27.2.3 相似三角形应用举例 教学设计-2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形应用，通过问题导入（测量树高河宽）、悬念导入（金字塔测量）及复习导入（相似判定），衔接已学的相似概念与判定，搭建解决实际问题的学习支架。 此资料亮点在于强化数学建模，引导学生将实际问题抽象为相似三角形模型，结合自主学习（研读例题）、小组讨论（习题探究）及课前实际操作，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识）。例题融入《周髀算经》“矩”的应用，渗透文化，提升学生应用意识，助力教师高效突破构造相似模型的重难点。

27.2.3 相似三角形应用举例 教学设计 教学目标 课程标准 课标原句 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 课标分析 能够运用相似三角形的知识测量一些不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题﹑测量河宽问题),解决生活中的实际问题. 教材分析 本节课主要探索的是应用相似三角形去解决一些简单的实际问题(不能直接测量的物体长度和高度及盲区问题),学生已经学过了相似三角形的概念﹑判定和性质,在此基础上通过本节课的学习将对前面所学知识进行全面应用. 学情分析 学生已经学习了如何判定两个三角形相似及相似三角形的性质,并会解决一些较难的问题，此时安排活动课,发散学生的思维,体会数学来源于生活且应用于生活,有利于学生对知识的把握. 素养目标 1.通过进一步巩固相似三角形的知识,能够运用相似三角形的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题)等问题. 2.通过阅读课本引导学生把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养学生分析问题﹑解决问题的能力. 教学重难点 教学重点 构建相似三角形解决实际问题. 教学难点 通过添加辅助线构造相似三角形的数学模型,以实现将实际问题转化为数学问题来解决.难点成因及对策;学生推理的能力和解决问题的能力不足;在课前让学生预习课本,同时利用周末的时间自己先动手进行实际的操作,课上利用学生的操作进行讲解,从而突破难点. 教学活动 教学流程 新课导入激发兴趣 教学活动 设计意图 【新知导入】 问题导入;向学生展示世界上最高的树﹑最宽的河,让学生思考如何测量其高度和宽度. 悬念导入:向学生展示胡夫金字塔的情况﹐并说明古代数学家泰勒斯测量出了其高度,让学生猜测测量方法. 复习导入:提问相似三角形的概念及判定方法. 以问题导入不仅可以激发学生的兴趣﹐还可以让学生了解自然知识. 以悬念导入引起学生的思考﹐激发学生的好奇心. 以提问的形式进行知识的回顾﹐加深学生对所学知识的认识﹐并做到新旧知识的联系． 进行新课 教学活动 设计意图 自主学习引导探究 1.阅读课本39—41页﹐思考并完成以下问题: (1)①研读例4: 思考:图中AB与DE有什么位置关系?(平行) △BOA与△EFD有什么关系? (相似) 怎样求出BO的高度? (利用相似三角形对应边成比例) 写出你的解答过程. (∵△BOA∽△EFO,∴OB:OA=EF:FD,∴BO= ②研读例5: 思考:图中哪两个三角形相似? (△PQR和△PST) 这两个相似三角形的相似比是多少? (2/3) 如何求出河宽PQ?(PQ=) 你还有其他方法测量吗? (测量方法不唯一,提示:测量不能直接到达的两点间的距离时﹐常构造“A”型图和“X”型图两种) 学生阅读课本,通过对设置的问题进行探究,自主参与到获得知识的过程中,形成探索未知世界的积极态度﹐培养创新意识和创新精神﹐提高实践能力﹑科学素质和自主学习探究能力﹐促进学生个性自主全面发展. 小组讨论 小组合作完成课本43页习题10题. 小组讨论思维碰撞,激发学生的积极性. 小组展示 教师倾听学生的回答并适时给出点拨. 由学生上台展示小组讨论的结果﹐提高学生的兴趣与能力﹐充分展现以学生为主体. 教学活动 要点知识重点讲解 知识点:利用相似三角形进行测量(重难点)①测量高度. 测量不能直接到达顶部的物体的高度时,通常用“在同一时刻物高和影长成正比”的原理解决.测量旗杆的高度的几种方法: ②测量距离. 测量不能直接到达的两点间的距离时,常构造如下两种相似三角形求解. 1.如图甲所示,通常可先测量DC,BD,CE的长度,再根据相似三角形的性质,计算AB的长.2.如图乙所示,可先测量AC,DC 及DE的长度﹐再根据相似三角形的性质,计算AB的长. 要点说明: 1.比例尺:表示图上距离比实际距离缩小或扩大的程度﹐比例尺=图上距离÷实际距离. 2.太阳离我们非常遥远,因此可以把太阳光线近似看成平行光线.在同一时刻,两物体影长之比等于其对应高的比. 3.视点:观察事物的着眼点(一般指观察者眼睛的位置). 4.仰(俯)角:观察者向上(下)看时,视线与水平方向的夹角. 典型例题精做精讲 【题型】相似三角形的性质在实际中的应用 例1:如图①,“矩”在古代指两条边成直角的曲尺,它的两边长分别为a,b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能,如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图②,使“矩”的边AF与地面BD平行,从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C,使视线通过“矩”的另一端E,测得AB=1.5 m,BD=6.2 m.若“矩”的边EF=a=30 cm,边AF=b=60 cm,则树高CD为( ) A.3.1m B.4.6m C.5.3m D.4.2m 【答案】B 例2:如图,楼AB的层数为5层,在楼顶A处观望另一幢楼CD 的底部D,视线正好经过小树的顶端E,又从楼AB的底部B处观望楼CD 的顶部C,视线也正好经过小树的顶端E(观望者的身高忽略不计),楼CD的层数为9层.已知这两幢楼每层楼的高度均为2.8米,B,F,D位于同一水平直线上,且 AB,EF,CD均与BD垂直,求小树的高度EF. 【答案】解:由题意得AB=2.8×5=14(米),CD=2.8×9=25.2(米). ∵AB,CD均与BD垂直，∴AB// CD， ∴△ABE∽△DCE,∴AE：DE=AB:DC=,∴DE:DA=, ∵AB,EF均与BD垂直,∴EF//AB,∴△DEF∽△DAB， ∴EF:AB=DE:DA=.∴EF=9米. 答:小树的高度EF为9米． 课堂小结 同学们,今天我们学习了相似三角形的实际应用,数学的学习不仅仅是学习知识,更是学习思考的方法，让我们在未来的学习道路上越走越远,就像孩子小的时候扶着家长的手蹒跚﹐直到慢慢会走﹐会跑……希望同学们现在能扶着教师的手慢慢掌握学习的方法,不断奔向成功的彼岸! 1 学科网（北京）股份有限公司 $