答题模板08 三角函数的图像与性质9题型（专项训练）数学苏教版必修第一册

答题模板08：三角函数的图像与性质 题型01 三角函数的定义域、值域 题型02 三角函数的化简、求值 题型03 三角函数图像平移问题 题型04 求三角函数的周期性 题型05 利用周期性求值 题型06 三角函数的对称性问题 题型07 正、余弦函数不等式问题 题型08 正、余弦函数综合应用 题型09 正切函数综合问题 本节导航 题型01 三角函数的定义域、值域 （25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的定义域为 .典例6 （2）函数的定义域为 . 四步 内容 理解 题意 条件: ； 结论: 求定义域 思路 探求 （1）利用正切函数的定义域可列式子解出答案， （2）利用正切函数与对数函数的定义域可列式子得出答案. 书写 表达 （1）由，得， 所以函数的定义域为. （2）由题意知，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：，. 题后 反思 求对数型复合函数的定义域、求正切（型）函数的定义域 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线． (2) 处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解． （25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 .变式1 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： （25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ．变式2 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. （25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最大值为 ．变式3 【答案】4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先求的范围，结合正弦函数的性质和范围可得答案. 【详解】当时，， 所以函数在，即时取得最大值，最大值为． 故答案为：4 题型02 三角函数的化简、求值 （2025高一上·全国·专题练习）函数的最大值为 .典例2 四步 内容 理解 题意 条件: 结论: 求最大值 思路 探求 利用同角三角函数关系式与基本不等式即可求得. 书写 表达 由题可得， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 题后 反思 求含cosx的二次式的最值、基本不等式求和的最小值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 （25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，在处取得最小值，则（    ）变式1 A．     B．1 C．3 D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含cosx的二次式的最值 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求出取得最小值的，再利用诱导公式求解. 【详解】当时，，， 则当，即时，函数取得最小值，因此， 此时，所以. 故选：A （25-26高一上·湖南长沙·开学考试）已知，则锐角的取值范围是 .变式2 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、解余弦不等式 【分析】利用特殊角的三角函数值和余弦的单调性求解即可. 【详解】因为角是锐角，且， 所以由余弦函数的单调性可得， 故答案为： （25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 .变式3 【答案】 【知识点】解正切不等式 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型03 三角函数图像平移问题 （23-24高一下·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度 结论: 函数的图象 思路 探求 利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 书写 表达 由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 题后 反思 求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 平移变换：对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． 伸缩变换：对于函数y＝sin x，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y＝sin .若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍，则得到函数y＝Asin x，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换． （25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C （25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（   ）变式2 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先由平移变换知识得到函数的图象，再由的取值范围和的单调性即可得到函数在所给区间上的单调性，从而得到最值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位长度后得到函数的图象， 再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 当时，，因为在上单调递增， 则在上单调递增， 故. 故选：D （25-26高一上·全国·课前预习）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一个对称中心为（   ）变式3 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据图象变换求出的解析式，根据对称性可得答案. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍得到函数的图象， 再向右平移个单位长度得到的图象， 令，解得，结合选项可得当时，， 故选：C． 题型04 求三角函数的周期性 （25-26高三上·河北张家口·期中）已知，．典例4 (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的单调增区间 四步 内容 理解 题意 条件:已知， 结论: (1)求函数的最小正周期(2)求函数的单调增区间 思路 探求 （1）根据正弦函数的性质，以及最小正周期的性质，求出结果即可. （2）根据正弦函数的性质，列出不等式，求出结果即可. 书写 表达 （1）由函数，可得最小正周期. （2）由正弦函数性质可知，， 解得， 所以函数的递增区间是 题后 反思 求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 求三角函数的周期，通常有三种方法 (1)定义法． (2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝. (3)观察法(图象法)． （2023高三·江苏·学业考试）已知函数.变式1 (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、基本不等式求和的最小值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）确定，再计算周期即可. （2）设，，考虑，，三种情况，利用基本不等式计算最值得到答案. 【详解】（1）由，则最小正周期. （2）由，即， 设，，， 当时，即，整理得到， 由，当且仅当，即时等号成立， 故； 当时，不等式恒成立； 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立， 故. 综上所述：，即. （24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）的单调增区间 变式2 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据给定函数，利用正弦函数的单调性列式求出单调递增区间. 【详解】由，解得， 所以所求单调增区间为. 故答案为： （25-26高二上·河南焦作·期中）函数的最小正周期为 .变式3 【答案】4 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用三角函数周期公式求解. 【详解】由题，函数的最小正周期. 故答案为：4. 题型05 利用周期性求值 （25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数的最小正周期为，，则等于 .典例5 四步 内容 理解 题意 条件: 函数的最小正周期为， 结论：，求 思路 探求 根据周期得出，再根据结合，得出，最后代入求解. 书写 表达 ，又因为得， 所以，即得， 又因为，所以， 因此，. 故答案为：2. 题后 反思 特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的周期性求值 (1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值． (2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题． （2025·云南·模拟预测）对，都有.当时，，则的值为（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用 【分析】根据题设条件推得2为的一个周期，利用函数的周期性易得函数值. 【详解】由题意，， 则2为的一个周期， 故. 故选：B. （25-26高三上·四川·月考）已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（    ）变式2 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】依题意可得为函数的最大值或最小值，即可求出的取值集合，再由周期求出的范围，即可求出的值，从而得解. 【详解】，为函数的最大值或最小值. ，，解得.又 函数的最小正周期满足，且， ，解得，当时，满足题意，. 故选：B. （2025·河南·一模）若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ）变式3 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出的值，可得出函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可得出正数的最小值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 则函数. 因为函数满足，所以函数是奇函数， 则，解得， 而，因此最小可取. 故选：D. 题型06三角函数的对称性问题 （24-25高二下·云南楚雄·月考）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ）典例6 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称 结论:求 思路 探求 先得出平移后的解析式，再根据奇偶性得出，，最后根据范围即可. 书写 表达 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，， 因为，所以. 故选：D. 题后 反思 利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 （2025·山东泰安·模拟预测）函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】由题可知，再逐项判断即可． 【详解】函数关于对称，则在该点取得最值， 即，解得， 对于A，令，解得，故A正确； 对于B，令，解得，不为整数，故B错误； 对于C，令，解得，不为整数，故C错误； 对于D，令，解得，不为整数，故D错误 故选：A． （25-26高三上·安徽·期中）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ）变式2 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据正弦函数的对称性求解. 【详解】由题意得，得，所以的最小值为. 故选：B. （25-26高三上·海南·月考）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ）变式3 A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦型函数的对称中心即可求解. 【详解】由题意可知，解得， 又因为，所以，则. 故选：A 题型07正、余弦函数解不等式问题 （25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数的部分图象如图所示.典例7    (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)求不等式的解集. 四步 内容 理解 题意 条件: 函数的部分图象 结论: (1)求的值；(2)求在上的值域；(3)求不等式的解集. 思路 探求 （1）由结合图象计算求解即可； （2）由（1）可得，再结合余弦型函数的最值性质进行求解即可； （3）结合余弦型函数性质列不等式求解即可. 书写 表达 （1）由图象可知且最小正周期， 所以且， 从图象来看，处于上升沿的一个零点， 所以，解得，所以； （2）由（1）可得， 当时，， 由余弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以函数在上的值域为； （3）由得，， 解得， 所以不等式的解集为. 题后 反思 求cosx(型)函数的值域、解余弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出不等式的解集． （25-26高三上·辽宁·期中）已知函数．变式1 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． 【答案】(1)，． (2) (3) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、解余弦不等式 【分析】（1）根据余弦函数的减区间即可列不等式求解； （2）求出的范围，根据余弦函数的性质即可求解； （3）求出的范围，根据余弦函数的性质求出范围，即可求出不等式的解集． 【详解】（1），令，， 解得，， ∴函数的单调递减区间为，； （2），∵，∴， 可得， 则， 即函数在上的值域为； （3）由题得，即， ∵，∴， ∴，可得， ∴该不等式的解集为． （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数.变式2 (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为， (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、解正弦不等式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用整体法即可求解对称，由周期的公式求解最小正周期， （2）利用整体法，即可求解， （3）将问题转化为，即可利用整体法求解. 【详解】（1）的最小正周期为， 令，解得，故对称轴方程为， 令，解得，故对称中心为， （2），则，故， 因此，故值域为 （3）由可得，继而， 所以，解得， 故时，. 题型08正、余弦函数性质综合应用 （25-26高三上·海南·月考）已知函数的最小正周期为，且过点．典例8 (1)求的值； (2)求函数在上的值域． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数的最小正周期为，且过点． 结论: (1)求的值；(2)求函数在上的值域． 思路 探求 （1）由函数的周期求出的值，再利用函数过点求出； （2）利用正弦型函数的单调性结合所给条件求解即可. 书写 表达 （1）因为函数的最小正周期为， 所以，又， 所以解得：， 由， 所以或 又，所以当时，代入，有：． （2）由（1）得，又， 所以令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 故在上的值域为． 题后 反思 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、正、余弦型三角函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质． （25-26高二上·陕西商洛·期中）已知函数.变式1 (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)，，. (2)最大值为1，最小值为. 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据正弦型函数性质确定最小正周期与对称轴方程即可； （2）利用整体法求解的取值范围，结合正弦型函数性质求解最值即可. 【详解】（1）由， 得函数的最小正周期， 令，，得，， ∴函数图象的对称轴方程是，. （2）当时，， ∴， ∴， 故函数的最大值为1，最小值为. （福建省百校联考2025-2026学年高三上学期11月联合测评数学试题）已知函数的最小正周期为.变式2 (1)求的对称轴方程和单调递减区间； (2)设函数，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)； (2) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）由周期可计算出，再借助余弦函数性质计算即可得解； （2）借助三角恒等变换公式可将化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算即可得. 【详解】（1）由题意，即，所以， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，解得， 所以函数的单调递减区间为； （2）， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上的值域为. （25-26高三上·辽宁营口·期中）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的,纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.变式3 (1)求的解析式； (2)求曲线的对称轴方程； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】（1）根据伸缩与平移变换的知识得到； （2）利用正余弦函数对称轴为最值点所在直线求出对称轴； （3）运用正弦函数的和角公式，配合辅助角公式进行运算求解即可. 【详解】（1）依题意可得. （2）令,      得,此即曲线的对称轴方程. （3）因为 , 所以的值域为. 题型09 正切函数综合问题 （25-26高一上·江苏南京·开学考试）已知函数满足．典例9 (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． (3)设，是大于0的常数，函数，若恒成立，求的取值范围. 四步 内容 理解 题意 条件: 函数满足 结论: (1)求函数的解析式及最小正周期；(2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． (3)设，是大于0的常数，函数，若恒成立，求的取值范围. 思路 探求 (1)由和的范围，求出，即得函数解析式，再由周期公式求解即可； (2)根据平移变换求得，根据求出结合即可求得其最小值； (3)利用，结合基本不等式可得：，由恒成立，可得：，解不等式即得. 书写 表达 （1）∵， ∴，，即 又，故，即， ∴的最小正周期为：； （2）由题意，， ∵， 由，可得， ∴， 解得，因， ∴的最小值为． （3）因为，所以，， 则， 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 又因为恒成立，所以，由于，解得：， 所以的取值范围为. 题后 反思 求正切（型）函数的周期、基本不等式“1”的妙用求最值、函数不等式恒成立问题、求图象变化前（后）的解析式 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． （25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A （25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法错误的是（    ）变式2 A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【答案】A 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的值域及最值、求正切（型）函数的对称中心 【分析】利用正切函数的性质得到答案 【详解】因为，所以函数的最小正周期，故A错误； 由正切函数的图象和性质可知函数的值域为，故B正确； 由，得，当时，， 所以点是函数的图象的一个对称中心，故C正确； 因为的最小正周期，所以，故D正确. 故选：A （24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ．变式3 【答案】或 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】根据正切型函数的周期公式计算得解. 【详解】由，解得. 故答案为：或. 1．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 2．（25-26高二上·安徽·月考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期。 故选：C 3．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据得出，分别为最大值点和最小值点，再结合以及可以得到答案 【详解】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又， ，，整理得， 又， ，，整理得，， 又， 的最小值为4. 故选：B 4．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】利用正弦函数的对称性及给定等式列式求出的表达式，进而求出最小值. 【详解】由函数图象关于点对称，得，即， 由，得，于是，而， 因此或，或， 所以当时，. 故选：D 5．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性求解判断. 【详解】依题意，， 对于A，，则不是函数图象的对称中心，A不是； 对于B，，则不是函数图象的对称中心，B不是； 对于C，，则不是函数图象的对称中心，C不是； 对于D，，则是函数图象的对称中心，D是. 故选：D 6．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由题意可计算出周期，即可得，再利用平移后过零点计算可得，从而可结合得到的最大值. 【详解】由最小值为，则，则， 将向右平移个单位长度后恰好过原点， 则， 则，又，则的最大值为. 故选：A. 7．（25-26高三上·天津滨海新·月考）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域是 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据函数的平移变换得到，进而结合正弦函数的性质判断各选项即可. 【详解】将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得到函数的图象， 再向左平移个单位，可得的图象. 对于A，， 则直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，， 则点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上有增有减， 所以函数在上有增有减，故C错误； 对于D，当时，， 则，即，故D正确. 故选：D 8．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知函数，则（   ） A．的一个周期为 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】代入验证即可求解ABC，利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解D. 【详解】A项：，则的一个周期为，A正确； B项：，则是偶函数，B正确； C项：令，则，当时，， 则的图象关于直线对称，C正确； D项：当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调递增，D错误． 故选：ABC 9．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在内单调递增 C．是奇函数 D．的图象关于中心对称 【答案】AD 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】对于A，根据三角函数的周期性以及周期性的定义，可得其正误；对于B，利用整体思想，求得三角函数的单调区间，由题意检验，可得其正误；对于C，根据奇函数的必要条件，利用举反例，可得其正误；对于D，根据三角函数的对称中心，整体代入检验，可得其正误. 【详解】由可得是的一个周期，A正确； 令，则， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 所以函数的单调递减区间为，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间内不单调，B错误； ，所以不是奇函数，C错误； 由于，则的图象关于中心对称，D正确． 故选：AD. 10．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 【答案】(1)最小正周期为；对称中心为 (2) (3)最大值为，最小值为. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，进而得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 11．（25-26高三上·上海·月考）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的值和函数的对称中心； (2)当时，若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式，辅助角公式化简函数的解析式.根据的最小正周期为，求得的值，利用整体代换法求得函数的对称中心； （2）根据条件确定函数的解析式，根据求得的取值范围，利用函数单调性求得相对应的的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）. 因为的最小正周期为，则，所以. 所以. 令，得. 函数的对称中心为； （2）由（1）知. 当时，. 若，则. 由，得，即， 所以. 令，则. 结合下图可知：，所以. 故实数的取值范围是.    12．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】(1)是“伪奇函数”，理由见解析 (2) (3)答案和理由见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、函数新定义 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可； （2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可. 【详解】（1）∵，∴，则是“伪奇函数”． （2）令， 则， 即在有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. （3）当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板08：三角函数的图像与性质 题型01 三角函数的定义域、值域 题型02 三角函数的化简、求值 题型03 三角函数图像平移问题 题型04 求三角函数的周期性 题型05 利用周期性求值 题型06 三角函数的对称性问题 题型07 正、余弦函数不等式问题 题型08 正、余弦函数综合应用 题型09 正切函数综合问题 本节导航 题型01 三角函数的定义域、值域 （25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的定义域为 .典例6 （2）函数的定义域为 . 四步 内容 理解 题意 条件: ； 结论: 求定义域 思路 探求 （1）利用正切函数的定义域可列式子解出答案， （2）利用正切函数与对数函数的定义域可列式子得出答案. 书写 表达 （1）由，得， 所以函数的定义域为. （2）由题意知，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：，. 题后 反思 求对数型复合函数的定义域、求正切（型）函数的定义域 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线． (2) 处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解． （25-26高一上·全国·课后作业）函数的值域是 .变式1 （25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ．变式2 （25-26高一上·全国·课前预习）函数在区间上的最大值为 ．变式3 题型02 三角函数的化简、求值 （2025高一上·全国·专题练习）函数的最大值为 .典例2 四步 内容 理解 题意 条件: 结论: 求最大值 思路 探求 利用同角三角函数关系式与基本不等式即可求得. 书写 表达 由题可得， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 题后 反思 求含cosx的二次式的最值、基本不等式求和的最小值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 （25-26高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，在处取得最小值，则（    ）变式1 A．     B．1 C．3 D． （25-26高一上·湖南长沙·开学考试）已知，则锐角的取值范围是 .变式2 （25-26高一上·全国·课后作业）不等式，的解集为 .变式3 题型03 三角函数图像平移问题 （23-24高一下·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ）典例3 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度 结论: 函数的图象 思路 探求 利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 书写 表达 由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 题后 反思 求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 平移变换：对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． 伸缩变换：对于函数y＝sin x，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y＝sin .若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍，则得到函数y＝Asin x，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换． （25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（   ）变式2 A． B． C． D． （25-26高一上·全国·课前预习）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一个对称中心为（   ）变式3 A． B． C． D． 题型04 求三角函数的周期性 （25-26高三上·河北张家口·期中）已知，．典例4 (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的单调增区间 四步 内容 理解 题意 条件:已知， 结论: (1)求函数的最小正周期(2)求函数的单调增区间 思路 探求 （1）根据正弦函数的性质，以及最小正周期的性质，求出结果即可. （2）根据正弦函数的性质，列出不等式，求出结果即可. 书写 表达 （1）由函数，可得最小正周期. （2）由正弦函数性质可知，， 解得， 所以函数的递增区间是 题后 反思 求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 求三角函数的周期，通常有三种方法 (1)定义法． (2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝. (3)观察法(图象法)． （2023高三·江苏·学业考试）已知函数.变式1 (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. （24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）的单调增区间 变式2 （25-26高二上·河南焦作·期中）函数的最小正周期为 .变式3 题型05 利用周期性求值 （25-26高三上·江西赣州·期中）已知函数的最小正周期为，，则等于 .典例5 四步 内容 理解 题意 条件: 函数的最小正周期为， 结论：，求 思路 探求 根据周期得出，再根据结合，得出，最后代入求解. 书写 表达 ，又因为得， 所以，即得， 又因为，所以， 因此，. 故答案为：2. 题后 反思 特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的周期性求值 (1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值． (2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题． （2025·云南·模拟预测）对，都有.当时，，则的值为（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高三上·四川·月考）已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（    ）变式2 A． B． C． D． （2025·河南·一模）若函数的最小正周期为，函数，满足，则的最小值为（   ）变式3 A． B． C． D． 题型06三角函数的对称性问题 （24-25高二下·云南楚雄·月考）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ）典例6 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称 结论:求 思路 探求 先得出平移后的解析式，再根据奇偶性得出，，最后根据范围即可. 书写 表达 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，， 因为，所以. 故选：D. 题后 反思 利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 （2025·山东泰安·模拟预测）函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·期中）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ）变式2 A． B． C． D． （25-26高三上·海南·月考）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ）变式3 A． B． C．2 D． 题型07正、余弦函数不等式问题 （25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数的部分图象如图所示.典例7    (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)求不等式的解集. 四步 内容 理解 题意 条件: 函数的部分图象 结论: (1)求的值；(2)求在上的值域；(3)求不等式的解集. 思路 探求 （1）由结合图象计算求解即可； （2）由（1）可得，再结合余弦型函数的最值性质进行求解即可； （3）结合余弦型函数性质列不等式求解即可. 书写 表达 （1）由图象可知且最小正周期， 所以且， 从图象来看，处于上升沿的一个零点， 所以，解得，所以； （2）由（1）可得， 当时，， 由余弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以函数在上的值域为； （3）由得，， 解得， 所以不等式的解集为. 题后 反思 求cosx(型)函数的值域、解余弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出不等式的解集． （25-26高三上·辽宁·期中）已知函数．变式1 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集． （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数.变式2 (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 题型08正、余弦函数综合应用 （25-26高三上·海南·月考）已知函数的最小正周期为，且过点．典例8 (1)求的值； (2)求函数在上的值域． 四步 内容 理解 题意 条件: 函数的最小正周期为，且过点． 结论: (1)求的值；(2)求函数在上的值域． 思路 探求 （1）由函数的周期求出的值，再利用函数过点求出； （2）利用正弦型函数的单调性结合所给条件求解即可. 书写 表达 （1）因为函数的最小正周期为， 所以，又， 所以解得：， 由， 所以或 又，所以当时，代入，有：． （2）由（1）得，又， 所以令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 故在上的值域为． 题后 反思 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、正、余弦型三角函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质． （25-26高二上·陕西商洛·期中）已知函数.变式1 (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值. （福建省百校联考2025-2026学年高三上学期11月联合测评数学试题）已知函数的最小正周期为.变式2 (1)求的对称轴方程和单调递减区间； (2)设函数，求函数在区间上的值域. （25-26高三上·辽宁营口·期中）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的,纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.变式3 (1)求的解析式； (2)求曲线的对称轴方程； (3)求函数的值域. 题型09 正切函数综合问题 （25-26高一上·江苏南京·开学考试）已知函数满足．典例9 (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． (3)设，是大于0的常数，函数，若恒成立，求的取值范围. 四步 内容 理解 题意 条件: 函数满足 结论: (1)求函数的解析式及最小正周期；(2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． (3)设，是大于0的常数，函数，若恒成立，求的取值范围. 思路 探求 (1)由和的范围，求出，即得函数解析式，再由周期公式求解即可； (2)根据平移变换求得，根据求出结合即可求得其最小值； (3)利用，结合基本不等式可得：，由恒成立，可得：，解不等式即得. 书写 表达 （1）∵， ∴，，即 又，故，即， ∴的最小正周期为：； （2）由题意，， ∵， 由，可得， ∴， 解得，因， ∴的最小值为． （3）因为，所以，， 则， 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 又因为恒成立，所以，由于，解得：， 所以的取值范围为. 题后 反思 求正切（型）函数的周期、基本不等式“1”的妙用求最值、函数不等式恒成立问题、求图象变化前（后）的解析式 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． （25-26高三上·吉林长春·月考）已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法错误的是（    ）变式2 A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． （24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ．变式3 1．（25-26高三上·黑龙江鸡西·期中）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽·月考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·天津滨海新·月考）将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域是 8．（25-26高一上·全国·课前预习）（多选）已知函数，则（   ） A．的一个周期为 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 9．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．在内单调递增 C．是奇函数 D．的图象关于中心对称 10．（25-26高一上·吉林·期中）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 11．（25-26高三上·上海·月考）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的值和函数的对称中心； (2)当时，若对任意，都有，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $