第5章 对函数的再探索（复习课件）数学青岛版九年级下册

单元复习课件 第五章 对函数的再探索 青岛版·九年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解函数的核心概念（变量间的单值对应关系），明确常量与变量的区别，能准确判断给定情境中的函数关系，区分函数的三种表示方法（解析式、列表、图象）并说明其特点，为后续探索函数性质奠定基础。 3.透彻理解函数与实际场景（如利润最值、行程规划、几何图形面积）的联系，能从复杂情境中抽象出函数模型，运用函数性质解决决策类问题；体会“数形结合”“模型构建”的数学思想，提升分析问题、知识迁移及综合应用的能力 2. 精准掌握函数的图象变换规律（平移、对称），能依据变换规则画出函数图象；熟练分析函数的定义域、值域、增减性、最值等性质，掌握列函数模型解决实际问题的一般步骤（审、设、列、析、验、答），能从实际问题中提取变量关系并求解. 单元学习目标 对函数的再探索 函数与它的表示法 k>0 时，图象在第一、三象限，每个象限内， y 随 x 的增大而减小 图象：双曲线 性质： 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法 自变量的取值范围：分母≠0；被开方数≥0；实际问题有意义 k<0 时，图象在第二、四象限，每个象限内， y 随 x 的增大而增大 反比例函数 函数的概念 实际问题与分段函数 表达式的三种形式： ， ， xy=k 单元知识图谱 最值： a>0 时有最小值， a<0 时有最大值 顶点坐标： 一般式： y = ax²+ bx + c (a≠0) 顶点式： y = a(x - h)² + k(a≠0) 交点式： y = a(x - x₁)(x - x₂) 表达式： 图象：抛物线 开口方向： a>0 时开口向上， a<0 时开口向下 二次函数 性质： 与一元二次方程的关系： 增减性 对函数的再探索 b²－4ac>0 ⇨ 与 x 轴有2个交点 b²－ 4ac=0 ⇨ 与 x 轴有1个交点 b²－ 4ac<0 ⇨ 与 x 轴无交点 二次函数的应用 对称轴：直线 单元知识图谱 考点一、函数的相关概念 1．函数的表示方法∶__________、__________、___________． 2．函数的概念∶一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的________，其中 x 是_________， y 是_________. 解析法 列表法 图像法 函数 自变量 因变量 考点串讲 考点一、函数的相关概念 3．函数自变量可以取值的范围一般从四个方面考虑： (1) 当函数表达式是整式时，自变量可取__________； (2) 当函数表达式是分式时，____________________； (3) 当函数表达式是二次根式时，________________； (4) 对于实际问题，自变量的取值要保证问题有意义. 4．如果一个函数的表达式是分段给出的，那么我们把他叫做___________. 全体实数 分式的分母不能为0 被开方数为非负数 分段函数 考点串讲 1．一般地，形如 （ k 是常数， k≠0 ）的函数叫做反比例函数。 自变量 x 的取值范围是________________。 (1) 反比例函数的表达式也可写成 ________ （ k 是常数， k≠0 ）的形式， x 的指数为-1； (2) 反比例函数的表达式也可以写成 _______（ k 是常数，k≠0）的形式。 考点二、反比例函数的概念 一切非零实数 y = kx⁻¹ xy = k 考点串讲 1．反比例函数的图象是________，反比例函数的图象都有两个分支，它们分别在_______象限或分别在________象限内；这两个分支关于______成中心对称，因此画图象时，可以先画一个分支，再通过中心对称关系画出另一个分支。 注意∶双曲线随着自变量绝对值的增大不断接近于 x 轴，随着自变量绝对值的减小而不断接近于 y 轴，但永远不会与_________相交。 2．画反比例函数图像的一般方法为：_________、_________、__________. 考点三、反比例函数的图象及其画法 双曲线 一、三 二、四 原点 坐标轴 列表 描点 连线 考点串讲 反比例函数 k 为常数， k ≠ 0 ）的图象是双曲线， 当 k > 0 时，双曲线的两个分支分别在______________内，在每个象限内， y 随 x 的____________； 当 k < 0 时，双曲线的两个分支分别在______________内，在每个象限内， y 随 x 的____________. 考点四、反比例函数的图象与性质 第一、三象限 增大而减小 第二、四象限 增大而增大 考点串讲 1．一般地,形如 _______________( a,b,c 是常数且 a ≠ 0 )的函数,称为二次函数,其中 x 是自变量, y 是 x 的_______. 2．二次函数满足的条件:①含有自变量的代数式是________; ②自变量的最高次数是_____; ③____________不等于0. 3．二次函数的一般形式: ________________(a ≠ 0) . 考点五、二次函数的概念 y = ax² + bx + c 函数 整式 2 二次项系数 y = ax² + bx + c 考点串讲 注意： 二次函数 y = ax²+ bx + c ( a,b,c 是常数且 a ≠ 0 )的结构特征:等号右边是关于自变量 x 的二次多项式,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.所以二次函数 y = ax² + bx + c(a ≠ 0) 有以下几种特殊的表示形式: ①当 b = 0 时, y = ax²+ c ; ②当 c = 0 时, y = ax²+ bx ; ③当 b = c = 0 时, y = ax² ,这是最简单形式的二次函数. 考点五、二次函数的概念 考点串讲 列二次函数表达式的一般步骤: (1)审清题意,找出实际问题中的已知量、未知量,将文字语言、图形语言转化为数学符号语言; (2)找出等量关系,找到已知量和未知量间的关系,并用等式表示; (3)列函数表达式,设出表示变量的字母,把等量关系用含字母的代数式表示出来,并将表达式写成用自变量表示因变量的形式. 考点六、列二次函数表达式 考点串讲 考点七、二次函数 y = x²与 y = -x²的图象及性质 1．二次函数 y = x²与 y = -x²的图象都是关于_______对称的抛物线，对称轴与抛物线的交点是抛物线的_______. 2．二次函数图象的画法包括_______、________、________三个步骤. y 轴 顶点 列表 描点 连线 函数 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 y＝x² y＝-x² 向上 向下 （0，0） （0，0） y轴 y轴 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > 0 时， y 随 x 的增大而减小 考点串讲 考点八、二次函数 y = ax²(a ≠ 0) 的图象及性质 函数 a的符号 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y＝ax² a＞0 a＜0 向上 向下 （0，0） y轴 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > 0 时， y 随 x 的增大而减小 当 x = 0 时， 当 x = 0 时， 考点串讲 考点九、二次函数 y = ax²+k(a≠0) 的图象及性质 函数 a的符号 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y＝ax²+k a＞0 a＜0 向上 向下 （0，k） y轴 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > 0 时， y 随 x 的增大而减小 当 x = 0 时， y 有最小值 k 当 x = 0 时， y 有最大值 k 考点串讲 考点十、二次函数 y = a(x - h)²(a ≠ 0) 图象与性质 函数 a的符号 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y＝a(x-h)² a＞0 a＜0 向上 向下 （h，0） 直线 x＝h 若 x < h ，则 y 随 x 的增大而减小；若 x > h ，则 y 随 x 的增大而增大 若 x < h ，则 y 随 x 的增大而增大；若 x > h ，则 y 随 x 的增大而减小 当 x = h 时， y 有最小值 0 当 x = h 时， y 有最大值 0 考点串讲 考点十一、二次函数 y=a(x-h)²+ k(a≠0) 图象与性质 函数 a的符号 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y＝a(x-h)²+k a＞0 a＜0 向上 向下 （h，k） 直线 x = h 若 x < h ，则 y 随 x 的增大而减小；若 x > h ，则 y 随 x 的增大而增大 若 x < h ，则 y 随 x 的增大而增大；若 x > h ，则 y 随 x 的增大而减小 当 x = h 时， y 有最小值 k 当 x = h 时， y 有最大值 k 考点串讲 考点十二、二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0) 的图象及性质 二次函数 y = ax²+ bx + c(a ≠ 0) 图象的作法： ①描点法：先用配方法将 y = ax²+ bx + c(a ≠ 0) 化为 y = a(x - h)² + k 的形式，再确定抛物线的顶点、开口方向、对称轴，最后在对称轴的两侧，以顶点为中心，左右对称取值，再描点画图。 ②平移法：先用配方法将 y = ax²+ bx + c(a ≠ 0) 化为 y = a(x - h)² + k 的形式，确定其顶点(h, k)，再作 y = ax²的图象，并进行平移。 考点串讲 考点十二、二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0) 的图象及性质 函数 a的符号 图像 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 最值 y = ax²+ bx + c a＞0 a＜0 向上 向下 直线 在对称轴 的左侧（即 x < 时）， y 随 x 的增大而减小；在对称轴 的右侧（即 x > 时）， y 随 x 的增大而增大 在对称轴 的左侧(即 x < 时)， y 随 x 的增大而增大；在对称轴 的右侧(即 x > 时)， y 随 x 的增大而减小 当 时， y 有最小值 当 时， y 有最大值 考点串讲 考点十三、用待定系数法求二次函数的表达式 待定系数法的一般步骤： 条件 所设表达式 具体做法 已知一个顶点坐标和另一点的坐标 y = a(x - h)²+ k 已知三个点的坐标(没有顶点坐标) y = ax²+ bx + c 根据顶点确定 h,k 的值,把另一点的坐标代入函数表达式,求出 a 的值,最后写出函数表达式 把三个点的坐标代入函数表达式,组成方程组求出 a,b,c 的值,最后写出函数表达式 考点串讲 考点十四、二次函数 y = ax² + bx + c 与一元二次方程 ax²+ bx + c = 0 的关系 横坐标 b²- 4ac > 0 b²- 4ac = 0 因为 x 轴上的点的纵坐标都为0，所以要求抛物线 y = ax² + bx + c(a ≠ 0) 与 x 轴交点的坐标，只需令 y = 0 ，即 ax² + bx + c = 0 ，该一元二次方程的解即为交点的__________. 二次函数 y = ax²+ bx + c(a ≠ 0) 的图象与 x 轴的交点有三种情况： (1) 当_________时，方程 ax²+ bx + c = 0 有两个不相等的实数根，抛物线 y = ax²+ bx + c 与 x 轴有两个交点(x₁, 0)，(x₂, 0)； (2) 当 ________ 时，方程 ax²+ bx + c = 0 有两个相等的实数根 x₁= x₂= ，抛物线 y = ax²+ bx + c 与 x 轴有一个交点，即 考点串讲 考点十四、二次函数 y = ax² + bx + c 与一元二次方程 ax²+ bx + c = 0 的关系 (3) 当 __________时，方程 ax² + bx + c = 0 没有实数根，抛物线 y = ax²+ bx + c 与 x 轴没有交点。 b²- 4ac＜0 考点串讲 考点十五、二次函数的应用 1．利用二次函数解决最大面积问题 二次函数 y = ax² + bx + c(a eq 0) ，当 a < 0 时，函数值 y 有最大值，最大值为 \frac{4ac - b^2}{4a} ，此时 x = -\frac{b}{2a} 。因此，我们可以利用二次函数的这个性质解决“最大面积”问题，以及类似的“最大利润”问题、“最高产量”问题、“最大长度”问题等。解决此类问题，首先要分析几何图形，求得两个变量（其中一个变量为图形的面积）之间的二次函数表达式，然后利用二次函数的性质求最大面积。 考点串讲 考点十五、二次函数的应用 2．利用二次函数解决最大利润问题 利用二次函数解决最值类应用题的方法：设法把关于实际问题的最值问题转化为二次函数的最值问题，然后按照二次函数的最值的求解方法进行求解。其具体步骤如下： ①利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出表达式； ②把关系式转化为二次函数表达式； ③求二次函数的最大值或最小值。 考点串讲 题型一、函数自变量的取值范围 例1：函数 中，自变量 x 的取值范围是(　　) A． x ≠ 1 B． x > 0 C． x ≥ 1 D． x > 1 D 解析：由题意得， x - 1 ≥ 0 且 x - 1 ≠ 0 ，解得 x > 1 . 题型剖析 含分式的函数，自变量可以取值的范围应满足的条件是分母不为0；含根式的函数，自变量可以取值的范围应满足的条件是被开方数为非负数；既含分式又含根式的函数，自变量可以取值的范围应满足的条件是分母不为0且被开方数为非负数. 题型一、函数自变量的取值范围 题型剖析 变式：下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x≥3 的是( ) A. B. y = C. y = x - 3 D. D 题型一、函数自变量的取值范围 解析：选项A： 是分式，需满足分母 x-3≠ 0 ，即 x ≠ 3 。 选项B： 含分式和二次根式，需满足被开方数 x - 3 ≥ 0 且分母 ，即 x - 3 > 0 ，得 x > 3 。 选项C： y = x - 3 是整式，自变量 x 可取全体实数。 选项D： 是二次根式，需满足被开方数 x - 3 ≥ 0 ，即 x ≥ 3 。故选D. 题型剖析 例2：《龟兔赛跑》这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行，最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是( ) B 题型二、分段函数 解析：因为兔子在途中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变. 因为兔子开始领先，所以D选项错误. 因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C均错误.故答案为：B. 题型剖析 解决分段函数图象的问题，要抓住其不同变化阶段的特征，对函数图象变化趋势作出正确的判断，有时也需要研究不同变化过程中的数量之间的关系. 题型二、分段函数 题型剖析 变式：某商场对顾客实行优惠，规定：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；若一次购物超过500元，其中500元按上述九折优惠，超过500元部分给予八折优惠. 某人两次购物分别付款198元和423元，如果两次购买的商品合在一起购买，他可节约( )元钱. A. 19 B. 36.6 C. 19或36.6 D. 602或584.4 C 题型二、分段函数 题型剖析 解析：付款198元的商品若按规定“每一次购物不超过200元，则不予折扣”付款，则商品的标价为198元，付款198元的商品若按规定“若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠”付款，则标价为 198÷0.9 = 220 （元）. 付款423元的商品没有超过500元，不超过500元，只能按规定“若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予九折优惠”付款，故该商品的标价为 423÷0.9 = 470 （元）. 题型二、分段函数 题型剖析 所以某人两次购物分别付款198元和423元的商品的总标价为 198 + 470 = 668 （元）或 220 + 470 = 690 （元），当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定“若一次购物超过500元，其中500元按九折优惠，超过500元部分给予八折优惠”进行付款. 总标价为668元应实际付款数 = 500×0.9 + (668 - 500)×0.8 = 584.4 （元），则他可节约 (198 + 423) - 584.4 = 36.6 （元）；总标价为690元应实际付款数 = 500×0.9 + (690 - 500)×0.8 = 602 （元），则他可节约 (198 + 423) - 602 = 19 （元）. 故选C. 题型二、分段函数 题型剖析 例3：对于反比例函数 ，下列说法不正确的是( ) A. 图象分布在第二、四象限 B. 当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大 C. 图象经过点 (1, -2) D. 若点 A(x₁, y₁) ， B(x₂, y₂) 都在图象上，且 x₁ < x₂，则 y₁ < y₂ 题型三、反比例函数的图象与性质 D 题型剖析 题型三、反比例函数的图象与性质 解析：A. k = -2 < 0 ，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； B. k = -2 < 0 ，当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大，故本选项正确； C. ∵ ，∴点 (1, -2) 在它的图象上，故本选项正确； D. 点 A(x₁, y₁) 、 B(x₂, y₂) 都在反比例函数 的图象上，若 x₁<0<x₂ ，则 y₁ > y₂，故本选项错误. 故答案为：D ． 题型剖析 解题的关键是理解反比例函数的性质. 对于反比例函数 （ k为常数，k≠0 ），①当 k > 0 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 值的增大而减小；②当 k < 0 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 值的增大而增大；③图象上任意一点的横、纵坐标之积都等于 k . 题型三、反比例函数的图象与性质 题型剖析 变式： 若点 (-2, y₁) ， (-1, y₂) ， (3, y₃) 在双曲线 (k < 0) 上，则 y₁, y₂, y₃ 的大小关系是( ) A. y₁< y₂ < y₃ B. y₃ < y₂ < y₁ C. y₂ < y₁ < y₃ D. y₃ < y₁ < y₂ 题型三、反比例函数的图象与性质 D 解析： ∵ 点 (-2, y₁) ， (-1, y₂) ， (3, y₃) 在双曲线 (k < 0) 上， ∴ (-2, y₁) ， (-1, y₂) 分布在第二象限， (3, y₃) 在第四象限，每个象限内， y 随 x 的增大而增大， ∴ y₃ < y₁ < y₂ .故答案为：D. 题型剖析 题型四、反比例函数的几何意义 例4：如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数 (x < 0) 的图象经过顶点 C ，则 k 的值为______。 -6 解析： ∵ 菱形的两条对角线的长分别是6和4， ∴ 菱形的面积为 ×4×6 = 12 ，所以每个小三角形的面积为3。 ∵ 反比例函数在第二象限， ∴ k = -6 。 题型剖析 1.明确定义步骤——反比例函数几何意义遵循“识、用、算”。识图象辨 k ，用性质（过点作垂线），算图形面积（矩形为|k|、三角形为 ）。 2.掌握核心思路——先识别反比例函数 ，再过图象上点作坐标轴垂线，后利用 k 与图形面积的关系，最后计算矩形/三角形面积。 题型四、反比例函数的几何意义 题型剖析 变式：如图5-6， A,B 是反比例函数 在第一象限内的图象上的两点，且 A,B 两点的横坐标分别是2和4，则 △OAB 的面积是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 B 题型四、反比例函数的几何意义 题型剖析 解析： ∵ A,B 是反比例函数 在第一象限内的图象上的两点，且 A,B 两点的横坐标分别是2和4， ∴ 当 x = 2 时， y = 2 ，即 A(2,2) ；当 x = 4 时， y = 1 ，即 B(4,1) 。如图5-6，过 A,B 两点分别作 AC⊥x 轴于点 C ， BD⊥x 轴于点 D ，则 。 ∵ ，∴ 。 ∵ ， ∴ 。故答案为：B. 题型四、反比例函数的几何意义 题型剖析 题型五、反比例函数与一次函数的结合 例5：如图，已知一次函数 y = ax + b 和反比例函数 的图象相交于 A(-2, y₁) ， B(1, y₂) 两点，则不等式 的解集为( ) A. x < -2 或 0 < x < 1 B. x < -2 C. 0 < x < 1 D. -2 <x<0或x>1 D 解析： 观察函数图象，发现：当 -2 < x < 0 或 x > 1 时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴ 不等式 的解集是 -2 < x < 0 或 x > 1 。故答案为：D. 题型剖析 1.明确定义内容——反比例函数与一次函数结合，是将 (k≠0) 和 y = ax + b(a≠0) 综合考查，核心关联：联立求交点、看图象比函数值、拆图形算面积。 2.掌握核心思路——解题抓“联、析、算”：联立解析式求交点，看图象区域比函数值，拆图形（梯形、三角形）算面积，对照性质逐步验证。 题型五、反比例函数与一次函数的结合 题型剖析 变式：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y₁= ax + b （ a,b 为常数，且 a≠0 ）与反比例函数 （ m 为常数，且 m≠0 ）的图象交于点 A(-2,1) ， B(1,n) 。 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接 OA,OB ，求 △AOB 的面积； (3)直接写出当 y₁ < y₂< 0 时，自变量 x 的取值范围。 题型五、反比例函数与一次函数的结合 题型剖析 解 (1)由题意得，点 A(-2,1) 在反比例函数 的图象上， ∴ 1 = 。 ∴ m = -2 。 ∴ 反比例函数解析式为 。 又 ∵ 点 B(1,n) 也在反比例函数 的图象上， ∴ n = = -2 。 ∴ B(1,-2) 。 ∵ 点 A,B 在一次函数 y₁ = ax + b 的图象上， ∴ 解得 ∴ 一次函数解析式为 y₁ = -x - 1 。 题型五、反比例函数与一次函数的结合 题型剖析 (2)设直线 AB 交 y 轴于点 C ，则 OC = 1 。如图，分别过点 A,B 作 AE⊥y 轴， BF⊥y 轴，垂足分别为点 E,F 。 ∵ A(-2,1) ， B(1,-2) ， ∴ AE = 2 ， BF = 1 。 ∴ 。 (3)当 y₁< y₂< 0 时， x > 1 。 题型五、反比例函数与一次函数的结合 题型剖析 例6：解在同一直角坐标系中，函数 y = \frac{k}{x} 和 y = kx - 3 的图象大致是( ) 题型六、反比例函数与一次函数、二次函数图象共存问题 B 题型剖析 解析：分两种情况讨论： ①当 k > 0 时， y = kx - 3 与 y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； ②当 k < 0 时， y = kx - 3 与 y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限. 故答案为：B. 题型六、反比例函数与一次函数、二次函数图象共存问题 题型剖析 1.明确图象共存问题的核心逻辑——通过分析函数的“系数符号”与“图象特征”的对应关系，逐一判断不同函数的图象是否符合同一系数下的分布规律，确保多个函数在同一坐标系中的图象特征一致。 2.掌握核心步骤——按照“定系数符号→析单个函数图象特征→验多函数图象匹配性”的顺序操作：先假设某一函数的系数符号，再分析该符号下一次/二次函数的图象特征，最后验证多个函数的图象是否能同时满足该系数符号的要求。 题型六、反比例函数与一次函数、二次函数图象共存问题 题型剖析 变式：函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是( ) 题型六、反比例函数与一次函数、二次函数图象共存问题 B 题型剖析 解析：当 k > 0 时，反比例函数 经过第一、三象限，二次函数 开口方向向下，与 y 轴的交点在 x 轴上方；当 k < 0 时，反比例函数 经过第二、四象限，二次函数 开口方向向上，与 y 轴的交点在 x 轴下方.故答案为：B. 题型六、反比例函数与一次函数、二次函数图象共存问题 题型剖析 题型七、抛物线 y = ax²+ bx + c(a≠0) 的位置与 a,b,c 的关系 例7：已知二次函数 y = ax²+ bx + c(a≠0) 的图象如图5-10所示，下列结论：① abc > 0 ；② 2a + b > 0 ；③ b^2 - 4ac > 0 ；④ a - b + c > 0 .其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 题型剖析 题型七、抛物线 y = ax²+ bx + c(a≠0) 的位置与 a,b,c 的关系 解析 ① ∵ 抛物线对称轴在 y 轴的右侧， ∴ ab < 0 ， ∵ 与 y 轴交于负半轴， ∴ c < 0 ， ∴ abc > 0 ，故①正确； ② ∵ a > 0 ， ， ∴ -b < 2a ， ∴ 2a + b > 0 ，故②正确； ③ ∵ 抛物线与 x 轴有两个交点， ∴ b² - 4ac > 0 ，故③正确； ④当 x = -1 时， y > 0 ， ∴ a - b + c > 0 ，故④正确. 故答案为：D． 题型剖析 从函数的图形来判断与抛物线有关的数量关系，由函数的图形判定对应的函数值的大小，重点体现了数形结合的思想： (1)看到抛物线开口方向向下，就可得出 a < 0 ； (2)看到对称轴在 x 轴的负半轴上，就得到 -\frac{b}{2a} < 0 ； (3)看到抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴，则 c > 0 ； (4)看到 (a + c)²< b²就想到 (a + b + c)(a - b + c) < 0 ； (5)看到 a + b + c ，就想到二次函数当 x = 1 时的函数值；看到 a - b + c ，就想到二次函数当 x = -1 时的函数值；看到 4a - 2b + c ，就想到二次函数当 x = -2 时的函数值. 题型七、抛物线 y = ax²+ bx + c(a≠0) 的位置与 a,b,c 的关系 题型剖析 题型八、 二次函数的顶点坐标和最值问题 例8：抛物线 y = x² - 2x + 2 的顶点坐标为( ) A. (1,1) B. (-1,1) C. (1,3) D. (-1,3) A 解： ∵ y = x² - 2x + 2 = (x - 1)² + 1 ， ∴ 二次函数 y = x² - 2x + 2 的顶点坐标是 (1,1) ，故选A。 题型剖析 遇二次函数顶点坐标、最值问题，先判求解类型(顶点或最值)； 明确方法选择(配方法或顶点公式)，依函数形式选对应工具是关键； 代入公式或配方得顶点，结合自变量范围定最值； 步骤有序分先后，顶点最值问题全掌握。 题型八、 二次函数的顶点坐标和最值问题 题型剖析 变式：在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 （ k 为常数）。 (1)若抛物线经过点 (1, k²) ，求 k 的值； (2)若抛物线经过点 (2k, y₁) 和点 (2, y₂) ，且 y₁ > y₂，求 k 的取值范围； (3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当 1 ≤ x ≤ 2 时，新抛物线对应的函数有最小值 ，求 k 的值。 题型八、 二次函数的顶点坐标和最值问题 题型剖析 解：(1)把点 (1, k²) 代入抛物线 ， 得 ， 解得 。 (2)把点 (2k, y₁) 代入抛物线 ， 得 ； 把点 (2, y₂) 代入抛物线 ， 得 。 题型八、 二次函数的顶点坐标和最值问题 题型剖析 ∵ y₁ > y₂， ∴ ，解得 k > 1 。 (3)抛物线 ， 用配方法得 。 将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为 。 当 k < 1 时， 1 ≤ x ≤ 2 对应的抛物线部分位于对称轴右侧， y 随 x 的增大而增大， 题型八、 二次函数的顶点坐标和最值问题 题型剖析 ∴ x = 1 时， ， ∴ ，解得 k₁ = 1 ， ， 都不合题意，舍去； 当 1 ≤ k ≤ 2 时， ， ∴ ，解得 k = 1 ； 当 k > 2 时， 1 ≤ x ≤ 2 对应的抛物线部分位于对称轴左侧， y 随 x 的增大而减小， 题型八、 二次函数的顶点坐标和最值问题 题型剖析 ∴ x = 2 时， ， ∴ ， 解得 k₁ = 3 ， k₂= （舍去）。 综上， k = 1 或 3 。 题型八、 二次函数的顶点坐标和最值问题 题型剖析 题型九、二次函数表达式的确定 例9：二次函数 y = x²+ bx + c 的图象过点 B(0, -2) ，它与反比例函数 的图象交于 A(m, 4) ，则这个二次函数的解析式为( ) A. y = x²- x - 2 B. y = x² - x + 2 C. y = x²+ x - 2 D. y = x² + x + 2 A 解：将点 A(m, 4) 代入 ，得 m = -2 ，因此点 A 的坐标为 (-2, 4) ，将点 A 和点 B 的坐标分别代入 y = x² + bx + c ，得 解得 所以二次函数关系式为 y = x²- x - 2 .故答案为A. 题型剖析 1.明确定义内容——二次函数表达式的确定，是通过分析函数图象经过的点、顶点或已知条件，选择合适的表达式形式（一般式、顶点式、交点式），设出未知系数，再代入条件列方程（组）求解系数，从而得到二次函数的具体表达式，以此确定函数的解析式。 2.掌握核心思路——先根据已知条件选择表达式形式（过普通点选一般式，知顶点选顶点式，知交点选交点式）；再设出对应形式的表达式，将已知点坐标或条件代入，列出关于未知系数的方程（组）；接着解方程（组）求出系数的值；最后整理得到二次函数的完整表达式。 题型九、二次函数表达式的确定 题型剖析 变式：某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每月新产品的研发资金与上月的增长率都是 x ，则该厂今年三月份的研发资金 y （元）关于 x 的函数关系式为 y = ______. 题型九、二次函数表达式的确定 a(1 + x)² 解析：由一月份新产品的研发资金为 a 元，根据题意可以得到二月份的为 a×(1 + x) ，而三月份在二月份的基础上又增长了 x ，那么三月份也可以用 x 表示出来，由此即可确定函数关系式为 y = a×(1 + x)×(1 + x) = a(1 + x)² . 题型剖析 题型十、二次函数与一元二次方程 例9：已知抛物线 y = (x - m)²- (x - m) ，其中 m 是常数. (1)求证：不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线 . ①求该抛物线的函数解析式； ②把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点？ 题型剖析 解：(1)证明： y = (x - m)² - (x - m) = x² - (2m + 1)x + m²+ m ， ∵ b² - 4ac = (2m + 1)²- 4(m²+ m) = 1 > 0 ， ∴ 不论 m 为何值，该抛物线与 x 轴一定有两个公共点； (2)解：将抛物线解析式化为一般式为 y = x²- (2m + 1)x + m² + m ，① ∵ ， ∴ m = 2 ， ∴ 抛物线解析式为 y = x²- 5x + 6 ； ②设抛物线沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为 y = x²- 5x + 6 + k ， 题型十、二次函数与一元二次方程 题型剖析 ∵ 抛物线 y = x²- 5x + 6 + k 与 x 轴只有一个公共点， ∴ b² - 4ac = 5² - 4(6 + k) = 0 ， ∴ ， 即把该抛物线沿 y 轴向上平移 个单位长度后，得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点. 题型十、二次函数与一元二次方程 题型剖析 1.明确定义内容——二次函数与一元二次方程的关联，是通过二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点，将函数图象特征和一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根对应：交点横坐标是方程的根，根的个数对应交点个数，实现二者的相互转化。 2.掌握核心思路——先对应二次函数与一元二次方程的形式；再用判别式 Δ 判断方程根的个数（即函数与 x 轴的交点数）；接着结合图象求方程的根（或依方程根分析图象）；最后验证二者的对应性，完成关联应用。 题型十、二次函数与一元二次方程 题型剖析 变式：利用二次函数的图象估计一元二次方程 x²- 2x - 1 = 0 的近似根（精确到0.1）. 解：方程 x²- 2x - 1 = 0 的根是函数 y = x² - 2x - 1 与 x 轴交点的横坐标. 作出二次函数 y = x^2 - 2x - 1 的图象，如图 由图象可知方程有两个根，一个在 -1 和0之间， 另一个在2和3之间.先求 -1 和0之间的根： 当 x = -0.4 时， y = -0.04 ； 当 x = -0.5 时， y = 0.25 ； 题型十、二次函数与一元二次方程 题型剖析 题型十一、二次函数的应用 例9：某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ 题型剖析 题型十一、二次函数的应用 (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度. 题型剖析 解：(1)设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y = a(x - 3)²+ 5(a ≠ 0) ， 将 (8,0) 代入 y = a(x - 3)² + 5 ，得 25a + 5 = 0 ， 解得 ， ∴ 水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 . 题型十一、二次函数的应用 题型剖析 (2)当 y = 1.8 时，有 ， 解得 x₁= -1 （舍去）， x₂ = 7 ， ∴ 为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内. 题型十一、二次函数的应用 题型剖析 (3)当 x = 0 时， . 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ， ∵ 该函数图象过点 (16,0) ， ∴ ，解得 b = 3 ， ∴ 改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 . ∴ 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米. 题型十一、二次函数的应用 题型剖析 1.明确定义内容——二次函数的应用，是通过分析实际问题中的数量关系，建立二次函数模型（如抛物线型、最值型问题），利用二次函数的图象、性质（尤其是最值）来求解实际场景中的高度、范围、最优方案等问题，实现数学模型与实际问题的结合。 2.掌握核心思路——先从实际问题中提取变量，建立平面直角坐标系（若为抛物线型）；再根据条件设出二次函数表达式，代入已知点坐标求出解析式；接着利用函数性质（如顶点求最值、图象求范围）分析问题；最后验证结果是否符合实际意义，得到实际问题的解。 题型十一、二次函数的应用 题型剖析 变式：某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品.公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件.此产品年销售量 y （万件）与售价 x （元/件）之间满足函数关系式 y = -x + 26 . (1)求这种产品第一年的利润 W₁（万元）与售价 x （元/件）满足的函数关系式； (2)该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ 题型十一、二次函数的应用 题型剖析 (3)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润 W₂至少为多少万元. 题型十一、二次函数的应用 解：(1) W₁= (x - 6)(-x + 26) - 80 = -x²+ 32x - 236 . (2)由题意可知， 20 = -x² + 32x - 236 . 解得 x = 16 ， 答：该产品第一年的售价是16元. 题型剖析 (3)由题意可知， 14 ≤ x ≤ 16 ， W₂ = (x - 5)(-x + 26) - 20 = -x²+ 31x - 150 ， ∵ 14 ≤ x ≤ 16 ， ∴ x = 14 或16时， W₂有最小值，最小值为88万元. 答：该公司第二年的利润 W₂至少为88万元. 题型十一、二次函数的应用 题型剖析 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 例12：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = mx²- 8mx + 4m + 2(m > 0) 与 y 轴的交点为 A ，与 x 轴的交点分别为 B(x₁,0) ， C(x₂,0) ，且 x₂ - x₁= 4 .直线 AD∥x 轴，在 x 轴上有一动点 E(t,0) ，过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P,Q . (1)求抛物线的解析式； (2)当 0 < t ≤8 时， △APC 面积的最大值； (3)当 t > 2 时，是否存在点 P ，使以 A、P、Q 为 顶点的三角形与 △AOB 相似.若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由. 题型剖析 解：(1)由题意知 x₁,x ₂是方程 mx² - 8mx + 4m + 2 = 0 的两根， ∴ x₁ + x₂ = 8 ，由 解得 ∴ B(2,0) ， C(6,0) . 则 4m - 16m + 4m + 2 = 0 ，解得 m = ， ∴ 该抛物线的解析式为 y = x² - 2x + 3 . 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 (2)可求 A(0,3) ，设直线 AC 的解析式为 y = kx + b ， 由 解得 ∴ 直线 AC 的解析式为 y = x + 3 . 要构成 △APC ，显然 t ≠6 ，下面分两种情况讨论： ①当 0 < t < 6 时，设直线 l 与 AC 的交点为 F ， 则 F(t, t + 3) . 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 ∵ ， ∴ PF = . ∴ ， ∴ 当 t = 3 时， △APC 面积的最大值是 . 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 ②当 6 < t ≤8 时，延长 AC 交直线 l 于点 H ，则 ， 则 . ∴ ， ∴ 当 t = 8 时， △APC 面积的最大值是 12 > . 综上，当 t = 8 时， △APC 面积的最大值是12. 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 (3)由题意可知： OA = 3,OB = 2,Q(t,3),t > 2 .当点 P 在直线 AD 下方时， ， 解得 t = 0 （舍去）或 t = 2 （舍去）. 当 P 在直线 AD 上方时， △AOB∽△AQP ， ∵ ， ∴ ， 解得 t = 0 （舍去）或 t = . 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 令 △AOB∽△PQA ， ∴ ， ∴ ， 解得 t = 0 （舍去）或 t = 14 . 综上所述，满足条件的点 P 有3个，此时 t 的值分别是 . 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 1.明确定义内容——利用二次函数解几何图形问题，是通过将几何图形（如动点、图形变换）中的变量关系转化为二次函数模型，借助二次函数的图象与性质，求解几何图形的面积、最值、位置关系等问题，实现几何与函数知识的融合。 2.掌握核心思路——先分析几何图形中的变量（如动点坐标），建立函数与几何元素的对应关系；再设出函数表达式，结合几何条件（如点的坐标、线段长度）确定解析式；接着利用函数性质（如顶点、单调性）分析几何量的变化；最后验证结果是否符合几何图形的实际特征，得到几何问题的解。 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 变式：如图5-4-5,点A在抛物线 上,过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B,延长AO,BO分别与抛物线 相交于点C,D,连接AD,BC,设点A的横坐标为m,且 m > 0 . (1)当 m = 1 时,求点A,B,C,D的坐标; (2)当m为何值时,四边形ABCD的两条对角线互相垂直? (3)猜想线段AB与CD之间的数量关系,并证明你的结论. 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 解： (1)点 A 在抛物线 上，且 m = 1 ， ∴ ，点 B 与点 A 关于 y 轴对称， ∴ . 设直线 BD 的表达式为 y = kx ，由 B 点坐标可得 ， ∴ . 解方程组 得 点 C 与点 D 关于 y 轴对称，故 . 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 (2)当四边形 ABCD 的两对角线互相垂直时，由对称性得直线 AO 与 x 轴的夹角等于 45°，所以点 A 的纵、横坐标相等，这时，设 A(a,a) ，代入 ，得 a = 4 ，或 a = 2 （舍去）， ∴ A(4,4) ， ∴ m = 4 . 即当 m = 4 时，四边形 ABCD 的两条对角线互相垂直. 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 (3)线段 CD = 2AB .理由：点 A 在抛物线 上，且横坐标为 m ， ∴ ，直线 AO 的表达式为 ， 解方程组 得点 . 由对称性得点 ， ∴ AB = 2m ， CD = 4m ， ∴ CD = 2AB . 题型十二、利用二次函数解几何图形问题 题型剖析 1．函数 自变量 x 可以取值的范围是(　　) A. x≥1 且 x≠3 B. x≥1 C. x≠3 D. x > 1 且 x≠3 A 解析：根据二次根式的性质和分式的意义得被开方数大于等于0，分母不等于0。由此可以求出自变量 x 的取值范围。据题意可知 x - 1≥0 且 x - 3≠0 ，所以自变量 x 的取值范围是 x≥1 且 x≠3 ，故选A。 针对训练 2．个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入低于3500元的部分不收税,月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税,月收入超过5000但不超过8000的部分征收10%的所得税. (1)当月收入大于3500元而又不超过5000元时,写出应缴所得税 y (元)与月收入 x (元)之间的表达式; (2)当月收入大于5000元而又不超过8000元时,写出应缴所得税 y (元)与月收入 x (元)之间的表达式; (3)王芳2018年3月份收入4200元,她应纳个人所得税多少? (4)李明2018年3月应纳个人所得税150元,他纳税后收入是多少? 针对训练 解：(1) y = 3% (x - 3500) = 0.03x - 105 . (2) y = 3% ×(5000 - 3500) + 10% (x - 5000) = 0.1x - 455 . (3) ∵ 3500 < 4200 < 5000 , ∴ y = 0.03 × 4200 - 105 = 21 (元). 答:王芳应缴所得税21元. (4) ∵ 0.03 × 5000 - 105 = 45 , 0.1 × 8000 - 455 = 345 , 45 < 150 < 345 , ∴ 李明3月收入超过了5 000元而又不超过8 000元, ∴ 150 = 0.1x - 455 .解得 x = 6050 , x - 150 = 5900 . 答:李明纳税后收入是5 900元. 针对训练 3．如图5-2-4,点B在反比例函数 y = \frac{2}{x}(x > 0) 的图象上,横坐标为1,过B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为( ) B 解析:因为点B的横坐标为1,所以点B的纵坐标为2,则有 OA = 1,AB = 2 ,可得矩形OABC的面积为2.也可直接利用“双曲线上的点的横坐标与纵坐标的积就是比例系数”,得 k = xy = 2 .由反比例函数中k的几何意义可得矩形OABC的面积为2.所以选B. 针对训练 4．二次函数 y = ax² 与直线 y = 2x - 1 的图象交于点 P(1, m) . (1)求 a,m 的值; (2)写出二次函数的表达式,并指出 x 取何值时, y 随 x 的增大而增大. 解：(1) 点 P(1, m) 在 y = 2x - 1 的图象上 ∴ m = 2×1 - 1 = 1 代入 y = ax² ∴ a = 1 (2)二次函数表达式： y = x² 因为函数 y = x²的开口向上，对称轴为 y 轴，当 x > 0 时， y 随 x 的增大而增大. 针对训练 ✅ 知识构建：对函数的再探索 函数与它的表示法→反比例函数→二次函数→二次函数的图象和性质（开口方向、对称轴、顶点，a、b、c的作用）→确定二次函数的表达式（待定系数法，选一般式/顶点式/交点式）→二次函数的图象与一元二次方程（图象与x轴交点对应方程的根，判别式判断交点个数）→二次函数的应用（建立模型解决抛物线型、最值型实际问题）→二次函数与几何图形的综合（动点、图形变换转化为函数模型，求解面积、位置关系） 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 思想方法： 函数建模思想(将实际问题转化为反比例函数、二次函数模型，如面积、利润等场景的数量关系建模) 转化与化归(将二次函数综合问题转化为解析式求解、性质分析等基础问题，简化复杂几何与函数关联) 分类讨论(解决二次函数动点、多交点问题时，对不同位置、取值范围分别分析，如抛物线与直线的不同交点情况) 数形结合(借助二次函数图象，直观分析函数单调性、最值、与几何图形的位置关系等问题) 课堂总结 感谢聆听! $