12.2.5 斜边直角边 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版·八年级上册 12.2 三角形全等的判定 12.2.5 斜边直角边 1 复习回顾 1.请将判定定理填到相应的图形下. 40° 92° 40° 92° 48° 43° 48° 43° 45° 45° SAS ASA AAS SSS 2.说一说直角三角形的三条边的名称. 90° 直角边 直角边 斜边 探究新知 猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图，已知线段a、b（b>a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b. 作法：（1）作线段BC，使BC=a； （2）作∠CBM=90°； C B M （3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； A （4）连结AC. △ABC 即为所要求作的三角形. A′ B′ C′ 比一比：把你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形进行比较，或剪下你作的直角三角形，放到其他同学作的直角三角形上，你有什么发现? A B C 叠合 Rt△ABC与Rt△A′B′C′重合，说明这两个直角三角形全等. 换两条线段，试试看，是否有同样的结论？ 于是可得： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. A′ B′ C′ A B C 简写成“斜边直角边”或“HL”. 几何语言 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵AC=A′C′ BC=B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 这是一个定理，以后会给出它的证明. 例8 如图，AC=BD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=AD. 证明：∵∠C = ∠D = 90°(已知)， ∴△ABC和△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义). 在Rt△ABC与 Rt△BAD中， ∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴BC=AD(全等三角形的对应边相等). 即学即练 已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，且AC=BD. 求证：AB=CD. 证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC(已知). ∴△ABC和△DCB都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∵AC=DB (已知)，BC=CB(公共边)， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). ∴AB=CD(全等三角形的对应边相等). A B C D 1. 一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为：一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形． 2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别： （1）一般三角形全等的条件“SSS”在直角三角形中被“HL”代替，无需找第三条边对应相等； （2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等． 证明: ∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠BED=∠CFD=90°(垂直的定义)， ∴△BED与△CFD都是直角三角形(直角三角形的定义)． ∵D为BC的中点，∴BD=CD． 在Rt△BED与Rt△CFD中， ∵BD=CD(已证)，DE=DF(已知)， ∴Rt△BED≌Rt△CFD (HL)． 练 习 1.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，DE=DF. 求证：Rt△BED≌Rt△CFD. 2.如图，AC=AD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=BD. 证明：∵∠C=∠D=90°(已知)， ∴△ACB和△ADB都是直角三角形 (直角三角形的定义). 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∵AB=AB(公共边)，AC=AD(已知)， ∴Rt△ACB≌ Rt△ADB (HL)． ∴BC=BD(全等三角形的对应边相等)． 3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，这两个滑梯的倾斜角∠CBA与∠EFD的大小有什么关系？说说你的想法和理由. 解：∠CBA+∠EFD=90°.理由： 在Rt△BAC和Rt△EDF中，∵BC=EF(已知)，AC=DF(已知)， ∴Rt△BAC≌ Rt△EDF (HL)． ∴∠CBA=∠FED(全等三角形的对应角相等)． ∵∠FED+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴∠CBA+∠EFD=90°(等量代换). 课堂小结 斜边直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写成“HL”） 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）. 内容 前提 在直角三角形中 用法 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $