精品解析：广东省汕头市潮阳一中明光学校2025-2026学年高三上学期第三阶段考试数学试题

潮阳一中明光学校2025-2026学年度第三阶段考试 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题教师：郑伯金 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次不等式解法化简集合，根据并集的定义求结论. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以. 故选：C. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 3. 已知函数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意在中分别令、即可得到关于的方程组，解方程组即可. 【详解】因为函数满足， 所以在中分别令、， 可得， 解不等式组得. 故选：A. 4. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数和的单调性，分别比较a、b与c的大小关系即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 又，所以； 又因为函数在上单调递增，所以， 所以. 综上，. 故选：C 5. 某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图得到内有2人，内有4人，然后列举出所有的基本事件，用古典概型求概率的公式求概率即可. 【详解】由频率分布直方图知内有2人，不妨记为a，b；在内有4人，不妨记为1，2，3，4.从6人中任取2人的基本事件为，共15个，事件“恰有一人的成绩在内”的基本事件有8个，所以所求的概率为. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案. 【详解】由题， 得， 则或， 因为，所以， . 故选：A 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方程，求得，进而得到， ，再利用双曲线的定义，以及双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60°， ∴，，∴，即 ∴，∴， 双曲线定义有，∴离心率. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 8. 已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数的图象，可得，，进而可得，.将点代入，结合，即可得.令，则，所以方程在上有两个不相等的实数根等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线，数形结合即可求解. 【详解】根据函数的部分图象，可得，，∴，∴，∴. 由函数经过点，根据五点法作图可得，∴. 又，∴，. 令，则当时，， 所以方程在上有两个不相等的实数根，即方程在上有两个不相等的实数根，等价于函数的图象与直线在上有两个交点.在同一平面直角坐标系下画出函数，的图象与直线如下图所示： 由图可知：方程在上有两个不相等的实数根时，则实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ） A. 是函数的极值 B. 函数的有最小值无最大值 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】BC 【解析】 【分析】由极值的定义可判断A,根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性即可判断B，C，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率可判断D． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，故B，C正确； 则是函数的极小值点不是极值，故A错； 由图像可知函数在处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确； 故选：BC 10. 已知均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 又，， 均为正实数， ，即，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：，， ，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误； 选项D：， ，变形可得， 设，则，故同号， 当时， ，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 11. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】由题可知，即可得到；对A，，结合正弦函数性质即可判断；对B，由即可判断；对C，即判断两相邻对称轴的距离；对D，按照图象平移原则判断即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，因为，所以， 所以， 对于A，函数，根据正弦函数的奇偶性， 因此函数是奇函数，故A正确； 对于B，由于，， 函数在上不单调，故B错误； 对于C，因为，，又因为， 的周期为，所以的最小值为，故C正确； 对于D，函数的图象向右平移个单位长度得到，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，平面向量，，若，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量的线性坐标运算求得，，然后利用垂直的坐标运算列式计算求解即可. 【详解】由，可得，， 由可得， 所以，解得. 故答案为：4 13. 写出过点与曲线相切的一条直线的方程：_____________. 【答案】或(写出其中一条即可) 【解析】 【分析】设切点为，对函数求导后，将切点的横坐标代入可求出切线的斜率，从而可表示出切线方程，再将点代入切线方程中可求出，代入切线方程中化简可得答案 【详解】设切点为，因为， 所以切线方程为， 将点代入得，解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为. 故答案为：或 14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及正弦定理求得，再由数量积确定角范围得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而外接圆半径，则由正弦定理得， 又，即，而，因此 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）若，求的值. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再代入计算即得. （2）由（1）中信息，利用正弦函数的单调性列式求解. （3）由（1）中信息，求出，再利用同角公式求解. 【小问1详解】 函数 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 令，，解得，, 所以函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 由（1）得，， 由，得，则， 所以. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可； （2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可. 【小问1详解】 在中，， 代入整理得， 又因为，，所以， 所以，解得， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为是中点，所以， 两边平方得， 所以，即， 又由均值不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点． （1）证明：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）由题知，在三棱柱中， 因为，，平面， 所以四边形是正方形，， 又平面，则， 又平面，， 则平面， 又是中点，是中点， 则，所以平面， 又平面，则， 又平面，， 则平面， 又平面，则. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理的结合即可得出结论. （2）平移直线，作出线线角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点H，连接,设，则 因为为的中点，所以, 所以平面ABC, ,所以， 所以异面直线与所成角即为或其补角， 且，即异面直线与所成角的余弦值为. 18. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . 【小问2详解】 由（1）得. 则 . 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由题意可知，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性； （2）分离参数，求解新函数的最值可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知不等式，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳一中明光学校2025-2026学年度第三阶段考试 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题教师：郑伯金 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，比较a，b，c的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在内，绘成频率分布直方图（如图所示），从中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在内的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ） A. 是函数的极值 B. 函数的有最小值无最大值 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 10. 已知均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，平面向量，，若，则______. 13. 写出过点与曲线相切的一条直线的方程：_____________. 14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）若，求的值. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点． （1）证明：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $