12.2.5 斜边直角边 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“斜边直角边（HL）”定理，课堂导入先回顾已学的四种全等三角形判定方法和直角三角形边的名称，通过提问“斜边和一条直角边相等的两个直角三角形是否全等”形成猜想，搭建旧知与新知的学习支架。 亮点在于采用“操作探究—归纳定理—应用巩固”流程，学生动手尺规作图验证HL定理培养几何直观与空间观念（数学眼光），例题及变式练习引导规范推理与表达（数学思维与语言），助力学生提升动手与逻辑能力，为教师提供清晰教学路径和分层练习资源。

12.2.5 斜边直角边 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十二章 课题 12.2.5 斜边直角边 课时 1课时 课标要求 通过本节课的学习掌握判定两个直角三角形全等的 “斜边、直角边” 定理，能运用该定理解决简单的几何证明和计算问题。同时经历 “观察 — 猜想 — 验证 — 推理” 的探究过程，体会数形结合思想和转化思想在几何中的应用。最后培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和合作交流意识，感受几何图形的严谨性和实用性。 教材分析 本节课是华师大版八年级上册数学第 12 章 “全等三角形” 第 2 节 “全等三角形的判定” 的第 5 课时，属于几何推理的核心内容。此前学生已学习了四种全等三角形的判定方法，且对直角三角形的性质有了初步认识。本节课的 “斜边、直角边”（HL）定理是直角三角形特有的全等判定方法，既是对全等三角形判定体系的补充，也是后续学习直角三角形性质、勾股定理、相似三角形等内容的重要基础。教材通过 “操作探究 — 归纳定理 — 例题应用 — 练习巩固” 的结构编排，注重让学生在动手实践中发现规律，符合八年级学生从具体到抽象的认知特点。 学情 分析 八年级学生已具备一定的几何直观和简单的逻辑推理能力，能够通过动手操作（如剪纸、拼图）探究几何图形的性质。但由于直角三角形的特殊性，学生可能会混淆 “HL” 定理与其他判定方法，容易忽略 “直角三角形” 这一前提条件。此外，学生在运用定理进行几何证明时，可能存在步骤不规范、逻辑不清晰的问题。同时，八年级学生好奇心强，喜欢动手实践，适合通过小组合作、探究实验等方式激发学习兴趣，突破思维难点。 核心素养目标 1.通过操作实验，抽象出直角三角形全等的 “斜边、直角边” 判定定理，理解定理的本质属性。​ 2.能运用 “HL” 定理证明两个直角三角形全等，培养严谨的推理能力和规范的表达能力。​ 3.将实际问题转化为直角三角形全等的几何模型，运用定理解决实际问题，体会数学与生活的联系。 教学重点 1.掌握 “斜边、直角边” 定理的内容及适用条件。​ 2.能运用 “HL” 定理判定两个直角三角形全等，并解决相关的证明和计算问题。 教学难点 1. 理解 “斜边、直角边” 定理的推导过程（如何通过 “SSS” 或其他判定方法验证 HL 定理）。 2.区分 “HL” 定理与其他全等判定方法，准确把握定理的适用范围（仅适用于直角三角形）。 教学 准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 二次备课 一、新课引入 师：同学们前面我们已经学习了4种全等三角形的判断方法，今天我们再来学习一个特别的判定方法《斜边直角边》。看到斜边直角边大家会想到什么？对直角三角形。 师：在学习之前我们先来回顾直角三角形的知识以及全等三角形的判定方法。 1、说一说直角三角形三条边的名称。（抽学生回答） 师：在直角三角形中，我们把与直角直接相邻的两条边叫直角边，与直角相对的边叫斜边。 2、请将判定定理填到相应图形下。（抽学生回答） 师：前面我们已经学习了四种三角形全等的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS这些方法对直角三角形同样适用。现在请同学在下列几组图形下面写出对应的判定方法。（抽学生回答） 现在我们减少一个条件，两个直角三角形只知道斜边和一组直角边相等，那么两个直角三角形他们全等吗？于是我们提出猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等 学生思考教师提出的问题，积极举手回答。 二、探究新知 探究斜边直角边判定三角形全等 师：和前面我们学习全等三角形判定一样，我们这节课也通过尺规作图的方法来进行探究。 做一做 ，已知线段a、b(b >a)，试作 Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b. 作法： (1)作线段BC，使BC=a； (2)作∠CBM=90°； (3)以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧， 交射线BM 于点A； (4)连结AC. 如图，△ABC即为所要求作的三角形. 师：把你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形进行比较，看看你们所作的直角三角形能重合吗？ 师：由以上操作，可以发现它们完全重合，所作的直角三角形都全等. 师：回顾我们刚才作Rt△ABC的过程我们所有同学作图的时候哪些边是相等的？（抽学生回答） 师:我们所有同学所作的Rt△ABC中斜边和一条直角边是相等的。 师：那根据刚才的探究过程你能总结出判定两个三角全等的方法吗？（抽学生回答） 师：从前面的探究过程我们得到了一个判定两个直角三角形全等的定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“HL”.（板书） 师：这个定理的证明我们以后再给出。 用用几何语言表达为： ∠B=∠B′=90° 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， 如图∠B=∠B′=90° 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 注意： 1.适用范围：HL（斜边、直角边）判定方法仅适用于直角三角形。使用前必须明确所涉及的三角形为直角三角形。 2.对应关系：必须确保两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，书写时通常先写斜边相等，再写直角边相等。 3.使用HL判定时，需在三角形符号前加上“Rt△”以表明是直角三角形。 【例1】如图，AC=BD，∠C= ∠D= 90°. 求证：BC=AD. 师分析：由于AD 和 BC分别属于△BAD 和△ABC，所以只需证明这两个三角形全等即可.题目中告诉了∠C= ∠D= 90°，说明△ABC和△BAD是直角三角形.还告诉了我们AC=BD，也就是这两个直角三角形有一组直角边相等。现在只需要斜边相等就可以根据HL证明Rt△ABC ≌Rt△BAD了。而这里的两个三角形的斜边AB和BA是公共边他们是相等的。 证明 ∵∠C=∠D=90°(已知)， 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA(公共边)， AC=BD(已知)， ∴Rt△ABC ≌Rt△BAD(HL). ∴BC=AD(全等三角形的对应边相等). 即学即练 ( D B ) ( A )已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，且AC=BD.求证：AB=CD. ( C ) 师引导学生分析：这里要证明AB=CD，那AB、CD分别属于哪两个三角形呢？ 生：△ABC和△DCB ， 师：所以只需证明这两个三角形全等即可.题目还告诉了我们AB⊥BC，DC⊥BC，由这两个条件你又能得到什么呢？ 生：∠ABC=∠DCB=90°,△ABC和△DCB是直角三角形。 师：题目已经告诉了我们斜边AC=BD,BC、CB又是公共边所以直角边BC=CB。由HL就可以判定Rt△ABC ≌ Rt△ABC。 师：下面就请同学们在导学案上完成这道题。（抽学生板演） 师：以上这两道题在证明直角三角形全等时，都用到了HL来判定。所以我们判定两个直角三角形全等除了之前我们学习的SAS、ASA、AAS、SSS外还有今天学习的HL。 学生按照教师的要求进行动手操作，认真画三角形、剪三角形，并尝试将两个三角形叠放，观察是否完全重合。 学生根据自己的操作结果，积极回答教师的问题。 学生认真倾听教师对例题的分析和讲解，思考教师提出的问题，理解证明思路和方法。对照教师书写的证明过程，学习规范的推理书写格式，明确每一步推理的依据。 三、变式练习 变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) 变式2：如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：BD = AC. 师：这里要证明BD = AC，可以转化为证明哪两个三角形全等。（抽学生回答） 方法一：证明△ADP≌△BCP（AAS） 方法二：连接AB，证明Rt△BAD≌Rt△ABC（HL）。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“HL”. 2.HL（斜边、直角边）判定方法仅适用于直角三角形。 3.使用HL判定时，需在三角形符号前加上“Rt△”以表明是直角三角形。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 板书 设计 12.2.5 斜边直角边 1.“HL”判定三角形全等 2.“HL”的应用 3.例题讲解 作业 设计 新课堂本课内容 教学反思 本节课以 “复习导入 — 探究新知 — 例题讲解 — 巩固练习 — 课堂小结” 为主线，围绕 HL 定理的 “探究 — 理解 — 应用” 展开教学，基本达成了预设的核心素养目标。在教学过程中，通过折叠实验让学生直观感受定理的生成过程，有效突破了 “定理推导” 这一难点；通过例题和分层练习，强化了学生对定理的应用能力，规范了几何证明步骤。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $