解】（1）振幅 ：最高与最低温差的一半，即 . 平均值 ：最高与最低温度的平均值，即 . 角频率 ：周期为 24 小时，故 . 相位 ：最高温度出现在 ，代入最大值条件 ，结合得. 最终函数为：; （2）温度 时需开启空调. 由函数可知，当 . 分析各展出时段与高温时段的交集： 上午 7:40–12:00：有效时间为 8:00–12:00，共 4 小时. 下午 14:30–17:00：完全在高温时段内，共 2.5 小时. 晚上 19:00–20:15：有效时间为 19:00–20:00，共 1 小时. 总开启时间：小时. （24-25高一下·北京西城·月考）已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，.变式3 (1)求该地区这一天这一段时间内的最大温差； (2)直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？ (3)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 【答案】(1) (2)点 (3)小时 【知识点】三角函数在生活中的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用正弦型函数来求指定区间内的最值即可求解； （2）利用正弦函数值在指定区间内有两解来求另一个解即可； （3）利用正弦型函数满足的不等式，结合指定区间，即可求解. 【详解】（1）当时，有，则， 此时函数在时取到最大值为，在时取到最小值为， 所以该地区这一天这一段时间内的最大温差为； （2）当时，， 则 ， 根据，可知， 所以16点的温度与12点的温度相等； （3）由题意可得：， 因为，所以可得：， 解得：， 所以该细菌能生存的最长时间为小时. 题型02 三角函数模型在物理中的应用 （24-25高一下·河南驻马店·月考）函数与函数具有相同的（   ）典例2 A．振幅 B．频率 C．相位 D．初相 四步 内容 理解 题意 条件: 函数与函数 思路 探求 先求出函数的周期，根据振幅、频率、初相的定义，即可求出结论. 书写 表达 函数的振幅为3；周期，则频率为；相位为；初相为； 函数的振幅为2；周期，则频率为；相位为；初相为； 所以两个函数的频率相同. 故选：B. 题后 反思 三角函数在物理学中的应用 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径． （24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ）变式1 A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据函数的频率为周期的倒数，结合正弦函数周期的定义即得答案. 【详解】因为小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4， 所以， 则. 故选：D. （24-25高一下·吉林长春·月考）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ）变式2 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可. 【详解】函数，当时，. 故选：A （24-25高一上·湖南益阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定．变式3 (1)点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? (2)在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 【答案】(1)点P位于平衡位置上方处，次． (2)答案见解析 (3)5 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、三角函数在物理学中的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据题意代入可得，即可得点P的位置，结合周期性可知秒钟点P能往复运动次数； （2）根据五点法列表，根据表格即可得图象； （3）根据题意令，根据正弦函数求，即可得第3次照到的值. 【详解】（1）因为，此时P点的坐标为， 即点P位于平衡位置上方处； 又因为，所以每秒钟点P往复运动次． （2）取值列表如下： t 0 4 h 2 0 0 图象如图所示： （3）当点P被光束恰好第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标． 由，即， 则或，得或 将根从小到大排列得：，所以. 题型03摩天轮问题 （24-25高一上·河南郑州·期末）位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．典例3    (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 四步 内容 理解 题意 条件: 摩天轮最高点离地面高度约105米，最低点离地面约15米，均匀设置60个座舱．摩天轮按逆时针方向匀速转动，摩天轮转一周大约需要30分钟． 结论: (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 思路 探求 （1）设，根据所给条件求出，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 书写 表达 （1）设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． （2）令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． （3）经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 题后 反思 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用、利用给定函数模型解决实际问题 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案． （24-25高一下·浙江·开学考试）如图为一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为5m，圆上最低点与地面距离为1m，300秒转动一圈.图中OA与地面垂直，摩天轮上的某车厢开始位于最低点A处，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是变式1 (1)求h与间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该车厢第2次到达最高点时用时是多少. 【答案】(1) (2)； 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合条件求出点B的坐标后可得h与之间的函数关系式. （2）由ts转过的弧度数为可得与t之间的关系，代入中的关系式中可得h与t之间的函数解析式，即可求得答案. 【详解】（1）以圆心原点，建立如图所示的坐标系， 则以为始边，为终边的角为 故点B坐标为， （2）秒转动一圈，所以该摩天轮转动的周期 所以其转动的角速度是 故ts转过的弧度数为 令得所以 得令得 该车厢第2次到达最高点时，用的时间为 （24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟.变式2 (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （2）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（， ）， 依题意可得，， ． 依题意，， 当时，，且位于递增区间，所以可取， ． （2）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． （24-25高一上·云南昭通·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟．变式3 (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)14或22； (3). 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解正弦不等式、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为根据已知得，，再由周期性及初始点求、，即可得解析式； （2）根据（1）及已知得，结合求解，即可得答案； （3）根据解析式，两座舱高度差绝对值为，结合正弦型函数的性质求取得最大值时的值. 【详解】（1）设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为 由题意知，，则， 依题意，则， 当时，，可得，故. （2）令，即，整理得， 由，则，所以或，解得或， 所以或时，1号座舱与地面的距离为16米． （3）依题意，， 所以 ， 令，解得， 所以当，取得最大值． 题型04三角函数模型在生活中的应用 （24-25高一上·福建福州·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，.典例4 (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 四步 内容 理解 题意 条件: 长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. 结论: (1)当时，求的面积；(2)求三角形区域面积的最大值. 思路 探求 （1）利用锐角三角函数的定义求出 、 的长，然后根据面积公式算出 的面积； （2）根据题意，用关于 的三角函数式表示出三角形区域 的面积 ，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域 面积的最大值. 书写 表达 （1）设 与 相交于点 ，则 ， 可得 ， ， 因为 等于 到 的距离， 所以， 即 的面积为 . （2）过点 作 于点 ，则 ， 且三角形区域 面积为 ， 设 ，由 ，得 所以 ， 结合 ，可得 当 时， 取得最大值， 即三角形区域 面积的最大值为 . 题后 反思 sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 （24-25高一下·辽宁沈阳·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.变式1 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】(1) (2)①16个小时；②23时 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解正弦不等式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据给定的数表作出散点图，确定函数关系，再结合“五点法”作图求出解析式. （2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可；②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式. 【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 由数据和散点图可以得出， 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． （2）①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. （24-25高一下·山东临沂·月考）某景区每年各个月接待游客的人数近似满足周期性规律，假设一年中第个月的游客人数可以近似用函数，来表示，其中，，…，12.已知该景区每年4月游客最少，有2000人，每年游客最多时有8000人.变式2 (1)求的表达式； (2)当该景区的旅游人数不少于6500时，该景区进入了一年中的“旅游旺季”，则该景区一年中进入“旅游旺季”的月份有几个月？ 【答案】(1)且； (2)5个月. 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、解余弦不等式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据题设可得，解之即得函数解析式； （2）由，结合余弦型函数的单调性及周期性求的范围，即可得结果. 【详解】（1）依题意，，即且，，解得， 故且； （2）令，则， 所以，则， 由，故有，即， 所以该景区一年中进入“旅游旺季”有5个月. （24-25高一下·山东日照·月考）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设．变式3 (1)求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值． 【答案】(1) (2)面积最小值为， 【知识点】基本不等式求和的最小值、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）过点作垂直于，垂足为，解三角形求，由此可得结论； （2）解三角形求，表示，利用基本不等式求其最小值，并确定取最小值条件. 【详解】（1）过点作垂直于，垂足为， 则， 所以， 所以； （2）， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以养殖面积的最小值为，此时的. 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算、三角函数在生活中的应用 【分析】根据给定的定义，结合圆的性质求出的“古典正弦”值. 【详解】由圆心角对应弧长，得圆心角弧度数绝对值为2，则， 所以. 故选：D. 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【知识点】三角函数在物理学中的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 3．（24-25高三上·山西·期末）天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据三角函数知识得到方程，求出. 【详解】由图可知，，故，解得. 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）将漏斗挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图①，已知一根长为的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是（图②），其中，则估计线的长度应当是（精确到）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数在物理学中的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用题中的函数图象，分析出函数的周期，由周期公式得到的关系式即可求解. 【详解】由，得．由函数的图象可知函数的周期为0.4s， 所以，即． 故选：C． 5．（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【答案】CD 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出和，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确. 【详解】函数中，，所以， 时，，解得，所以， 所以，故A错误； 令时，得，则， 解得，所以的最小值为分钟，即用时秒， 所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误； 由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确； 当点运动2秒时，即时，，故D正确； 故选：CD 6．（24-25高一下·广东江门·期中）（多选）如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（      ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．当水轮转动秒时，点距离水面米 C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 【答案】ACD 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为，根据题意，求出的值，即可判断选项D的正误，对于A，令，即可求解；对于B和C，将的取值代入解析式，即可求解. 【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为 ， 由题意得：，解得：， 所以，故选项D正确， 对于选项A，令，得到，所以， 令，得到，所以选项A正确， 对于选项B，令，代入， 得到，所以选项B错误， 对于选项C，令，代入， 得到，所以选项C正确， 故选：ACD. 7．（24-25高一下·江苏·月考）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】ACD 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】根据周期求出，代入得到，进而得到函数解析式判断A；再代值判断B；根据正弦函数的性质判断C；利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：ACD. 8．（24-25高一下·山东聊城·期中）电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为 . 【答案】 【知识点】三角函数在物理学中的应用 【分析】将自变量代入解析式求值即可. 【详解】由时，. 故答案为： 9．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】 【知识点】几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用 【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 10．（24-25高一下·江苏·月考）如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行．在A处观测地面目标，测得俯角．飞行后到达处，此时观测地面目标，测得俯角．又飞行一段时间后到达处，此时观测地面目标，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由至的飞行时间为 ．    【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数在生活中的应用 【分析】结合图形，利用解三角形的知识，以及三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】设飞机的飞行速度为，根据飞机的飞行图形， 测得俯角为，飞行后到达B处观测地面目标P，测得俯角， 所以为直角三角形，    过点作于点，则， 则， 设飞机由B至C的飞行时间为分钟，则， 由，可得， 则， 又由，解得. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海·月考）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③ 【知识点】函数对称性的应用、几何中的三角函数模型 【分析】当时，求出的长，利用三角形的面积公式可判断①；利用函数的单调性可判断②；推导出，可判断③. 【详解】设交正方形于点，如图所示： 对于①，当时，因为，则， ,故①正确； 对于②，不妨设， 则由题意可知，从到，阴影部分面积不断扩大，即， 所以，， 因为即，所以，，故②错误； 对于③，根据题意可知，当时，表示射线未经过正方形的面积， 所以，表示正方形的面积，即， 故当时，则，，且， 所以，成立，故③正确. 故答案为：①③. 12．（24-25高一下·河南·月考）如图，某大风车的半径为2米，按逆时针方向匀速转动，每12秒旋转一周，它的最低点离地面0.5米.风车圆周上一点从最低点开始，运动秒后与地面的距离为米. (1)求函数的关系式； (2)求转动一周，点距离地面不超过1.5米的时长. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）建立平面直角坐标系，得到，根据大风车的半径为2米，最低点离地面0.5米，结合，即可求得函数的解析式； （2）由（1）知，令，得到，求得不等式的解集，进而得到答案. 【详解】（1）解：如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系， 则圆心为，圆的半径为， 因为每12秒旋转一周，可得每秒弧度，则秒后转弧度，即， 又因为大风车的半径为2米，最低点离地面0.5米， 过点作，可得 所以运动秒后与地面的距离为， 即函数的关系式为. （2）解：由（1）知， 令，即，可得， 解得，所以， 因为， 当时，可得，时长为秒； 当时，可得，时长为秒； 所以转动一周点距离地面不超过1.5米的时长为秒. 13．（24-25高一下·河南南阳·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为（，，）．（在水面下则为负数）      (1)求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)若水面下降，在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据已知条件依次求得，从而求得. （2）利用勾股定理，结合图象求得水下时间. 【详解】（1）已知水轮半径为米，水轮圆心距离水面米.根据的性质，为振幅，为平衡位置的值.则，. 因为水轮每转动圈，根据周期的定义，.又因为， 所以，此时函数为. 当时，点从水面浮现，即.将，代入中，得到. 化简可得，又因为，所以. 综上，. （2）若水面下降，则新的水面高度为， 如下图所示，则， 此时三角形是等边三角形，所以， 所以点在水面下方的时间为.    14．（24-25高一下·安徽·开学考试）摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，，求y关于t的函数解析式； (2)在(1)条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时运行时间，至乙运行一周结束计时，在这过程中，求甲、乙两人距离地面高度差最大时运行时间的值. 参考公式： 【答案】(1) (2)30米 (3)或 【知识点】求cosx（型）函数的最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】(1)利用已知条件列出关于的方程组，求解即可求出y关于t的函数解析式； (2)利用(1)中的解析式，令即可求解； (3)先找到甲，乙两人之间的夹角，再利用(1)中的解析式分别写出甲，乙两人距离地面的高度，作差进行求解. 【详解】（1）因为摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米， 所以，，且当时，， 又转一周需要48分钟，所以周期， 所以，其中，，， 所以，，，， 所以 （2）由(1)知，， 当时，， 所以游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离为30米. （3）设甲、乙都坐进座舱，并记两人位置为点A，B，则， 结合(1)，当乙运行分钟后，乙离地面距离， 甲离地面距离， 所以甲、乙两人距离地面高度差 ， 当时，， 所以当或， 即或时，取得最大值1， 所以甲、乙两人距离地面高度差最大时运行时间的值为或. 15．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 【答案】(1) (2)小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 (3)4分钟 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）法一：设，通过最大值，最小值，列出方程求得，再由周期及具体点求解；法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由周期得到，再结合求解即可； （2）由求解即可； （3）由求解即可； 【详解】（1）方法一：设 由题意知，最大值是41米，最小值是1米， 即，解得 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，所以 又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即时，代入表达式得到 ，得，不妨取 所以 方法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，即角速度 设经过分钟后，小王同学在点的位置，则 所以点的纵坐标 所以 （2）由题意知，得 因为，所以或10 所以两人之间相差8分钟，即小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 （3）由题意知，即， 根据图像解得 所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板09：三角函数应用 题型01 利用三角函数模型解释自然现象 题型02 三角函数模型在物理中的应用 题型03 摩天轮问题 题型04 三角函数模型在生活中的应用 本节导航 题型01 利用三角函数模型解释自然现象 （24-25高一下·浙江宁波·开学考试）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为.典例1 (1)请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； (2)2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 四步 内容 理解 题意 条件:通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. 结论: (1)请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； (2)2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 思路 探求 （1）根据已知条件代入点计算求参即可得出解析式； （2）应用已知代入求值即可判断. 书写 表达 （1）因为， 所以，所以，代入点 可得，所以，所以， ； （2）当.所以不开空调. 题后 反思 求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． （24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.变式1 (1)求的表达式： (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. （24-25高一下·山东青岛·月考）经研究表明，同一地区在一天内的温度（单位：℃）随时间（单位：h）变化的曲线接近于函数的函数图象.根据历年气象台测量数据显示预测2025年7月下旬某市区一天内的最高温度出现在，最高温度为30℃；最低温度出现在，最低温度为22℃.变式2 (1)根据以上信息，求出该市区一天内的气温与时间的函数关系式； (2)7月22日—7月23日，某家居公司将举办家居博览会，展出时间为每天上午，下午，晚上.根据公司规定当气温大于或等于26℃时，会场内需开启空调制冷以保证产品质量.在此条件下，博览会期间会场内的空调每天需要开启多长时间？ （24-25高一下·北京西城·月考）已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，.变式3 (1)求该地区这一天这一段时间内的最大温差； (2)直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？ (3)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 题型02 三角函数模型在物理中的应用 （24-25高一下·河南驻马店·月考）函数与函数具有相同的（   ）典例2 A．振幅 B．频率 C．相位 D．初相 四步 内容 理解 题意 条件: 函数与函数 思路 探求 先求出函数的周期，根据振幅、频率、初相的定义，即可求出结论. 书写 表达 函数的振幅为3；周期，则频率为；相位为；初相为； 函数的振幅为2；周期，则频率为；相位为；初相为； 所以两个函数的频率相同. 故选：B. 题后 反思 三角函数在物理学中的应用 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径． （24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ）变式1 A．4 B．8 C． D． （24-25高一下·吉林长春·月考）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ）变式2 A． B． C． D． （24-25高一上·湖南益阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定．变式3 (1)点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? (2)在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 题型03摩天轮问题 （24-25高一上·河南郑州·期末）位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．典例3    (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 四步 内容 理解 题意 条件: 摩天轮最高点离地面高度约105米，最低点离地面约15米，均匀设置60个座舱．摩天轮按逆时针方向匀速转动，摩天轮转一周大约需要30分钟． 结论: (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 思路 探求 （1）设，根据所给条件求出，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 书写 表达 （1）设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． （2）令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． （3）经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 题后 反思 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用、利用给定函数模型解决实际问题 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案． （24-25高一下·浙江·开学考试）如图为一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为5m，圆上最低点与地面距离为1m，300秒转动一圈.图中OA与地面垂直，摩天轮上的某车厢开始位于最低点A处，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是变式1 (1)求h与间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该车厢第2次到达最高点时用时是多少. （24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟.变式2 (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. （24-25高一上·云南昭通·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟．变式3 (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 题型04三角函数模型在生活中的应用 （24-25高一上·福建福州·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，.典例4 (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 四步 内容 理解 题意 条件: 长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. 结论: (1)当时，求的面积；(2)求三角形区域面积的最大值. 思路 探求 （1）利用锐角三角函数的定义求出 、 的长，然后根据面积公式算出 的面积； （2）根据题意，用关于 的三角函数式表示出三角形区域 的面积 ，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域 面积的最大值. 书写 表达 （1）设 与 相交于点 ，则 ， 可得 ， ， 因为 等于 到 的距离， 所以， 即 的面积为 . （2）过点 作 于点 ，则 ， 且三角形区域 面积为 ， 设 ，由 ，得 所以 ， 结合 ，可得 当 时， 取得最大值， 即三角形区域 面积的最大值为 . 题后 反思 sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 （24-25高一下·辽宁沈阳·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.变式1 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ （24-25高一下·山东临沂·月考）某景区每年各个月接待游客的人数近似满足周期性规律，假设一年中第个月的游客人数可以近似用函数，来表示，其中，，…，12.已知该景区每年4月游客最少，有2000人，每年游客最多时有8000人.变式2 (1)求的表达式； (2)当该景区的旅游人数不少于6500时，该景区进入了一年中的“旅游旺季”，则该景区一年中进入“旅游旺季”的月份有几个月？ （24-25高一下·山东日照·月考）现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设．变式3 (1)求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； (2)求养殖面积的最小值，及此时的值． 1．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为时，其所对的“古典正弦”为（为的中点）．根据以上信息，当圆心角对应弧长时，的“古典正弦”值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 3．（24-25高三上·山西·期末）天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）将漏斗挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放纸板，纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图①，已知一根长为的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）的函数关系是（图②），其中，则估计线的长度应当是（精确到）（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 6．（24-25高一下·广东江门·期中）（多选）如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（      ） A．点第一次到达最高点需要秒 B．当水轮转动秒时，点距离水面米 C．当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为 7．（24-25高一下·江苏·月考）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 8．（24-25高一下·山东聊城·期中）电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为 . 9．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 10．（24-25高一下·江苏·月考）如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行．在A处观测地面目标，测得俯角．飞行后到达处，此时观测地面目标，测得俯角．又飞行一段时间后到达处，此时观测地面目标，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由至的飞行时间为 ．    11．（24-25高一下·上海·月考）如图，正方形的边长为 ，为的中点， 射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至. 在旋转的过程中，设，所扫过正方形内的区域（阴影部分）面积为，对于函数有以下三个结论: ①； ②对任意的、且，都有； ③对任意的，都有. 其中所有正确的结论的序号是 . 12．（24-25高一下·河南·月考）如图，某大风车的半径为2米，按逆时针方向匀速转动，每12秒旋转一周，它的最低点离地面0.5米.风车圆周上一点从最低点开始，运动秒后与地面的距离为米. (1)求函数的关系式； (2)求转动一周，点距离地面不超过1.5米的时长. 13．（24-25高一下·河南南阳·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为（，，）．（在水面下则为负数）      (1)求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)若水面下降，在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间． 14．（24-25高一下·安徽·开学考试）摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，，求y关于t的函数解析式； (2)在(1)条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离； (3)游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时运行时间，至乙运行一周结束计时，在这过程中，求甲、乙两人距离地面高度差最大时运行时间的值. 参考公式： 15．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $