第12讲 一元一次方程的概念与解法（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年北师大版七年级数学上册同步讲义与测试

第12讲 一元一次方程的概念与解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.等量关系与方程 2.一元一次方程 3.方程的解 4.列一元一次方程 5.等式的基本性质 6.利用等式的基本性质解一元一次方程 7.利用移项解一元一次方程 8.利用去括号解一元一次方程 9.利用去分母解一元一次方程 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、判断是否是一元一次方程 六、判断是否是一元一次方程解 七、等式的性质 八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）——去括号 十、解一元一次方程（三）——去分母 十一、已知一元一次方程的解，求参数 十二、一元一次方程解的关系 十三、绝对值方程 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.等量关系与方程 1. 找等量关系的常用方法 ①根据几何图形的周长、面积、体积公式确定等量关系； ②根据题目中的不变量确定等量关系； ③根据关键词确定等量关系， 如“ 一共有 ……”“ 比 ……多……”“比……少……”通常表示和差关系，“是……的几倍”通常表示倍数关系 . 2. 方程的定义： 含有未知数的表示量相等的等式称为方程 . 3. 方程与等式的区别与联系 (1)方程一定是等式，等式不一定是方程； (2)方程中含有未知数，而等式中不一定含有未知数 . 知识点2.一元一次方程 1. 一元一次方程的定义 在一个方程中， 只含有一个未知数， 且方程中的代数式都是整式， 未知数的次数都是 1， 这样的方程叫作一元 一次方程 . 例如： x+1=0 是一元一次方程 . 2. 一元一次方程必须满足三个条件 : ①只含有一个未知数； ②方程的分母中不含字母(即为整式方程)； ③ 未知数的次数都是 1. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程 变形后总可以化为 ax+b=0 的形式，其中 x 是未知数， a， b 是已知数，且 a ≠ 0. 我们把ax+b=0 叫作一元一次方程的标准形式 . 知识点3.方程的解 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 . 特别提醒： 方程的解与解方程的关系： (1)方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程； (2)方程的解是通过解方程求得的 . 知识点4.列一元一次方程 1. 列一元一次方程的一般步骤 (1) 审题： 提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语(如多、少、倍……) . (2) 分析： 厘清问题中的关系，找出等量关系 . (3) 建模： 设出未知数，并用含有未知数的代数式表示等量关系中的量，将问题转化为方程，可直接或 接设未知数 . 2. 列一元一次方程的基本思路 知识点5.等式的基本性质 1. 等式的基本性质 等式的基本性质 用文字表示 用字母表示 基本性质 1 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 a±c=b±c 基本性质 2 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 ac=bc，(c ≠ 0) 2.等式的其他性质 (1)对称性：若 a=b，则 b=a； (2)传递性：若a=b， b=c，则a=c. 知识点6.利用等式的基本性质解一元一次方程 利用等式的基本性质解一元一次方程的步骤 : 第一步 : 利用等式的基本性质 1，在方程左、右两边同时加(或减)同一个代数式，使方程化为 ax=b( a ≠ 0)的形式 . 第二步 : 利用等式的基本性质 2, 在方程左、右两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为 1，从而使方程化为 x= 的形式 . 注意： 一般地，从方程中解出未知数的值以后，可以将其代入原方程检验，看这个值是否使原方程的左、右两边相等. 知识点7.利用移项解一元一次方程 1. 移项  把方程中某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项 . 移项要注意变号 . 2. 移项的依据  移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加(或减) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 . 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)未知数的系数化为 1： 得到方程的解 x= . 知识点8.利用去括号解一元一次方程 1.在解方程时，把方程中含有的括号去掉的过程叫作去括号 . 2.解含有括号的一元一次方程的步骤   (1) 去括号(按照去括号法则去括号)； (2) 移项； (3) 合并同类项； (4) 未知数的系数化为 1. 3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知识点9.利用去分母解一元一次方程 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母 . 2. 解含有分母的一元一次方程的步骤 (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为 1. 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·陕西安康·月考）下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是方程的是 （填序号）． ①  ②  ③  ④ 3．下列各式哪些是方程？ ①3x－2＝7； ②4+8＝12； ③3x－6；④2m－3n＝0；⑤3x2－2x－1＝0；⑥x+2≠3；⑦；⑧． 题型二、列方程 4．根据“x的3倍与5的和比x的少2”列出方程是（    ） A．3x+5=+2 B．3x+5=-2 C．3（x+5）=-2 D．3（x+5）=+2 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为 ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 题型三、判断是否是方程的解 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 3 1 3 5 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）对于方程，小红判断该方程的解为，小亮判断该方程的解为，请你说明谁的判断正确． 题型四、已知方程的解，求参数 10．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为（  ） A． B． C．1 D．3 11．（25-26七年级上·北京·期中）方程的解是，则 ． 题型五、判断是否是一元一次方程 12．（25-26七年级上·重庆·月考）下列方程中，属于一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·广东广州·期中）若是关于x的一元一次方程，则m，n应满足的条件是 ． 14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 题型六、判断是否是一元一次方程解 15．（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 16．写出一个解为的一元一次方程： ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 题型七、等式的性质 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列变形错误的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ． （2）如果，那么 ． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，则的值是 ． 23．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）填写下表： （2）根据下表，直接写出方程的解． 0 4 7 12 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 24．（22-23七年级上·全国·期中）在梯形面积公式中，已知厘米，厘米，平方厘米，则（　　）厘米． A．1 B．5 C．3 D．4 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）将方程去括号得 ． 26．（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)． (2)． (3)． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 27．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）把方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）方程去分母得 ．（无须去括号） 29．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． (1) (2) 题型十一、已知一元一次方程的解，求参数 30．（2025七年级上·全国·专题练习）在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 31．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 32．（24-25七年级上·四川南充·月考）已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 题型十二、一元一次方程解的关系 33．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级·重庆·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 35．（22-23七年级上·江苏扬州·月考）已知关于x的方程与它们的解互为倒数，求m的值． 题型十三、绝对值方程 36．（25-26七年级上·天津·期中）若，且，则的值为（    ） A．3 B． C．3或 D． 37．（25-26七年级上·山东济南·月考）若，则 ． 38．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 强化训练 一、单选题 1．若，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 2．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 3．下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 7．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 8．如果方程和方程的解互为相反数，那么的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 9．已知关于x的方程和方程的解相同，则k的值是（   ） A． B． C． D．5 10．若是关于的一元一次方程，则代数式的值是（    ） A．54 B．56 C．169 D．171 二、填空题 11．若是关于x的方程的解，则a的值为 ． 12．3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为 ． 13．填表： x 0 1 当_______时，，所以方程的解是_______． 14．解方程时，去分母得 ． 15．已知，则 ． 16．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 17．若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 三、解答题 18．列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3； (3)x的与3的差等于最大的一位数． 19．已知是关于的方程的解，求的值． 20．已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 21．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 22．已知关于x的多项式A、B，其中． (1)化简； (2)若的结果与x的取值无关，求m、n的值． 23．定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为． (1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）； (2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）； (3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值． 24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示5和3的两点之间的距离是_________； ②数轴上表示和4的两点之间的距离是_________； ③归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_________； (2)应用： ①如果表示数和3的两点之间的距离是5，则可记为：，那么_________． ②若数轴上表示数的点位于与3之间，求_________． ③若那么_________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一元一次方程的概念与解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.等量关系与方程 2.一元一次方程 3.方程的解 4.列一元一次方程 5.等式的基本性质 6.利用等式的基本性质解一元一次方程 7.利用移项解一元一次方程 8.利用去括号解一元一次方程 9.利用去分母解一元一次方程 题型巩固 一、判断各式是否是方程 二、列方程 三、判断是否是方程的解 四、已知方程的解，求参数 五、判断是否是一元一次方程 六、判断是否是一元一次方程解 七、等式的性质 八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 九、解一元一次方程（二）——去括号 十、解一元一次方程（三）——去分母 十一、已知一元一次方程的解，求参数 十二、一元一次方程解的关系 十三、绝对值方程 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.等量关系与方程 1. 找等量关系的常用方法 ①根据几何图形的周长、面积、体积公式确定等量关系； ②根据题目中的不变量确定等量关系； ③根据关键词确定等量关系， 如“ 一共有 ……”“ 比 ……多……”“比……少……”通常表示和差关系，“是……的几倍”通常表示倍数关系 . 2. 方程的定义： 含有未知数的表示量相等的等式称为方程 . 3. 方程与等式的区别与联系 (1)方程一定是等式，等式不一定是方程； (2)方程中含有未知数，而等式中不一定含有未知数 . 知识点2.一元一次方程 1. 一元一次方程的定义 在一个方程中， 只含有一个未知数， 且方程中的代数式都是整式， 未知数的次数都是 1， 这样的方程叫作一元 一次方程 . 例如： x+1=0 是一元一次方程 . 2. 一元一次方程必须满足三个条件 : ①只含有一个未知数； ②方程的分母中不含字母(即为整式方程)； ③ 未知数的次数都是 1. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程 变形后总可以化为 ax+b=0 的形式，其中 x 是未知数， a， b 是已知数，且 a ≠ 0. 我们把ax+b=0 叫作一元一次方程的标准形式 . 知识点3.方程的解 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 . 特别提醒： 方程的解与解方程的关系： (1)方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的过程； (2)方程的解是通过解方程求得的 . 知识点4.列一元一次方程 1. 列一元一次方程的一般步骤 (1) 审题： 提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语(如多、少、倍……) . (2) 分析： 厘清问题中的关系，找出等量关系 . (3) 建模： 设出未知数，并用含有未知数的代数式表示等量关系中的量，将问题转化为方程，可直接或 接设未知数 . 2. 列一元一次方程的基本思路 知识点5.等式的基本性质 1. 等式的基本性质 等式的基本性质 用文字表示 用字母表示 基本性质 1 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 a±c=b±c 基本性质 2 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式 如果 a=b，那么 ac=bc，(c ≠ 0) 2.等式的其他性质 (1)对称性：若 a=b，则 b=a； (2)传递性：若a=b， b=c，则a=c. 知识点6.利用等式的基本性质解一元一次方程 利用等式的基本性质解一元一次方程的步骤 : 第一步 : 利用等式的基本性质 1，在方程左、右两边同时加(或减)同一个代数式，使方程化为 ax=b( a ≠ 0)的形式 . 第二步 : 利用等式的基本性质 2, 在方程左、右两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为 1，从而使方程化为 x= 的形式 . 注意： 一般地，从方程中解出未知数的值以后，可以将其代入原方程检验，看这个值是否使原方程的左、右两边相等. 知识点7.利用移项解一元一次方程 1. 移项  把方程中某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形称为移项 . 移项要注意变号 . 2. 移项的依据  移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加(或减) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 . 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)未知数的系数化为 1： 得到方程的解 x= . 知识点8.利用去括号解一元一次方程 1.在解方程时，把方程中含有的括号去掉的过程叫作去括号 . 2.解含有括号的一元一次方程的步骤   (1) 去括号(按照去括号法则去括号)； (2) 移项； (3) 合并同类项； (4) 未知数的系数化为 1. 3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知识点9.利用去分母解一元一次方程 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母 . 2. 解含有分母的一元一次方程的步骤 (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为 1. 题型巩固 题型一、判断各式是否是方程 1．（24-25七年级上·陕西安康·月考）下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，根据定义即可选出答案． 【详解】解：A．选项式子不是等式，不符合题意； B．选项式子是方程，故符合题意； C．选项式子没有未知数，不符合题意； D．选项式子不是等式，故不符合题意． 故选：B． 2．下列各式中，是方程的是 （填序号）． ①  ②  ③  ④ 【答案】①④ 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】解：①是方程； ②不含未知数，故不是方程； ③不是等式，故不是方程； ④是方程． 综上，是方程的是①④． 故答案是：①④． 【点睛】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 3．下列各式哪些是方程？ ①3x－2＝7； ②4+8＝12； ③3x－6；④2m－3n＝0；⑤3x2－2x－1＝0；⑥x+2≠3；⑦；⑧． 【答案】①、④、⑤、⑦、⑧． 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行判断即可． 【详解】②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧． 【点睛】此题考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 题型二、列方程 4．根据“x的3倍与5的和比x的少2”列出方程是（    ） A．3x+5=+2 B．3x+5=-2 C．3（x+5）=-2 D．3（x+5）=+2 【答案】B 【知识点】列方程 【分析】仔细审题，x的3倍即是3x，x的即是，由此根据可列出方程． 【详解】解：x的3倍与5的和是3x+5，比x的少2是， 所以由题意可列方程为：， 故选：B． 【点睛】本题考查列一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮， 由题意得． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】列方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 题型三、判断是否是方程的解 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把分别代入四个方程中，看对应方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； B、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边相等， ∴是方程的解，符合题意； C、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； D、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 8．（2025七年级上·全国·专题练习）关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 3 1 3 5 【答案】 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．观察表格中与的值，找到两者相等时对应的值，即为方程的解． 【详解】解：当时，，，即， 所以方程的解为． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）对于方程，小红判断该方程的解为，小亮判断该方程的解为，请你说明谁的判断正确． 【答案】小亮，见解析 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】根据方程解的定义，将小红和小亮所说的值分别代入方程左右两边，计算并比较两边结果是否相等，以此判断谁的判断正确．本题主要考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程的两边时， 左边， 右边． 因为左边右边， 所以不是原方程的解． 把代入方程的两边时， 左边， 右边． 因为左边=右边， 所以是原方程的解， 所以小亮的判断正确． 题型四、已知方程的解，求参数 10．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴， 即， ∴． 因此，m的值为3． 故选：D． 11．（25-26七年级上·北京·期中）方程的解是，则 ． 【答案】6 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是关键；将代入方程，求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 解得， 故答案为：6． 题型五、判断是否是一元一次方程 12．（25-26七年级上·重庆·月考）下列方程中，属于一元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，理解掌握定义是解答的关键． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A：含有两个未知数x和y，故选项不符合题意； B：方程中含分式，不是整式方程，故选项不符合题意； C：只含未知数x，且x的次数为1，等式两边均为整式，符合定义，故选项符合题意； D：未知数x的最高次数为2，故选项不符合题意． 故选：C． 13．（25-26七年级上·广东广州·期中）若是关于x的一元一次方程，则m，n应满足的条件是 ． 【答案】， 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义，是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不能为0，求出结果即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， 解得：，． 故答案为：，． 14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是方程，也不是一元一次方程； (2)是方程，也是一元一次方程； (3)是方程，不是一元一次方程． 【知识点】判断是否是一元一次方程、判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （2）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （3）根据方程和一元一次方程的定义判断即可 【详解】（1）解：∵是等式，但不含未知数， ∴不是方程，不是一元一次方程； （2）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为， ∴是方程，也是一元一次方程； （3）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数不为， ∴是方程，不是一元一次方程． 题型六、判断是否是一元一次方程解 15．（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意； B. 当 时，，故该选项不符合题意； C. 当 时，，故该选项不符合题意； D. 当 时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 16．写出一个解为的一元一次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，据此写出一个当时，方程左右两边能相等的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，符合题意的方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)不是 (2)是 【知识点】判断是否是方程的解、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查的是判断方程的解； （1）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； （2）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； 【详解】（1）解：当时，方程的左边， 右边， 方程左，右两边的值不相等， ∴不是方程的解； （2）解：当时，方程的左边， 右边，方程左，右两边的值相等， ∴是方程的解． 题型七、等式的性质 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列变形错误的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，正确，不符合题意； B、，则：，正确，不符合题意； C、，则：，正确，不符合题意； D、，当时，，原变形错误，符合题意； 故选D． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么 ． （2）如果，那么 ． 【答案】 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质是关键． （1）（2）利用等式的基本性质逐项解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得：． （2）∵， ∴， ∴． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)是原方程的解 【知识点】判断是否是方程的解、等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 题型八、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各题中的变形属于移项的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项； 【详解】解：选项A：由 得 ，移动时符号错误，不属于移项； 选项B：由 得 ，仅运用加法交换律，不属于移项； 选项C：由 得 ，将8移项后变为，将移项变为，符号改变，属于移项； 选项D：由 得 ，仅交换等式两边，不属于移项。 故选：C 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 将代入方程，得到关于的方程，然后求解． 【详解】解：∵是方程 的解， ∴， 即， ∴， 移项得， ∴， 故答案为：． 23．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）填写下表： （2）根据下表，直接写出方程的解． 0 4 7 12 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】判断是否是方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查代数式求值，解方程和方程的解，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）将的值代入或解方程求出的值，填写表格即可； （2）直接找到表格中时，的值即可． 【详解】解：（1）当时，； 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 当时，，； 填表如下： 0 2 3 4 7 12 17 6 10 12 14 （2）由表格可知：时，． 题型九、解一元一次方程（二）——去括号 24．（22-23七年级上·全国·期中）在梯形面积公式中，已知厘米，厘米，平方厘米，则（　　）厘米． A．1 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．将的值代入公式，解方程即可得． 【详解】解：∵在中，厘米，厘米，平方厘米， ∴， 解得（厘米）， 故选：B． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）将方程去括号得 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去括号法则，括号前面是正号，去括号后括号内的各项符号不变；括号前面是负号，去括号后括号内的各项符号改变，据此解答即可． 【详解】解：左边：去括号后为， 右边：去括号后为， 故答案为：；． 26．（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可，正确的运算是解题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． （3）解：去小括号，得， 去中括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 题型十、解一元一次方程（三）——去分母 27．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）把方程去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同时乘以分母3和2的最小公倍数6，注意每一项都要乘以6，且分子是多项式时应加括号，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴两边乘以6得：， ∴整理得， 故选：C． 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）方程去分母得 ．（无须去括号） 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法， 通过寻找分母3和2的最小公倍数6，将方程两边同时乘以6，以消除分母． 【详解】解：方程 两边同时乘以6，得 ，即 ． 故答案为：． 29．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识﹒ （1）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可； （2）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可﹒ 【详解】（1）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒ 题型十一、已知一元一次方程的解，求参数 30．（2025七年级上·全国·专题练习）在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 将方程化为标准形式，根据无解的条件且，求解的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 合并同类项得， ∴方程化为标准形式，其中，． ∵方程无解需满足且， ∴，解得， 此时，满足条件． ∴的值为3． 故选：A 31．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 【答案】9 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解答本题的关键是明确一元一次方程的解得含义． 根据题意，先化简题目中的式子，然后根据无论为何值，方程的解总是，可以求得、的值，代入计算即可． 【详解】解：把代入方程，得， 得，即， 整理得， 由于k为任意值，它的解总是， 故， 解得，， 所以， 故答案为：9． 32．（24-25七年级上·四川南充·月考）已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 【答案】． 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解，根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与的取值无关，得到且，求解即可， 掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 整理得：， ∵方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：． 题型十二、一元一次方程解的关系 33．（24-25七年级上·湖北武汉·月考）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 34．（24-25七年级·重庆·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，把方程，变形为，根据关于的一元一次方程的解为可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解满足， ∴， 故答案为：． 35．（22-23七年级上·江苏扬州·月考）已知关于x的方程与它们的解互为倒数，求m的值． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，利用它们的解互为倒数，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有m的方程，从而求出m即可．先将的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的值． 【详解】解：解得：， 是方程的解， 由得：， ， 解得：， 则m的值为． 题型十三、绝对值方程 36．（25-26七年级上·天津·期中）若，且，则的值为（    ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】B 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查解绝对值方程．根据绝对值的定义，表示或，再结合条件，即可确定的值． 【详解】解： ， 又 ． 故答案为：B． 37．（25-26七年级上·山东济南·月考）若，则 ． 【答案】或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值等于5，到原点的距离为5，据此进行求解即可． 【详解】解：由绝对值的定义可知，表示到原点的距离为5， 因此或． 故答案为：5或． 38．（2025七年级上·北京·专题练习）已知，求x的值． 【答案】8 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 强化训练 一、单选题 1．若，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，通过去括号、移项和合并同类项等步骤求解． 【详解】解：∵ ， 去括号：， 合并常数项：， 移项：， ∴ ． 故 ， 故选：B． 2．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 3．下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键，根据等式的性质进行排除． 【详解】解：∵等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立， ∴若，则（为任意数），选项B正确； 选项A：若，则，两边运算不一致，错误； 选项C：若，则，当时无意义，错误； 选项D：若，则，当时，与不一定相等，错误； 故选：B． 4．下列方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，将代入各选项方程，计算左右两侧是否相等，相等的方程即为所求方程. 【详解】解：选项A：当时， 方程左侧 方程右侧 不是该方程的解，不符合题意； 选项B：当时， 方程左侧 方程右侧 是该方程的解，符合题意； 选项C：当时， 方程左侧 方程右侧 不是该方程的解，不符合题意； 选项D：当时， 方程左侧 方程右侧 不是该方程的解，不符合题意； 故选：B ． 5．若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 6．小明同学在解方程时，把数字看错了，解得，则小明把看成了（   ） A． B．8 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，将代入方程，求出此时对应的值，即为小明看错的． 【详解】解：将代入方程，得： ∴， 解得：， 因此，小明将看成了8， 故选：B． 7．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】此题考查了列方程，逐一分析各选项的等量关系，判断是否与方程相符． 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 故选：D． 8．如果方程和方程的解互为相反数，那么的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先分别求出两个方程的解，第一个方程直接求解，第二个方程去分母后求解，再根据解互为相反数列出关于a的方程求解． 本题考查了解一元一次方程，方程的解，相反数，熟练掌握解方程，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴． 由， 去分母，得， 去括号，得， 移项得：， 解得． ∵ 两方程的解互为相反数， ∴ ， 即， ∴ ． 故选：A． 9．已知关于x的方程和方程的解相同，则k的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 先解第一个方程得到x的值，由于两个方程的解相同，将该x值代入第二个方程求解k即可． 【详解】解：∵方程 ， ∴ ，解得：， 将代入方程 得： ，即， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选A． 10．若是关于的一元一次方程，则代数式的值是（    ） A．54 B．56 C．169 D．171 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式的求值，解题的关键是根据一元一次方程的定义求出的值，进而得到关于的一元一次方程，求出后再代入代数式计算． 根据一元一次方程的定义确定的取值，得到关于的一元一次方程并求解x，将、的值代入代数式，计算出结果． 【详解】解：因为是关于的一元一次方程，所以需满足： 二次项系数为，解得； 一次项系数不为，即． 综上，， 将代入原方程，得，解得， 把代入代数式， 的值为， 的值为， 则． 故选：D． 二、填空题 11．若是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．将代入方程中求解a的值． 【详解】解：将代入方程，得， 解得 ， 故答案为：． 12．3月12日是植树节，阳光学校组织开展植树活动．已知八年级师生共植树棵，比七年级师生植树数量的倍还多棵．若七年级师生植树棵，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程，找到正确的等量关系是解题的关键. 【详解】解：由题意得八年级师生植树量可表示为， 则可列方程为：， 故答案为： ． 13．填表： x 0 1 当_______时，，所以方程的解是_______． 【答案】填表见详解 ； 【分析】本题考查了“代数式求值”“方程的定义”的知识点，正确计算出求值结果，并理解方程的定义是解题关键． 先根据表中x的取值，分别代入两个代数式中，求出对应的值并填表，再观察表中当两个代数式的值相同时，表中对应的x的取值，根据方程的定义，这个x的取值即为方程的解． 【详解】解：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 故填表如下： x 0 1 1 3 0 由表可知，当时，，即方程的解为． 故答案为： ；． 14．解方程时，去分母得 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，通过寻找分母3和4的最小公倍数12，将方程两边同时乘以12以消除分母，得到去分母后的方程即可． 【详解】解：原方程为． 两边同时乘以12，得． 故答案为：． 15．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 故答案为：8． 16．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了 一元一次方程的解．设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：方程可变形为， 设，则关于y的方程化为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 17．若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 三、解答题 18．列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3； (3)x的与3的差等于最大的一位数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）x的2倍与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可； （3）根据已知，首先表示出这个数的，再减3，等于最大的一位数9，得出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得． 19．已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】24 【分析】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，即可求得a的值，然后代入代数式即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 则． 20．已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、相反数、代数式求值、有理数乘方的逆运算，熟练掌握方程的解法和代数式求值是解题关键． （1）先分别求出两个方程的解，再根据这两个方程的解互为相反数可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）将的值代入，利用有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ∵方程①的解与方程②的解互为相反数， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， 则 ． 21．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键． （1）方程去括号，移项，合并同类项，即可求出解； （2）方程去括号，去分母，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）去括号得：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：； （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 22．已知关于x的多项式A、B，其中． (1)化简； (2)若的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． （1）把B和A的式子代入，然后根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）由的结果与x的取值无关得出，然后解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：若的结果与x的取值无关，则， 解得，． 23．定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为． (1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）； (2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）； (3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)②③ (2)是 (3) 【分析】本题考查有理数的运算、一元一次方程的解，理解题意是解答的关键． （1）根据题中定义判断即可； （2）根据题中定义求解即可； （3）根据定义得到，再根据方程的解满足方程得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①，∵，， ∴，故数对不是“共生数对”； ②，∵，， ∴，故数对是“共生数对”； ③，∵，， ∴，故数对是“共生数对”； 故答案为：②③； （2）解：∵是“共生数对”， ∴，则， ∴数对是“共生数对”， 故答案为：是； （3）解：∵是“共生数对”， ∴， ∵关于x的方程的解为， ∴，即， ∴， ∴． 24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示5和3的两点之间的距离是_________； ②数轴上表示和4的两点之间的距离是_________； ③归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于_________； (2)应用： ①如果表示数和3的两点之间的距离是5，则可记为：，那么_________． ②若数轴上表示数的点位于与3之间，求_________． ③若那么_________． 【答案】(1)①2，②7；③ (2)①8或；②7；③或4 【分析】此题综合考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程等知识点． （1）由数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）①根据数轴上两点之间的距离的定义，建立方程求解即可； ②求得，，去绝对值符号，进一步计算即可求解； ③分、和三种情况讨论，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是； ②数轴上表示和4的两点之间的距离是； ③归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； 故答案为：①2，②7；③； （2）解：①如果表示数和3的两点之间的距离是5，则可记为：， ∴， ∴或； ②若数轴上表示数的点位于与3之间， ∴，， ∴； ③当时，由题意得， 解得； 当时，由题意得， 无解； 当时，由题意得， 解得； 故答案为：①8或；②7；③或4． 学科网（北京）股份有限公司 $