精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期11月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线C：，则抛物线C准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线C的方程化为标准方程为，可得，即可得出准线方程． 【详解】抛物线C的方程为，化为标准方程为， 即，， 则其准线方程为 故选：A. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出复数，即得其虚部. 【详解】因， 故复数的虚部为. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由换元法求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，所以，即， 则 故选：D． 4. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 5. 已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 6. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的半径得边长，从而得三角形面积，确定三棱锥体积最大时点位置，得三棱锥的高，从而求得球半径得球体积． 【详解】如图，所在圆即为的外接圆. 设圆的半径为，则，解得. 因为为等边三角形，所以. 由正弦定理可得，解得. 所以. 如图，当三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为，此时平面，三棱锥的高最大，且有，解得. 设球的半径为，在Rt中，，解得. 所以球的体积. 故选：B. 7. 已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由直线与双曲线的交点和与直线的交点重合求解. 【详解】设，直线的方程为， 与双曲线方程 联立解得， 又因为， 所以直线方程为， 与联立解得， 所以，即， 所以， 故选：D 8. 已知点P在直线l：上，过点P的两条直线与圆O：分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，进而可得直线的方程，再根据点到直线的距离公式，结合在直线l：上，可得圆心到直线的距离关于的表达式，进而根据函数的最值求解即可. 【详解】设点，圆O：，其圆心， 由题意知：是圆的切线，则， 则点在以为直径的圆上，又由，， 则以为直径的圆的方程为：，即， 与圆O：联立可得：，即直线的方程为. 又因为点在直线l：上，故， 所以圆心到直线的距离， 所以当时，取最大值， 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的周期可判断A；求出的单调增区间可判断B；求出函数的图象的对称轴方程可判断C；根据图象平移规律可判断D． 【详解】对于A，函数的周期为，故A正确； 对于B，由，得， 所以的单调增区间为，故B错误； 对于C，令，则， 所以函数的图象的对称轴方程，故C正确； 对于D，函数向右平移个单位长度得到 ，故D错误． 故选：AC． 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】设，，将ABD中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得的取值范围，由此确定C的正误. 【详解】由得：，可设，； 对于A，， 当时，，A正确； 对于B，， 当时，；B正确； 对于C，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：， ，，C错误； 对于D，， 当时，，D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题考查与圆上的点的坐标有关的最值问题的求解，解题关键是能够利用换元法，结合三角恒等变换的公式将问题转化为三角函数值域的求解. 11. 已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，直线交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（ ） A. B. 过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条 C. 的最小值为 D. 若的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和的位置关系可判断C，最后根据焦点三角形的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为可求其半径. 【详解】如下图所示： 由双曲线方程和圆方程可知，， 所以左焦点为，右焦点； 对于A，由于在双曲线左支上，根据焦半径公式可知，故A正确； 对于B，由过点的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在， 设直线斜率为，则直线的方程为， 联立直线和双曲线的方程得： ； ①当时，即，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根， 所以直线和双曲线仅有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行， 即此时有两条直线与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意； ②当时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知， 该方程仅有一个实数根，所以， 整理得，即， 此时直线为双曲线的切线，分别为，所以过点可作两条切线； 综上可知，过点可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B错误； 对于C，由双曲线定义可知，， ，当且仅当三点共线时等号成立； ，当且仅当三点共线时等号成立； 所以， ，即C正确； 对于D，如图所示，分别设的内切圆与三边切点为， 又因为， 所以， 又因为在轴上，，，不妨设, 由，得，即； 所以即为双曲线的左端点，又因为， 所以圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为， 设，则圆的半径为，由于圆与圆外切， 所以，，解得；所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据截距是否为零分类求解. 【详解】当在轴上的截距为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以； 当在轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以； 所以直线方程为 【点睛】本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题. 13. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，分解向量，然后由数量积的运算律、向量夹角公式即可求解. 【详解】设， 棱长为1，则． 因为底面边长和侧棱长都相等，且， 所以，所以， ，． 设异面直线的夹角为， 所以． 故答案为：. 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 【答案】 【解析】 【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中， 化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, ∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，① 在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②， 在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③， ， 由柯西不等式得（1+）（）≥（）2 故答案为 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝1或；（2）是，-5. 【解析】 【分析】（1）由题意可得直线的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式可得求出的值，从而可求出切线方程， （2）设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），将直线方程与圆方程联立方程组消去y，解方程可求出点的坐标，再将两直线方程联立可求出点的坐标，从而可表示出 ，化简可得结论 【详解】解：（1）1°当直线l的斜率不存在时， l的方程为x＝0，与圆C不相切； 2°当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，即， ∴，解得或， ∴直线l的方程为y＝1或； （2）由题意可知直线l的斜率存在， 设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0）， 由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0， ∴， ∴，∴， 由得，， ∴，∴， ∴， ∴为定值． 17. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. （1）求方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意建立的方程组，求出进而即得； （2）设，与双曲线方程联立得，，结合求得的值，进而即得直线方程. 【小问1详解】 由题，可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题，直线的斜率一定存在，设，，， 联立，消去，整理得， 则，即且， ，， 若以为直径的圆过坐标原点，则， ， 整理得， ，解得，满足题意， 所以直线的方程为或. 18. 如图，四面体中，，E为AC的中点． （1）证明：平面平面ACD； （2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积. 【小问1详解】 由于，是的中点，所以. 由于，所以， 所以，故， 由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. 【小问2详解】 [方法一]：判别几何关系 依题意，，三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以. ，所以， 由于，平面，所以平面. 由于，所以， 由于，所以， 所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小 过作，垂足为， 在中，，解得， 所以， 所以 过作，垂足为，则，所以平面，且， 所以， 所以. [方法二]：等体积转换 ，， 是边长为2的等边三角形， 连接 19. 已知，分别为椭圆（）左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质以及直角三角形可得，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为0即可求解， （3）根据韦达定理以及向量垂直坐标关系，可得直线经过定点，即可利用等面积法求解. 【小问1详解】 设短轴的端点为，左右焦点为， 由于是直角三角形，所以，结合， 解得，故， 【小问2详解】 由可得椭圆方程为， 与直线联立可得， 由于直线恰好与椭圆相切，故，解得， 所以椭圆方程为 【小问3详解】 由于在椭圆上，设, 由可得， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程中，消去可得， 则， 由可得 即， 化简得， 由于不在直线上，所以，故，， 故直线的方程为，故过定点， 当直线的斜率不存在时，可得， 代入可得， 结合可得或（舍去）， 此时直线也经过， 综上可得直线恒经过. 因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长， 又直线恒经过，所以, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期11月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3 已知，则（ ） A B. C. D. 4. 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P在直线l：上，过点P的两条直线与圆O：分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，直线交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（ ） A. B. 过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条 C. 的最小值为 D. 若的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程为________. 13. 如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 已知圆C：（x﹣3）2+y2＝1与直线m：3x﹣y+6＝0，动直线l过定点A（0，1）． （1）若直线l与圆C相切，求直线l方程； （2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线l与直线m相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 18. 如图，四面体中，，E为AC的中点． （1）证明：平面平面ACD； （2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 19. 已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. （1）求椭圆的离心率； （2）若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $