精品解析：广东省茂名市信宜市2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

信宜市2025—2026学年度第一学期期中试题 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：共8小题，每小题，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（ ） A. 32 B. 33 C. 48 D. 49 4. 已知数据3，7，4，7，，6的平均数是5，则这组数据的方差为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 5. 将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又独立 二、选择题：本题共3小题，每小题，共1.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图中前三个数据的平均值为49.9% B. 2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大 C. 图中PMI指数的极差为3.8% D. 2023年PMI指数的众数为49.0 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点，点，满足，，其中，，则（ ） A. 当，时，点到直线的距离为 B. 当取最小值时， C. 存在，，使得 D. 当，时，过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则________ 13. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为________ 14. 已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是________ 四、解答题：共5小题，共7.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率； （2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求证：平面平面 17. 一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； （2）全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用上述数据计算全班学生的平均分，总方差. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，，，，. （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组. （1）若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 信宜市2025—2026学年度第一学期期中试题 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：共8小题，每小题，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解某地区5000名小学生的体育素质情况，从中抽取了500名小学生进行测试，该地区每位小学生被抽到的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的定义求解即可. 【详解】该地区每位小学生被抽到的可能性为, 故选：A 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则 ，所以. 故选：B 3. 样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（ ） A. 32 B. 33 C. 48 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】样本数据从小到大排列为22、29、32、34、37、38、42、45、47、49、51、53， 因为，所以下四分位数（25%分位数）为第三个数和第四个数的平均数. 故选：B. 4. 已知数据3，7，4，7，，6的平均数是5，则这组数据的方差为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数公式，求解，再代入方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，得， 这组数据的方差. 故选：A 5. 将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定直线的斜率以及直线上的点，再代入点斜式直线方程. 【详解】由条件可知，与轴的交点为，且斜率为，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程是，整理为. 故选：B 6. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线的位置关系求解. 【详解】因为直线：，：，且， 所以，解得， 故选：D 7. 如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率值，再由相互独立事件的概率乘法公式计算可得． 【详解】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，，则，，. 不发生故障的事件为， ∴不发生故障的概率为. 故选：D 8. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又独立 【答案】C 【解析】 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题，共1.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标关系判断A，B，应用空间向量数量积及夹角余弦公式计算判断C，D. 【详解】向量，，， 因为，所以，A选项正确； 易知不存在实数使得，所以不平行，B选项错误； 显然，所以，C选项正确； 易知，D选项正确； 故选：ACD. 10. 采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图中前三个数据的平均值为49.9% B. 2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大 C. 图中PMI指数的极差为3.8% D. 2023年PMI指数的众数为49.0 【答案】ABD 【解析】 【分析】经计算可得前三个数据的平均值为，由方差的实际意义可知B正确；根据极差的公式计算可得C错误；根据众数的概念判断D即可. 【详解】对于A，前三个数据为，，，所以前三个数据的平均值为，故A选项正确； 对于B，从表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中，第一季度的波动性最大，稳定性最差，所以方差最大，故B选项正确； 对于C，图中PMI指数的最大值为%，最小值为%，故极差为%，C选项错误； 对于D，2023年PMI指数中，49.0出现两次，其他的出现一次，故2023年PMI指数的众数为49.0,故D选项正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点，点，满足，，其中，，则（ ） A. 当，时，点到直线的距离为 B. 当取最小值时， C. 存在，，使得 D. 当，时，过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，A.代入点到直线的距离公式，可判断；B. 当是，的公垂线段时，最短，根据向量垂直的坐标表示，即可求解和的值；C.坐标表示和，可判断；D.首先作出截面，再根据平面图形的性质求面积. 【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，. 选项A：当时，，，，， 取，， 点到直线的距离为， A正确. 选项B：最小时，是，的公垂线段，，， ， ，解得， B正确. 选项C：， ， 若，则,即， 因为，，显然，所以不成立，C错误； 选项D：当，时，在取靠近点的三等分点，连接并延长交于点，易得点是靠近点的三等分点，取靠近点的三等分点，如图所示， 因为三点共线，点分别是的中点， 所以，又因为，所以， 所以四点共面， 又，所以共面 所以过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形为四边形， 则，且，又因为平面，所以，即， 则四边形为矩形，，，求得面积为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则________ 【答案】24 【解析】 【分析】代入向量数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】， 所以. 故答案为： 13. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的斜率公式，即可求解. 【详解】由条件可知直线的斜率为2，所以，得. 故答案为： 14. 已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是________ 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：利用极化恒等式把转化为，再利用正方体性质，先确定，再确定最小值，最大值，从而可求得最小值； 方法二：利用空间向量的坐标运算，先研究关于三元函数最小值，再求剩下变量构造成两点间距离的最大值，最后确保它们能同时取到最值的条件是三点共面即可. 【详解】法一： 根据正方体的性质，可不妨设在下底面的棱上动点，又设中点为， 则 当与中点重合时，取到最小值， 当为底面对角线的顶点时，取到最大值， 所以当为底面中心，为底面对角线的顶点时, 取到最小值； 法二、如图建立空间直角坐标系， 设，，，其中，，. 则，. 则 ， 当在正方体同一面上时，则当，，时，取得最小值， ， 即当为正方体一面的对角线，为对角线中点时，取得最小值； 当、、不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设，，不同时为0， 此时 ； 因为，，，则， 所以， 综上，的最小值是. 四、解答题：共5小题，共7.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球. （1）从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率； （2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法，以及古典概率公式，即可求解； （2）首先求样本空间，再列举基本事件个数，结合古典概型概率公式，即可求解. 【小问1详解】 从盒中任取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，共6个， 记取出的两球编号之和大于5的事件为， 则事件包含，，共2个等可能基本事件 所以； 所以取出的两球编号之和大于5的概率为. 【小问2详解】 有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，，共16个， 记的事件为， 则事件包含，，，，，，，，，共10个等可能基本事件， 所以， 所以事件“”发生的概率为. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，. （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求证：平面平面 【答案】（1） （2） 由（1）知为平面的一个法向量 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量. 因为，所以. 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）以点为原点,建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用解出答案； （2）求出平面的法向量，利用即可证明. 【小问1详解】 依题意，以点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. 设平面的一个法向量为，， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量. ，， 设与平面所成角为，则 【小问2详解】 略 17. 一次数学测验中，将全班的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，试估计样本成绩的众数、平均数、第80百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； （2）全班有男生32人，女生16人，其中男生平均分为72，方差为26；女生平均分为75，方差为20，运用上述数据计算全班学生的平均分，总方差. 【答案】（1），众数为75，平均数为72，第80百分位数为85 （2）平均分73，总方差26 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求，再根据频率分布直方图求众数，平均数和80百分位数； （2）首先根据公式求总体平均分，再代入总体方差公式，即可求解. 【小问1详解】 各组小矩形的面积之和为1， 所以 解得. 由频率分布直方图可知：众数为75， 平均数为. 设第80百分位数为，成绩在的频率为， 成绩在的频率为 所以，， 解得 故估计样本成绩的众数为75，平均数为72，第80百分位数为85. 【小问2详解】 依题意，得两组成绩合并后的总平均数为， 总方差. 故全班学生的平均分73，总方差26. 18. 如图所示，在直三棱柱中，，，，，. （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由题设易得，平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （2）设，，可得，结合平面的法向量为，利用点到平面的距离公式列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，，，所以，即， 在直三棱柱中，平面， 以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得，则， 易知平面的法向量为，则， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 假设线段上存在点，使得点到平面的距离是， 由（1）知，，设，， 所以，则， 由（1）知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为，解得， 所以当时，存在点满足题意. 19. 在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组. （1）若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 【答案】（1）获得冠军概率为，获得冠军的概率为 （2）传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制对强队更有利. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式列式求解. （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，作差并结合强队的条件比较大小即可. 【小问1详解】 在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为. 依题意，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为. 所以在传统的淘汰赛赛制下获得冠军概率为，获得冠军的概率为. 【小问2详解】 在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， 在双败赛制下，讨论进入胜者组、败者组两种情况， 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利， 后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为， 因此获得冠军的概率为， ， 由，得，，若为强队，则，此时， 即，因此，获得冠军的概率更大， 若为强队，即时，双败赛制对强队更有利. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $