第13章 分式 单元测试卷-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册满分全攻略备考系列

第13章 分式 单元测试卷 （考试时间：90分钟  试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）若分式有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0列不等式即可求解． 【详解】解：若分式有意义，则， 解得，； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为0． 2．（本题3分）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成.现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，设甲单独做需要天完成，则下列所列方程错误的是(       ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．可根据甲做2天的工作量+乙全程的工作量=1来列方程求解． 【详解】解：设甲单独做需x天，则乙单独做需（x+3）天，由题意得： ， 或， 也可以变形为， ∴只有C是错误的； 故选择：C. 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1． 3．（本题3分）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的值，令，则，求出，再代入计算即可． 【详解】解：令， 则， ∴， 解得：， 则， 解得：， ∴， 故选：A． 4．（本题3分）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，分式的值为零 B．代数式是整式 C．无论x为何值，分式的值都不可能为整数 D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】根据分式的定义，形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式和分式有意义的条件、分式值的情况判断即可； 【详解】当x＝2时，，分式无意义，故A错误； 代数式是分式，故B错误； 当时，分式的值是1，故C错误； ∵， ∴无论x为何值，的值总为正数，故D正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值的判断，准确分析是解题的关键． 5．（本题3分）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可． 【详解】解：去分母得：m-1=x+1， 解得：x=m-2， 由题意得：m-2≥0且m-2≠-1， 解得：m≥2， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程及分式方程的解，掌握分式方程的解法及解的意义是解题的关键． 6．（本题3分）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为（   ） A．0 B．0或 C．0或 D．或0或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：方程两边都乘 得 ， 当时，方程无解，此时， 当时，，此时整式方程的解为分式方程的增根， 最简公分母， 解得或， 当时，，，符合题意， 当时，，此时k不存在； 所以分式方程无解，则k的值为0或． 故选：C 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（本题2分）计算： ． 【答案】． 【分析】原式分子分母分别平分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（本题2分）当 时，分式的值为零． 【答案】2 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分子为零，分母不为零列式求解． 【详解】由题意知，，， 解得，， 故答案为：2． 9．（本题2分）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据分式加减运算法则，求出，利用分式相等的条件求出A与B的值即可． 【详解】解： ， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：1． 10．（本题2分）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了零次幂、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用零次幂、负整数次幂运算，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：4． 11．（本题2分）若分式与分式的值相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解方式方程，根据题意列出分式方程，求出解后要检验是否是增根． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． 故答案为：． 12．（本题2分）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，根据幂的运算法则，负整数指数幂的法则，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13．（本题2分）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 14．（本题2分）计算：＝ ． 【答案】1 【分析】根据分式加减法的性质计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解． 15．（本题2分）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤得到，当，即时，此时方程无解；当，则原方程有增根，即或，进而可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，此时方程无解； 当时， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 16．（本题2分）肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，原计划所需时间实际所用时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设原计划的开车的平均速速为，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， （）， 肖老师实际开车的平均速度是； 故答案为：． 17．（本题2分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值． 【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 18．（本题2分）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 三.解答题（本大题共8题，满分58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通分，然后根据分式的加法进行计算即可求解； （2）根据分式的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 20．（本题6分）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2)无解 【分析】（1）首先两边同时乘以（x+2）（x-2），去分母，再解整式方程，最后检验即可 （2）首先两边同时乘以（x-7），去分母，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：两边同时乘以（x+2）（x-2），去分母得： x（x+2）-（x+2）（x-2）=8， 解得x=2， 检验：当x=2时，（x+2）（x-2）=0， ∴x=2是原方程的增根，原方程无解； （2） 解：两边同时乘以（x-7），去分母得： x-8=8（x-7）-1， 解得x=7， 检验：当x=7时，x-7=0， ∴x=7是原方程的增根，原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验． 21．（本题6分）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件． 先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 22．（本题6分）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 【答案】千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，得路线二的平均车速为千米/小时，又因为路线二比走路线一少用10分钟到达，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设路线一的平均车速为千米/小时， 则路线二的平均车速为千米/小时， 依题意，， ∴， ∴， 解得， 经检验：当时，， 故是原分式方程的解． ∴路线一的平均车速是千米/小时 23．（本题8分）【阅读理解】若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”．例如：，我们称是的“3差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“2差分式”，用含x的代数式表示C； (2)已知，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的加减法，熟练运用分式的加减法法则是解题的关键． （1）根据“2差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （2）根据“4差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，且称A是B的“2差分式”． ∴， 解得，； （2）解：∵分式是的“4差分式”， ∴， ， ， ， 且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 24．（本题8分）某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙单独完成这项工程各需多少天? (2)在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）． 【答案】(1)甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天 (2)③ 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，掌握了以上知识是解答本题的关键； （1）设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天； （2）解：选择方案③最节省工程款； 方案①的费用为万元， 方案②的费用万元，但耽误工期，不符合题意（舍） 方案③的费用为万元． 综上所述：选择方案③最节省工程款． 25．（本题8分）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)是；2 (2)①；② (3)m为1或 【分析】本题考查了新定义，分式的运算，解分式方程，读懂题意，理解新定义，并正确加以应用是解题的关键． （1）根据新定义，把分式A，B相加，和为常数2即可； （2）根据题意，把分式C，D相加，和为2，得到G的式子和x的值即可； （3）根据题意，得到分式方程，解分式方程得到结果． 【详解】（1）解：与B是互为“和整分式”，理由如下： 分式， ， 与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①分式，， ， 与D互为“和整分式”，且“和整值”， ， ； ②， 又为正整数，分式D的值为正整数t， 或， 解得或舍去， ； （3）解：与Q互为“和整分式”，且“和整值”， ， ， ， ， 当，即时，关于x的方程无解， 当时，方程有增根， ， 解得：， 综上所述，m为1或 26．（本题10分）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②2，4，0，6 (3) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组， （1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式； ②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 分式 单元测试卷 （考试时间：90分钟  试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）若分式有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题3分）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成.现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，设甲单独做需要天完成，则下列所列方程错误的是(       ) A． B． C． D． 3．（本题3分）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列关于分式的判断，正确的是（　　） A．当x＝2时，分式的值为零 B．代数式是整式 C．无论x为何值，分式的值都不可能为整数 D．无论x为何值，的值总为正数 5．（本题3分）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．（本题3分）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为（   ） A．0 B．0或 C．0或 D．或0或 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（本题2分）计算： ． 8．（本题2分）当 时，分式的值为零． 9．（本题2分）已知，则的值为 ． 10．（本题2分）计算： ． 11．（本题2分）若分式与分式的值相等，则 ． 12．（本题2分）化简 ． 13．（本题2分）计算： ． 14．（本题2分）计算：＝ ． 15．（本题2分）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 16．（本题2分）肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是 ．    17．（本题2分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 18．（本题2分）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 三.解答题（本大题共8题，满分58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算： (1) (2) 20．（本题6分）解分式方程： (1) (2) 21．（本题6分）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 22．（本题6分）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 23．（本题8分）【阅读理解】若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”．例如：，我们称是的“3差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“2差分式”，用含x的代数式表示C； (2)已知，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求的值． 24．（本题8分）某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)求甲、乙单独完成这项工程各需多少天? (2)在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）． 25．（本题8分）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数． ①求G所代表的代数式； ②求x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 26．（本题10分）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $