第13章 分式（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

第13章 分式 教学目标 1. 知道分式的概念及有意义的条件； 2. 掌握分式的基本性质、最简分式、约分等； 3. 会进行分式的运算；整数指数幂的概念及其应用； 4. 分式方程的概念、解法、及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）分式的概念，分式的基本性质； （2）分式的运算，整数指数幂； （3）分式方程及其应用。 2.难点 （1）分式运算有关化简、变形、求值等； （2）分式、分式方程的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 分式及其性质 一、分式的概念 一般地，对于两个整式A、B(B是非零整式),A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母.本章主要讨论分母中含有字母的分式. 二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 三、分式的基本性质 分式的分子和分母乘(或除以)同一个整式，当该整式的值不为0时，分式的值不变，即 这个性质叫做分式的基本性质. 四、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 五、分式的约分，最简分式 1.约分 2x是分式分子、分母的一个公因式，运用分式的基本性质，可以把分子、分母中的2xy约去.像这样，把一个分式的分子与分母中的公因式约去的过程，叫作约分. 2.最简分式 分式、、的分子与分母没有一次及以上的公因式，这样的分式叫作最简分式.与都是最简分式，习惯上，在结果中将化为. 注意：如无特殊说明，本章出现的分式的变形与运算，总是在分式有意义的前提下进行. 3.约分可以化简分式.如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式.有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分.分式的约分一般要使结果成为最简分式. 要点： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 【即学即练】 1．下列式子是分式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．如果把分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 4．若分式的值为0，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．3 知识点2 分式的运算 一、分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：. 注：在本章中做分式除法时，总是默认除式的值不为0. 二、分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. 要点： （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 三、同分母分式的加减 同分母分式的加减： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 四、分式的通分 异分母分数相加减，先将它们转化为分母相同的分数，再利用同分母分数的加减法法则进行计算.异分母分式的加减与之类似.将几个异分母分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分.. 五、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 要点：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 六、零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. 要点：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 七、负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 要点：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 八、整数指数幂在幂的运算的应用 1.同底数幂相除 当m、n是正整数且m<n时， 因此， . 2.同底数幂相乘 思考：当a≠0时，是否对任意整数m、n都成立? 下面我们先讨论m是任意整数且n是负整数的情况： (1)当m>0时，由—n是正整数，得 (2) 当m=0时， (3)当m<0时，由—m、—n是正整数，得 综上所述，当m是任意整数且n是正整数或0时，也可以验证是成立的. 3.幂的运算综合 随着指数的取值范围由正整数扩大到全体整数，前面学过的正整数指数幂的运算性质也推广到了整数指数幂. 当a、b不为0时，对于整数指数幂，有 【即学即练】 1．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．将表示成只含有正整数指数幂的形式： ． 3．计算： 4．计算： 5．按要求计算下列各题： (1)化简：． (2)先化简，再求值：，其中． 知识点3 分式方程 一、分式方程、根与增根 1.分式方程 分母里含有未知数的方程叫分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的根、增根及检验 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根． 要点：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 三、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 要点：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练】 1．下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．解分式方程： (1)； (2)； (3) 3．关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 题型01 判断分式 【典例1】．下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在，，﹣3xy+y2，，，分式的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】．下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 分式有意义的条件 【典例1】．使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≠2 【变式1】．分式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＝2 D．x≠2 题型03 分式的值 【典例1】．若分式的值为，则的值为 ． 【变式1】．若分式的值为0，则x的取值是 ． 题型04 分式的基本性质 【典例1】．分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【变式1】．下列分式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列化简运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05 最简分式；最简公分母 【典例1】．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．分式，，的最简公分母是 ． 【变式3】．分式与的最简公分母是 ． 题型06 约分；通分 【典例1】．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【变式1】．通分： (1)， (2)，． 题型07 分式的运算 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【变式1】．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．将代数式化为只含有正整数指数幂的形式 . 【变式3】．计算： 【变式4】．化简： 【变式5】．先化简，再求值：，其中． 题型08 分式运算的应用 【典例1】．若（其中，为常数），则 ， ． 【变式1】．试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．如果，则的值等于 ． 题型09 判断分式方程 【典例1】．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型10 解分式方程 【典例1】．解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】．解方程： (1) (2) 【变式2】．解方程： (1)； (2)． 题型11 分式方程的代数应用 【典例1】．代数式与代数式的和为1，则 ． 【变式1】．当 时，分式与的值互为相反数． 【变式2】．小明同学解方程的过程如下： 方程两边都乘，得， 解得， ∴是原方程的根， 你认为小明的解法对吗？如果不对，请写出正确的解题过程． 【变式3】．小明准备完成题目：解方程．发现分母的位置“”处印刷不清，查阅答案后得知这个方程的解是，请你帮助小明推断印刷不清的位置可能是（   ） A． B． C． D． 题型12 增根、无解问题 【典例1】．若关于的方程有增根，则的值是 ． 【变式1】．如果关于的方程有增根，那么 ． 【变式2】．若关于方程无解，则的值是 ． 题型13 分式方程的实际应用 【典例1】．某学生计划每天平均看书若干页，则在预定日期可看完300页的书，读了15天后，改变计划每天多读6页，结果比预定日期提前2天读完，设该学生原计划每天读x页，则可列方程： ． 【变式1】．某学校为了响应“绿色校园”倡议，计划在若干个月内种植一定数量的树木，使校园绿化总面积达到平方米．实际在种植时，第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标．求实际执行中每月种植的绿化面积是多少平方米？ 【变式2】．“半马苏河步道”是上海市普陀区依托苏州河岸线打造的城市滨水景观廊道，全长21千米．小普和小陀两位同学沿着该步道行走健身，如果小普的平均步行速度比小陀的平均步行速度快1千米/时，并且小普比小陀提前42分钟走完全程，请你分别求出小普和小陀的平均步行速度． 一、单选题 1．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．无法确定 2．下列各式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　） A．方程两边分式的最简公分母是 B．方程两边都乘以，得整式方程 C．解这个整式方程，得 D．原方程得解为 5．某学校用420元到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜元，结果比原来多买了20瓶，若设原价每瓶x元，则可列出方程（   ）． A． B． C． D． 6．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 7．当 时，分式有意义． 8．已知，则 ． 9．已知分式的值为0，则的值为 ． 10．计算： ． 11．将分式表示成不含分母的形式为 ． 12．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 三、解答题 13．计算：． 14．解方程：． 15．（1）计算：    （2）计算： 16．先化简再求值：，其中． 17．已知． (1)求的值． (2)求的值． 18．某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 19．随着虹桥综合交通枢纽的开工建设，“大虹桥”将成为上海“后世博”阶段重要的经济亮点，上海将形成东有“大浦东”，西有“大虹桥”的“双引擎”格局．现有一个工程，要整修一段全长为1200米的道路，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原来高了，结果提前4小时完成任务，求原计划每小时修路的长度是多少米？ 20．在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 21．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 分式 教学目标 1. 知道分式的概念及有意义的条件； 2. 掌握分式的基本性质、最简分式、约分等； 3. 会进行分式的运算；整数指数幂的概念及其应用； 4. 分式方程的概念、解法、及其应用。 教学重难点 1.重点 （1）分式的概念，分式的基本性质； （2）分式的运算，整数指数幂； （3）分式方程及其应用。 2.难点 （1）分式运算有关化简、变形、求值等； （2）分式、分式方程的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 分式及其性质 一、分式的概念 一般地，对于两个整式A、B(B是非零整式),A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母.本章主要讨论分母中含有字母的分式. 二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 三、分式的基本性质 分式的分子和分母乘(或除以)同一个整式，当该整式的值不为0时，分式的值不变，即 这个性质叫做分式的基本性质. 四、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 五、分式的约分，最简分式 1.约分 2x是分式分子、分母的一个公因式，运用分式的基本性质，可以把分子、分母中的2xy约去.像这样，把一个分式的分子与分母中的公因式约去的过程，叫作约分. 2.最简分式 分式、、的分子与分母没有一次及以上的公因式，这样的分式叫作最简分式.与都是最简分式，习惯上，在结果中将化为. 注意：如无特殊说明，本章出现的分式的变形与运算，总是在分式有意义的前提下进行. 3.约分可以化简分式.如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式.有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分.分式的约分一般要使结果成为最简分式. 要点： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 【即学即练】 1．下列式子是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，解题关键是掌握分母中含有字母的代数式称为分式．根据分式的定义逐一分析各选项的分母是否含有字母，即可得到答案． 【详解】解：A、是分式，故符合题意； B、分母中不含字母，不是分式，故不符合题意； C、分母中不含字母，不是分式，故不符合题意； D、分母中不含字母，不是分式，故不符合题意； 故选：A． 2．下列各式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式．分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式． 根据分子，分母中不含有公因式，不能再约分判断即可． 【详解】解：A、不是分式，故本选项错误； B、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式，故本选项错误； C、该分式的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故本选项正确； D、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式，故本选项错误； 故选：C． 3．如果把分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由分式中的，都扩大到原来的倍， 则， ∴扩大到原来的倍， 故选：． 4．若分式的值为0，则的值为（   ） A．4 B． C．4或 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意“分母不为零”这个条件不能少 ． 根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出的值即可 ． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得： 故选：A ． 知识点2 分式的运算 一、分式的乘除法 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：. 注：在本章中做分式除法时，总是默认除式的值不为0. 二、分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. 要点： （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成 （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负. （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分. （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如. 三、同分母分式的加减 同分母分式的加减： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 四、分式的通分 异分母分数相加减，先将它们转化为分母相同的分数，再利用同分母分数的加减法法则进行计算.异分母分式的加减与之类似.将几个异分母分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分.. 五、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 要点：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 六、零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. 要点：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 七、负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 要点：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 八、整数指数幂在幂的运算的应用 1.同底数幂相除 当m、n是正整数且m<n时， 因此， . 2.同底数幂相乘 思考：当a≠0时，是否对任意整数m、n都成立? 下面我们先讨论m是任意整数且n是负整数的情况： (1)当m>0时，由—n是正整数，得 (2) 当m=0时， (3)当m<0时，由—m、—n是正整数，得 综上所述，当m是任意整数且n是正整数或0时，也可以验证是成立的. 3.幂的运算综合 随着指数的取值范围由正整数扩大到全体整数，前面学过的正整数指数幂的运算性质也推广到了整数指数幂. 当a、b不为0时，对于整数指数幂，有 【即学即练】 1．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 2．将表示成只含有正整数指数幂的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂的运算法则求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的计算，分解因式，先利用平方差公式把原式分解因式，再合并同类项并计算即可得到答案． 【详解】解： ． 4．计算： 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，能正确进行通分和约分是解此题的关键．先将括号内的部分进行通分，再根据同分母的分式减法法则计算，然后把除法转化为乘法，约分化简即可得到答案． 【详解】解： 5．按要求计算下列各题： (1)化简：． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查分式的混合运算，化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，利用乘法分配律，进行计算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； 当时，原式． 知识点3 分式方程 一、分式方程、根与增根 1.分式方程 分母里含有未知数的方程叫分式方程. 要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未 知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的根、增根及检验 分式方程的解也叫作分式方程的根． 在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根． 要点：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 三、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 要点：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【即学即练】 1．下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 2．解分式方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法，注意最后对方程的解进行检验． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 3．关于x的方程有增根，那么m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． 4．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程，注意单位变换． 【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，走路线二时的平均速度为千米/小时， 故选D． 题型01 判断分式 【典例1】．下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，即一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子 叫做分式．根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A. 是整式，不符合题意； B. 是整式，不符合题意； C. 是整式，不符合题意； D. 是分式，符合题意； 故选：D． 【变式1】．在，，﹣3xy+y2，，，分式的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】分式有：，，共2个． 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意判断分式的条件是：含有分母，且分母中含有未知数． 【变式2】．下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）属于分式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分式的定义求解即可，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母． 【详解】解∶ （1）是整式；（2）是分式；（3）是分式；（4）是整式；（5）是整式． 故分式有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 题型02 分式有意义的条件 【典例1】．使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≠2 【答案】D 【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】∵使分式有意义， ∴x﹣2≠0， 解得：x≠2． 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 【变式1】．分式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x＝2 D．x≠2 【答案】D 【分析】分式有意义时分母不等于0,据此即可解题. 【详解】解：∵分式有意义， ∴4-2x≠0 解得：x≠2, 故选D. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件,属于简单题,熟悉分式有意义时分母不等于零是解题关键. 题型03 分式的值 【典例1】．若分式的值为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零即可． 【详解】解：若分式的值为，则 【点睛】本题考查分式的值为零的条件，即分子为零，分母不为零． 【变式1】．若分式的值为0，则x的取值是 ． 【答案】-2 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求解可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x2-4=0且2-x≠0， 解得x=-2， 故答案是：-2． 【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 题型04 分式的基本性质 【典例1】．分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质，根据题意及分式的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵字母的值都扩大为原来的2倍为， ∴分式的值不变， 故选：C． 【变式1】．下列分式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变．据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】．下列化简运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：，故项计算正确，不符合题意； ，故B项计算错误，符合题意； 故项计算正确，不符合题意； ，故项计算正确，不符合题意； 故选：B 题型05 最简分式；最简公分母 【典例1】．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握分子分母不含公因式的分式叫做最简分式成为解题的关键． 根据最简分式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意；     B、 ，是最简分式，符合题意；     C、 ，不是最简分式，不符合题意；     D、，不是最简分式，不符合题意。 故选B． 【变式1】．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的概念，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵是最简分式， ∴A符合题意， ∵=， ∴B不符合题意， ∵==， ∴C不符合题意， ∵＝＝， ∴D不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查最简分式的概念，掌握分式的约分，是解题的关键． 【变式2】．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】15abx3 【分析】根据最简公分母的确定方法解答． 【详解】解：，，的最简公分母是15abx3， 故答案为：15abx3． 【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【变式3】．分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，根据平方差和完全平方公式先把分母因式分解，再确定最简公分母即可，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴最简公分母是， 故答案为：． 题型06 约分；通分 【典例1】．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 【变式1】．通分： (1)， (2)，． 【答案】(1)和 (2)和 【分析】（1）（2）最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．依此即可求解． 【详解】（1）∵两个分式分母分别为，未知数系数的最小公倍数为， ∵a，b，c的最高次数为2，2，1， ∴最简公分母为， 将，通分可得：和； （2）， ∴最简公分母是， ， ． 【点睛】本题考查了通分，规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． 题型07 分式的运算 【典例1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先根据同分母分式加减计算，再分子分母分解因式，约分化为最简分式即可； （）先计算括号内的加减，再计算乘法即可； 本题考查了分式的化简，熟悉通分、约分的法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 【变式1】．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】．将代数式化为只含有正整数指数幂的形式 . 【答案】 【分析】根据负指数幂的性质即可求解. 【详解】化为只含有正整数指数幂的形式为： 故填：. 【点睛】此题主要考查负指数幂的运算，解题的关键是熟知负指数幂的性质. 【变式3】．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 【变式4】．化简： 【答案】0 【分析】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及分式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．直接利用负整数指数幂的性质以及分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 【变式5】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算可得结果． 【详解】解：原式         ，             当时，原式． 题型08 分式运算的应用 【典例1】．若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 【变式1】．试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的除法计算可得答案． 【详解】解：由， 得， 即， ∴， 故选：B． 【变式2】．如果，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则与运算率进行分式的化简求值是解题的关键． 先得到，然后把分式得分子、分母，同时除以，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型09 判断分式方程 【典例1】．下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， B．选项中的方程，分母不含未知数，不符合题意， C．选项中的方程符合分式方程的定义，符合题意， D．选项是代数式，不是等式，不符合题意， 故选：C． 【变式1】．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 【变式2】．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 题型10 解分式方程 【典例1】．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，要注意解分式方程必须检验． （1）先把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可； （2）先把分式方程化成整式方程，再求解，最后检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 经检验，是原方程的根， 是原方程的解． （2）解：方程两边同时乘得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 经检验，是原方程的根， 是原方程的解． 【变式1】．解方程： (1) (2) 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，等式的性质，解题的关键是正确运用等式的性质，准确进行计算． （1）运用去分母法解方程即可，解出后注意要检验； （2）找到公分母，消去分母，运用去分母法求解即可，解后注意检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 解得，， 检验：将代入最简单公分线， 此方程无解． （2）去分母，得， 解得，， 检验：把代入最简公分线， 原方程的解为 【变式2】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程， （1）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 去分母：方程两边同乘： 移项得， 即． 经检验是原方程的解； （2）解： 去分母：方程两边同乘： 移项得， 即． 经检验是原方程的解． 题型11 分式方程的代数应用 【典例1】．代数式与代数式的和为1，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意得到，然后根据分式方程的解法求出x的值，再检验方程的根即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得, ， 去括号得, ， 移项并合并同类项得, ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴, 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，理解去分母、去括号、移项并合并同类项、未知数系数化1，检验方程的根是解答关键． 【变式1】．当 时，分式与的值互为相反数． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，得∶， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为∶0． 【变式2】．小明同学解方程的过程如下： 方程两边都乘，得， 解得， ∴是原方程的根， 你认为小明的解法对吗？如果不对，请写出正确的解题过程． 【答案】小明的解法不对，正确解法见解析． 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：小明的解法不对，正确解法如下： 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 【变式3】．小明准备完成题目：解方程．发现分母的位置“”处印刷不清，查阅答案后得知这个方程的解是，请你帮助小明推断印刷不清的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解分式方程，设印刷不清的位置的式子为，把代入分式方程计算确定出即可． 【详解】解：设印刷不清的位置的式子为，即， 把代入得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为， ∵， ∴，，，， ∴推断印刷不清的位置可能是． 故选：A． 题型12 增根、无解问题 【典例1】．若关于的方程有增根，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得，， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【变式1】．如果关于的方程有增根，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握解决分式方程增根问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．据此解答即可． 【详解】解：在方程两边同乘以得：， ∵分式方程的解是增根， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【变式2】．若关于方程无解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出的值，两者相等得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于方程无解， ， ， ， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解分式方程、分式方程无解，熟练掌握解分式方程的步骤以及理解分式方程无解的情况是解题的关键． 题型13 分式方程的实际应用 【典例1】．某学生计划每天平均看书若干页，则在预定日期可看完300页的书，读了15天后，改变计划每天多读6页，结果比预定日期提前2天读完，设该学生原计划每天读x页，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找出合适的等量关系，列出方程．设他原计划平均每天读x页书，则他需要天读完，根据改变计划后结果比预定日期提前2天读完可列出关于x的方程． 【详解】解：设他原计划平均每天读x页书，根据题意得： ， 故答案为：． 【变式1】．某学校为了响应“绿色校园”倡议，计划在若干个月内种植一定数量的树木，使校园绿化总面积达到平方米．实际在种植时，第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标．求实际执行中每月种植的绿化面积是多少平方米？ 【答案】实际执行中每月种植的绿化面积是30平方米 【分析】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验． 设实际执行中每月种植的绿化面积是平方米，则原计划每月种植的绿化面积是平方米，根据第一个月比原计划每个月多种植平方米，并且按照这个进度继续推进，结果可以提前个月完成目标，列出分式方程，解方程即可解答． 【详解】解：设实际执行中每月种植的绿化面积是平方米，则原计划每月种植的绿化面积是平方米，根据题意得： 解得：，（不符合题意，舍去） 经检验是原方程的解，且符合题意； 答：实际执行中每月种植的绿化面积是30平方米． 【变式2】．“半马苏河步道”是上海市普陀区依托苏州河岸线打造的城市滨水景观廊道，全长21千米．小普和小陀两位同学沿着该步道行走健身，如果小普的平均步行速度比小陀的平均步行速度快1千米/时，并且小普比小陀提前42分钟走完全程，请你分别求出小普和小陀的平均步行速度． 【答案】小普的平均步行速度是6千米/时，小陀的平均步行速度是5千米/时 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设小普的平均步行速度是千米时，则小陀的平均步行速度是千米时．根据小普比小陀提前42分钟走完全程为等量关系列出分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设小普的平均步行速度是千米时，则小陀的平均步行速度是千米时． 因为42分钟小时， 由题意， 即 即 解得 经检验：都是原方程的根， 但不合题意，应舍去， 所以小陀的平均步行速度（千米/时） 答：小普的平均步行速度是6千米/时，小陀的平均步行速度是5千米/时． 一、单选题 1．如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和，用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：， ∴将x，y的值都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍． 故选：A． 2．下列各式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式的判断，分式的分子分母中再没有公因式，则是最简分式，据此判断即可． 【详解】解：，，， 只有不能约分，它是最简分式； 故选：A． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 4．解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（　　） A．方程两边分式的最简公分母是 B．方程两边都乘以，得整式方程 C．解这个整式方程，得 D．原方程得解为 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程．按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解：， 方程两边同时乘以去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原方程无解， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 5．某学校用420元到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜元，结果比原来多买了20瓶，若设原价每瓶x元，则可列出方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原价每瓶x元，则现价每瓶元，根据现在比原来多买了20瓶列出方程即可． 【详解】解：设原价每瓶x元， 由题意得，， 故选：A． 6．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解答本题的关键．把变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．当 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不为0列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 8．已知，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时，解得： 当时，解得：， 当且为偶数时，解得：， ∴的值为或或． 故答案为：或或． 9．已知分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件．要使分式的值为0，需先满足分子等于0，再排除分母等于0的情况，从而确定x的值． 【详解】解：依题意得且． 解得． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除、同底数幂的除法，掌握相关法则是解题的关键． 根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 11．将分式表示成不含分母的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂．根据负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出至，可知从开始，的值每6个一循环，结合，可知，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， ， ， ， …… 以此类推，可知从开始，的值每6个一循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 14．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】解：， ∴， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：． 15．（1）计算：    （2）计算： 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题主要考查分式的混合运算； （1）先因式分解，再应用除法法则，再约分计算即可； （2）先应用乘法分配律，再约分计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 16．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 17．已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，据此可得答案； （2）根据完全平方公式可得，据此可得答案． 【详解】（1）解；∵，即， ∴，即， ∴，即； （2）解：∵， ∴ ． 18．某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】原计划每天铺设管道9米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间+铺设的时间天，列方程求解即可． 【详解】解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：， 解得， 经检验 是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道9 米． 19．随着虹桥综合交通枢纽的开工建设，“大虹桥”将成为上海“后世博”阶段重要的经济亮点，上海将形成东有“大浦东”，西有“大虹桥”的“双引擎”格局．现有一个工程，要整修一段全长为1200米的道路，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际工作效率比原来高了，结果提前4小时完成任务，求原计划每小时修路的长度是多少米？ 【答案】原计划每小时修路米 【分析】本题考查分式方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 设原计划每小时修路米，得到实际每小时修路米，根据时间差4小时列分式方程，解分式方程即可，最后要验根． 【详解】解：设原计划每小时修路米，则 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每小时修路米． 20．在计算 的值时，大家可以利用裂项的思想方法，即 请你利用裂项的思路解决下列问题． (1)化简： (2)解分式方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察数字的变化规律，利用裂项的思路即可求得结果； （2）利用裂项的思路化简后，解分式方程即可． 本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算，解分式方程，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：依题意， ∵ ∴原方程化简为 去分母，得． 整理，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 21．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据异分母分式减法法则计算即可； （2）根据新定义，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； （2）解：由题意可得：， 即， ∴， 即， ∴， 解得：； （3）解： ； ∵P与Q互为“差离分式”，， ∴， ∴， ∴． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $