精品解析：河南省商丘市民权县部分农村初中联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度上期期中素质测试题九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 一元二次方程的一次项系数为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 4 2. 以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A. 乒乓球 B. 篮球 C. 排球 D. 冲浪 3. 抛物线在同一直角坐标系内，则它们（ ） A. 都关于轴对称 B. 开口方向相同 C. 都经过原点 D. 互相可以通过平移得到 4. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 6. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 实数根的个数由b的值确定 B. 没有实数根 C. 两根互为倒数 D. 若，则两根互为相反数 8. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A. 是“乾坤点” B. 函数的图象上存在2个“乾坤点” C. 函数是“乾坤函数” D. 若“乾坤函数”（，为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个一元二次方程，使方程其中一个根为0___________． 12. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为___________s． 13. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起（点C与点D重合，点B与点F重合），固定三角板，将另一块三角板绕公共顶点B顺时针旋转，当与平行时，旋转角度为________． 14. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为_____ 15. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_______； （2）若新抛物线有，两点，且，则的取值范围为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求解下列方程： （1）（用配方法）； （2）． 17. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）把向下平移8个单位后得到对应的，画出； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点对称的； （3）用无刻度直尺找出的三边中线的交点，请在图中标出点的位置． 18. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：； （2）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由． 19. 已知抛物线图象上一点． （1）求的值； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）画出这条抛物线大致图象（草图），并根据图象回答： ① 当取什么值时，y＞0 ？ ② 当取什么值时，y的值随的增大而减小？ 20. 八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； （3）赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 21. （1）若所在圆的圆心为O，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）若弦的长为，的中点到弦的距离为，求弓形的半径R． 22. 如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 23. 【问题发现】如图①所示，四边形为正方形，为其对角线，在边上取点P，作，则此时，的数量关系为________，的形状为________； 【拓展延伸】如图②所示，将绕点C顺时针旋转，旋转角为，请问此时线段，的位置关系与数量关系是什么？说出你的理由； 【类比探究】如图③当旋转角为时， ①与的位置关系是________； ②若，，连接，则的面积为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期中素质测试题九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 一元二次方程的一次项系数为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．一元二次方程的一般形式是：，，是常数且．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是0． 故选：B． 2. 以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是（　　） A. 乒乓球 B. 篮球 C. 排球 D. 冲浪 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，解题的关键是依据“绕某点旋转180°后与原图形重合的图形是中心对称图形”逐一判断． 根据中心对称图形的定义，依次判断各选项图标绕某点旋转180°后是否与原图形重合，找出不重合的选项． 【详解】解：选项A（乒乓球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项B（篮球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项C（排球）：绕某点旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形； 选项D（冲浪）：绕某点旋转180°后，图形的“叶片”方向与原图形不一致，无法重合，不是中心对称图形． 故选D． 3. 抛物线在同一直角坐标系内，则它们（ ） A. 都关于轴对称 B. 开口方向相同 C. 都经过原点 D. 互相可以通过平移得到 【答案】A 【解析】 【分析】从这两个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴，对称轴为轴,的符号决定开口方向，利用抛物线的性质逐项分析得出结论． 【详解】．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴，对称轴为轴，都关于轴对称,该选项正确； ．前一个，开口向上，后一个，开口向下，该选项错误； 前一个经过原点，后一个经过点，该选项错误； ．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项错误；. 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 4. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项分析即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，，故正确； 而与不一定平行，故D不一定正确， 故选：D． 5. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立， 那么点应该在圆内或者圆上. 故选D. 【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系. 6. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理（直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），解题的关键是利用圆周角定理推导角度关系．连接，由是直径得，结合求出；再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，计算得． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 与都对着， ． 故选：A． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 实数根的个数由b的值确定 B. 没有实数根 C. 两根互为倒数 D. 若，则两根互为相反数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根， 两根之积等于， 当时，方程变形为，解得或，即两根互为相反数， 故选：D． 8. 如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A. 是“乾坤点” B. 函数的图象上存在2个“乾坤点” C. 函数是“乾坤函数” D. 若“乾坤函数”（，为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解．根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D． 【详解】解：A．，故不是“乾坤点”，故选项错误，不符合题意； B．函数的图象上存在“乾坤点”， ，解得， 函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项错误，不符合题意； C．若函数是“乾坤函数”， 则， ， 方程无解， 函数的图象上不存在“乾坤点”， 函数不是“乾坤函数”，故选项错误，不符合题意； D．是“乾坤函数”， ， 化简得， “乾坤函数”图象上有且只有1个“乾坤点”， 有两个相等的实数根， ， ， 方程为， 解得， ， “乾坤点”的坐标为，故选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个一元二次方程，使方程其中一个根为0___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根直接写出方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程其中一个根为0 ∴方程为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的相关概念，熟练掌握一元二次方程的根的概念是解答此题的关键． 12. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为___________s． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求二次函数的自变量，一元二次方程，掌握以上性质是解题的关键．把代入，化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：将代入，得， 即， ， 解得（不符合题意，舍去），或． 故答案为：． 13. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起（点C与点D重合，点B与点F重合），固定三角板，将另一块三角板绕公共顶点B顺时针旋转，当与平行时，旋转角度为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，旋转的性质，先证明，结合，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角， 故答案为： 14. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式．根据题意利用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵圆心角度数为，半径为， ∴， 故答案为：． 15. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_______； （2）若新抛物线有，两点，且，则的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据二次函数的图象的对称性求出抛物线的对称轴，再根据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，确定点、与对称轴距离的远近． 根据当时和抛物线经过点过，可知点和关于对称轴对称，可知抛物线的对称轴是直线； 根据抛物线向左平移个单位长度，可知平移后新抛物线的对称轴是直线，根据可知点离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，所以可得的中点在对称轴的左侧，从而得到不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】当时， 二次函数的图象过， 又二次函数的图象过， 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：； 解：抛物线向左平移个单位长度， 新抛物线的对称轴是直线， 抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ， 离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远， 的中点在对称轴的左侧， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求解下列方程： （1）（用配方法）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法（如配方法、公式法等）． （1）通过配方法解答这个问题． （2）通过合适的方法（如公式法）解一元二次方程，得到方程的两个解和． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 方程有两个不等的实数根， ， ． 17. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为，的顶点均在格点上．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）把向下平移8个单位后得到对应的，画出； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点对称的； （3）用无刻度直尺找出的三边中线的交点，请在图中标出点的位置． 【答案】（1） 解：根据题意得， 即为所求； （2）解：根据题意得， 即为所求； （3）解：根据题意得， 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，作中心对称图形，掌握平移和中心对称图形的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据中心对称图形的性质画出图形即可； （3）利用网格找到中线的位置即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：； （2）判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由． 【答案】 （1）∵AB为⊙O的直径 ∴ 在和中 ∴（HL） （2）直线与⊙O相切，理由如下： 连接OD，如图所示： 由知：， 又∵OA=OB ∴OD为的中位线 ∴ ∵ ∴ ∵OD为⊙O的半径 ∴DE与⊙O相切． 【解析】 【分析】（1）AB为⊙O的直径得，结合AB=AC，用HL证明全等三角形； （2）由得BD=BC，结合AO=BO得OD为的中位线，由得，可得直线DE为⊙O切线． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，切线的判定，熟知以上知识的应用是解题的关键． 19. 已知抛物线图象上一点． （1）求的值； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）画出这条抛物线大致图象（草图），并根据图象回答： ① 当取什么值时，y＞0 ？ ② 当取什么值时，y的值随的增大而减小？ 【答案】（1）3 （2）和 （3） 画出草图，如下： ①；② 【解析】 【分析】（1）把点代入，即可求解； （2）令，可得，解出即可； （3）求出抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点，画出图形，①观察图象得：当时，；②当时，y随x的增大而减小，即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点为和； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； ①观察图象得：当时，； ②当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 20. 八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； （3）赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】（1）15 （2） 小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； （3）4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 21. （1）若所在圆的圆心为O，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）若弦的长为，的中点到弦的距离为，求弓形的半径R． 【答案】（1）圆心如图所示，  ； （2）弓形的半径为 【解析】 【分析】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，即可求解； （2）根据垂径定理得出，，在中，运用勾股定理列式，代入数值计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接 设为的中点，交于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∵， ∴ 解得： ∴弓形的半径为． 22. 如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 【答案】（1） （2）这一列最多能叠放5个套盒 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．正确进行计算是解题关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为：，经过原点，即可求出，得到抛物线的解析式； （2）由题意得熏炉套盒最左侧在轴的横坐标为，将代入，可解得厘米，即可求出答案． 【小问1详解】 解：熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米， 可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 根据图象可知抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：熏炉套盒最左侧在轴的横坐标为，将代入， 可解得：厘米， 这一列最多能叠放5个套盒． 23. 【问题发现】如图①所示，四边形为正方形，为其对角线，在边上取点P，作，则此时，的数量关系为________，的形状为________； 【拓展延伸】如图②所示，将绕点C顺时针旋转，旋转角为，请问此时线段，的位置关系与数量关系是什么？说出你的理由； 【类比探究】如图③当旋转角为时， ①与的位置关系是________； ②若，，连接，则的面积为________． 【答案】问题发现：相等，等腰直角三角形 ； 拓展延伸：，， 如图所示，延长交于点F，交于点E． 由旋转的性质可得， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即． 类比探究：①；② 【解析】 【分析】问题发现：由正方形的性质可得，，再由平行线的性质可得，即可得解； 拓展延伸：延长交于点F，交于点E．证明，得出，，即可得解； 类比探究：①延长，作，垂足为N；作，垂足为H．根据等腰直角三角形的性质求解即可；②解直角三角形得出．证明四边形是边长为1的正方形，再由计算即可得解． 【详解】解：问题发现：∵四边形为正方形，为其对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴，的形状为等腰直角三角形； 拓展延伸： 略 类比探究：①， 如图所示，延长，作，垂足为N；作，垂足为H． ， ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴； ②在中，，， ∴． ∵四边形为矩形，且， ∴四边形是边长为1的正方形． ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $