第03讲 相似三角形的性质及其应用（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦相似三角形的性质及其应用核心知识点，系统梳理对应角相等、对应边成比例，重要线段及周长比等于相似比，面积比等于相似比平方等性质，延伸至射影定理，通过典例与变式题搭建从基础到综合应用的学习支架。 资料特色为题型分层设计，含线段计算、面积比、动点问题及实际应用等，如测量古塔高度题培养数学眼光，动点问题提升推理能力，课中助教师系统授课，课后供学生强化练习，弥补知识盲点。

第03讲 相似三角形的性质及其应用 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【题型1 利用相似三角形的性质求线段】 【典例1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，已知；，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图所示，，，，若，则 ． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点，，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知，相似比为，当的长度为时，求的长度是 ． 【题型2 利用相似三角形的性质求面积/面积比】 【典例2】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中， D在上，，，若，则的值为 ． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，D，E分别为，边的中点．若的面积为8，则的面积为 ． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知，若的面积为6，则的面积为（    ） A．3 B．24 C．12 D．36 【题型3 利用相似三角形的性质求周长周长比】 【典例3】（25-26九年级上·重庆·期中）已知 ，且 ，则 与 的周长比是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ． 【变式3】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）若，且，的周长为，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【题型4 相似三角形的判定与性质综合】 【典例4】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿沿折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若P为中点，且，，求长． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：； (2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，与的延长线交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【题型5 相似三角形--动点问题】 【典例5】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 【变式1】（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，且，两点同时出发，用表示移动的时间，当 时，与相似． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过 秒后，与相似． 【变式3】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【题型6 相似三角形的实际应用】 32．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量古塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，点在同一水平线上．请你求出古塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，小亮正在测量大楼的高度．他在距离大楼的点B处竖立一根长的标杆，并调整自己的位置站在点D处，此时他的眼睛C，标杆顶点A和大楼顶点M三点共线．已知点D，B，N在同一水平线上，，小亮的眼睛距离地面的高度．求大楼的高度． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·月考）【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践：利用相似三角形测量距离． 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【探索活动】淇淇和嘉嘉分别测量两个旗杆高度． 【活动1】如图2所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，已知淇淇的身高是，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是，求旗杆的高度． 【活动2】如图3所示，嘉嘉在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），他测得落在地面上的影长为，落在斜坡上的影长为，，求旗杆的高度？ 【深度思考】在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助他（她）们减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 知识点2 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：．AC·BC＝AB·CD．BC2＋AC2＝AB2．． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【题型7 射影定理的有关计算】 【典例7】（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知，若，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·模拟预测）如图，已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，于点D，添加下列条件后仍不能使成为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6.（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，与相交于点，且，，，则的长为（    ） A．16 B．24 C．2 D．36 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，D，E分别为边，上的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，点在上，，交于E，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果与的相似比为，那么与的相似比为 ． 10．（2025·贵州遵义·一模）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为 米． 11．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知；则与的周长之比为 ．    12．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，在中，若，，，则的长为 ． 13．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，是上一点，且，与的延长线交点．若的面积为1，则的面积是 ． 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，，点为的中点，点在上，且，则 ． 16．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，分别是边和上的点，且， (1)求证：； (2)求的值 17．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 18．（25-26九年级上·河南开封·期中）龙角塔（图1），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 相似三角形的性质及其应用 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【题型1 利用相似三角形的性质求线段】 【典例1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，已知；，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即，解得：． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图所示，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴AD=． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点，，若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形中求线段长，涉及平行四边形性质、相似三角形的性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的性质是解决问题的关键． 先由平行四边形性质得到，再由相似三角形性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解： 的对角线相交于点，， ， ， ， 则， ， 解得， 故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知，相似比为，当的长度为时，求的长度是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据相似三角形对应边成比例，列出式子，即可求解． 【详解】 解：∵，相似比为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：25． 【题型2 利用相似三角形的性质求面积/面积比】 【典例2】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中， D在上，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用．根据平行线的性质得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则和的相似比为， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，D，E分别为，边的中点．若的面积为8，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，利用相似三角形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再利用相似比的平方等于面积比求解． 【详解】解：∵在中，D，E分别为，边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D，E分别在边上，若，且相似比是，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且相似比是， ∴， ∴， ∵， ∴， 则四边形的面积是， 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知，若的面积为6，则的面积为（    ） A．3 B．24 C．12 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：B ． 【题型3 利用相似三角形的性质求周长周长比】 【典例3】（25-26九年级上·重庆·期中）已知 ，且 ，则 与 的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握“相似三角形的周长比等于其对应边的比”这一性质． 根据相似三角形的性质，直接利用已知的对应边比例，得出两个三角形的周长比． 【详解】解：∵， ∴与的周长比等于对应边的比． 又∵， ∴周长比为． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．先证，然后根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：，即 ， ， ． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解“相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比”是解题关键．根据面积比，可得相似比为，周长比也为，然后分为较小三角形的周长和为较大三角形的周长两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设相似比为，则面积比为， 解得（负值舍去），即周长比也为， 若为较小三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 若为较大三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 综上所述，另一个三角形的周长是或． 【变式3】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）若，且，的周长为，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比． 【详解】解：，，的周长为， 的周长 ：的周长=， 的周长为， 故选：D． 【题型4 相似三角形的判定与性质综合】 【典例4】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，平方根，解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图． （1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又由公共角，可证得； （2）先求出，，再根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， 即 ∴或（不符合题意，舍去）． 答：的长为． 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿沿折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若P为中点，且，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用折叠性质得到相等的角与边，结合相似三角形的判定定理证明相似，并利用相似性质计算线段长度． （1）利用矩形的直角性质与折叠的角相等性质，推导角的等量关系折叠，从而证明三角形相似； （2）先根据折叠与矩形性质设设，则，用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质计算，进而求出． 【详解】（1）证明：∵矩形中，， ∴ 由折叠知，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵P为中点，且， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ 解得． ∴，． ∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：； (2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由可得、，易证，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到，再证明可得，然后代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，与的延长线交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质与判定、垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由是的直径可得，推出∽，即可证明； （2）根据垂径定理可得垂直平分，推出，，利用勾股定理得出，设，在中利用勾股定理列出方程，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即， 又， ∴∽，， ， ∴； （2）解：如图，连接， 是的直径，， 平分， 垂直平分， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即， ． 【题型5 相似三角形--动点问题】 【典例5】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)10 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用勾股定理解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可； （3）根据当时，可得，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴． （2）解：由题意得，，， 因此， 与相似有两种情况， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得； 综上所述，当为或时，与相似； （3）解：当时，， 由（2）可知，． 所以当为时，． 【变式1】（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，且，两点同时出发，用表示移动的时间，当 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，根据题意可得，则，利用勾股定理求出的长，可分和两种情况，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或时，与相似． 故答案为：或． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过 秒后，与相似． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据与相似，分两种情况：（1）当与是对应边时，（2）当与是对应边时，进行计算即可． 【详解】解：设经过x秒后，与相似， 则，， ∵， ∴（1）当与是对应边时， ，即，解得； （2）当与是对应边时， ，即，解得． 故经过或1秒后，与相似． 故答案为：1或． 【变式3】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或时，与相似 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定； （1）由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长度； （2）当时，，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论，当时，利用建立方程求解；当时，利用建立方程求解. 【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米， ∴，厘米， ∴在中，厘米 （2）解：由题意得：， ∵厘米，厘米 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： （3）解：当时，， ∴ 解得： 当时，， ∴ 解得：. 综上所述：或时，与相似. 【题型6 相似三角形的实际应用】 32．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量古塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，点在同一水平线上．请你求出古塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】凌霄塔的高度为40米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键． 先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， 米，米，米， ， 米， 米， 米， ，， ， ， ， ， 米， 凌霄塔的高度为40米． 【变式1】（25-26九年级上·陕西铜川·期中）如图，小亮正在测量大楼的高度．他在距离大楼的点B处竖立一根长的标杆，并调整自己的位置站在点D处，此时他的眼睛C，标杆顶点A和大楼顶点M三点共线．已知点D，B，N在同一水平线上，，小亮的眼睛距离地面的高度．求大楼的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据可证，根据相似三角形的性质可知，从而求出的长度，根据求出大楼的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作于点G，交于点， 由题意可知，， 又， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·月考）【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点M在上，． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】（1）；（2）能，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，从实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； （2）过点M作交于点N，可证，得到比例式，求出即可解答． 【详解】解：（1）根据题意知， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴； （2）能，理由如下： 如图，过点M作交于点N， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴驾驶员能观察到物体． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践：利用相似三角形测量距离． 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【探索活动】淇淇和嘉嘉分别测量两个旗杆高度． 【活动1】如图2所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，已知淇淇的身高是，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是，求旗杆的高度． 【活动2】如图3所示，嘉嘉在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），他测得落在地面上的影长为，落在斜坡上的影长为，，求旗杆的高度？ 【深度思考】在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助他（她）们减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 【答案】活动1：的长为；活动2：旗杆的高度约为；深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一） 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 活动1：根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． 活动2：延长交的延长线于点F，过点D作于点E，根据勾股定理求出的长，再由同一时刻物高与影长关系得出的长，进而求得的长，仍由同一时刻物高与影长关系即可得出的长． 深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一）． 【详解】解：活动1：由题意可知：；， ∵， ， ， ∴， ∴即， ∴， 答：的长为． 活动2：延长交的延长线于点F，过点D作于点E， ∵， ， ， ， ∴， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴即， ∴， 答：旗杆的高度约为． 深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一）． 知识点2 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【题型7 射影定理的有关计算】 【典例7】（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，明确相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．设，证明，根据性质得出 ，进而求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， 设． ∵四边形 是矩形，中，高， ∴， ∴， ∴ ． ∵， ∴ ， 解得． ∴， 则四边形的面积． 答：四边形 的面积为． 【变式1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）在这两个三角形中有一对已知角和一对公共角即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质； （1）根据，，即可证出结论； （2）根据相似三角形性质得到代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 【答案】 【分析】本题考相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，设，，根据相似三角形的高的比等于相似比求出，再表示出矩形的面积，最后根据二次函数求最大值即可． 【详解】解：交于， 设，， ∵矩形， ∴， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，此时． 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等．利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知，若，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 相似比为 ， ∴ 与 的周长比为 ， 故选：A． 3．（2025·云南·模拟预测）如图，已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是知道相似比与面积比的关系． 直接利用相似比的平方等于面积比求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D ． 4．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，于点D，添加下列条件后仍不能使成为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形定义和判定，勾股定理的逆定理、相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 此题根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理、相似三角形的判定方法判断即可． 【详解】A．∵，∴，又∵所以，即，故为直角三角形，故A不符合题意， B． 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B不符合题意， C． 因为，∴，所以，即为直角三角形，故C不符合题意． D． ，因为，所以，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D符合题意． 故选：D 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，得到，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选：C ． 6.（24-25九年级上·广西崇左·期中）如图，与相交于点，且，，，则的长为（    ） A．16 B．24 C．2 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据可证，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，D，E分别为边，上的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用已知条件证明，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：C 8．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，在中，点在上，，交于E，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形对应边之比等于相似比、相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键． 由得，，即可证明，B选项正确；根据，就可以证明，A选项正确；再证明，C选项正确；由，可得，易判断D选项错误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，B选项正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即A选项正确； ∵， ∴，， ∴，C选项正确； ∵，， ∴，D选项错误． 故选：D． 9．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如果与的相似比为，那么与的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似比的定义，相似比是指相似三角形对应边的比.与的相似比和与的相似比是互为倒数. 【详解】解：与的相似比和与的相似比是互为倒数 ∵与的相似比为 ∴与的相似比为 故答案为：. 10．（2025·贵州遵义·一模）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为 米． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出同位角相等，证明三角形相似，利用相似三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：， ， ， 解得，， ． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知；则与的周长之比为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴和的相似比是， ∴和的周长之比为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·北京东城·期中）如图，在中，若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 先证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为12． 13．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，是上一点，且，与的延长线交点．若的面积为1，则的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方． 结合平行四边形的性质可证明，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，的面积为1， ∴，， ∴， ∴的面积是． 故答案为：24 15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，，点为的中点，点在上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题思路是通过角度关系证明，再利用相似性质计算；考查的知识点是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，用到的思想是转化思想，方法是相似三角形判定与性质应用，技巧是通过角度转化找相似三角形，解题关键是证明三角形相似，易错点是相似三角形对应边识别错误． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为． 16．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，分别是边和上的点，且， (1)求证：； (2)求的值 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查相似三角形的证明及性质，能够证得三角形相似是解题关键； （1）根据即可证得三角形相似； （2）根据相似三角形的性质得到，通过变形进而可求解． 【详解】（1）证明， ， （2）解：， ． 17．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴∽． （2）解：∵，，， ∴． ∵∽， ∴，即， ∴． 18．（25-26九年级上·河南开封·期中）龙角塔（图1），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度． 【答案】龙角塔的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质得到是解题的关键．先证明得出，再代入数据求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∵ ∴． 答：龙角塔的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $