2025年九年级中考数学专题复习 ——反比例函数

该初中数学讲义聚焦反比例函数中考专题，覆盖概念、图象性质、k的几何意义、与一次函数综合及实际应用五大核心考点，通过“知识梳理-考点归纳-方法指导-真题训练”四阶教学流程，帮助学生系统构建知识网络，突破性质应用、综合计算等难点。 亮点在于“考点-例题-方法”三位一体教学策略，如通过例3坐标比较大小展示数形结合、代入计算等多种解法，培养学生数学思维和几何直观。设置分层巩固练习，配合真题式限时训练，确保高效突破考点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

中考数学专题复习之反比例函数 反比例函数是初中阶段所学习的一类比较简单但又很重要的函数，具有广泛的应用.同学们已有了研究函数的一定经验和方法基础，也储备了反比例函数有关知识的基础，为更系统、有效地复习反比例函数有关内容、深化所学知识的关键环节，结合新课程标准对反比例函数的有关要求，梳理反比例函数的重难点十分有必要. 反比例函数专题复习旨在巩固、消化数学基础知识，进一步提高分析、解决问题的能力，同时又能查缺补漏，总结解题方法，吃透中考考点及常见题型，以达到一举多得的效果.接下来我们通过复习反比例函数的概念、图象与性质，整合运用反比例函数相关知识解决某些简单的实际问题. 一、梳理知识，夯实基础 1.反比例函数的概念：一般地，如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数. 2.反比例函数的表达式有三种表示方法： ①；②；③ 注意：；，. 3.反比例函数的图象与性质： （1）反比例函数的概念：一般地，如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数. （2）反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每个象限内，随的增大而增大. 因为，，所以反比例函数图象无限靠近坐标轴，但不与两条坐标轴相交. （3）反比例函数图象是中心对称图形，其对称中心是坐标原点； （4）反比例函数图象也是轴对称图形，对称轴为直线和直线. 4.反比例函数比例系数的几何意义. 反比例函数的图象上任取一点，过点分别作轴、轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于。 . 二、对标考点，归纳方法 考点1：利用反比例函数的概念解决问题 例1.若是反比例函数，则。 分析解答：将转化为的形式，根据反比例函数的概念知，且，故可得到。 方法归纳：反比例函数的概念中关注下面两个重要条件： （1）符合反比例函数三种表达形式中一种即可：、、。 （2）注意。 考点2：利用反比例函数的图象与性质解决问题 例2.反比例函数的图象，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 分析解答：由反比例函数，当时，随的增大而减小，可得到，即。 方法归纳：反比例函数图象在一、三象限，，反比例函数图象在二、四象限，，从而可以确定的取值范围。 例3.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A. B. C. D. 分析解答：解法一，根据反比例函数的性质，因为，函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，可得到。 解法二，根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点、、的坐标分别代入表达式计算出、、的值，然后比较大小即得答案选A。 解法三，结合反比例函数的图象分析得到答案选A。 方法归纳：已知反比例函数图象上几个点的横坐标，想要比较纵坐标的大小关系，可以直接将横坐标代入函数表达式判断函数值大小，也可以利用反比例函数的性质作出判断，还可以结合反比例函数的图象分析得到结果，通常用数形结合的方法更为简便，这也是常用来解决函数问题的一种重要思想方法. 考点3：反比例函数比例系数k的几何意义 例4.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC，若的面积为3，则k的值是______. 分析解答：根据的面积为2，可以得到的面积也是2，再根据反比例函数k的几何意义得，再由函数图象位于第二象限，确定. 方法归纳：反比例函数的系数k的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键，将点的坐标与图形的边长和高相联系、过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线段，构造矩形或直角三角形都是常用的方法. 考点4：反比例函数与一次函数的综合应用 例5.如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，B两点，则B点坐标是（     ） A. B. C. D. 分析解答：将分别代入和，即可求出，，得到B点坐标为，故选B. 方法归纳：解反比例函数有关问题时，应充分考虑其对称性.如此题反比例函数与正比例函数相交，想要求点B的坐标，根据反比例函数图象与正比例函数图象都关于原点中心对称，它们的交点也关于原点中心对称，求出点A坐标就可以求出点B坐标. 例6.如图，反比例函数的图象与一次函数图象相交于，B两点. （1）求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）请直接写出B点的坐标，并指出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围. 分析解答：（1）将代入，得， ∴反比例函数的表达式为. 将代入，得， ， 一次函数的表达式为。 （2）； 当 x < -1 或时，反比例函数值大于一次函数值。 方法归纳：通常用待定系数法来确定函数表达式；利用图象比较 函数值的大小时，应先找出两个函数图象的交点，再根据交点左右两侧 两个图象的上下位置关系来确定函数值的大小。 考点5：反比例函数的实际应用 例7.为了预防“新型冠状病毒”感染，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒。已知药物燃 烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例 （如图所示），现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为，请你根据题中 所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与的函数关系式为 ，药物燃烧后与的函数关系式为 。 （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能有 效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 解：（1）； （2） 将代入，得：；将代入，得： ，因为，所以这次消毒是有效的。 方法归纳：反比例函数的应用需注意以下几点： （1）在解决一些实际问题时，经常会利用反比例函数建立模型，把 实际问题转化成数学问题； （2）列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。 （3）当根据图象所给信息我们不能得到交点横坐标时，我们可以从“数”的角度通过运算来解决问题。 三、巩固练习，内化知识 1. 已知反比例函数的表达式为 ，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 2. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的 大小关系是（     ） A. y1< y2 <y3 B. C. y1< y3 < y2 D. 3. 已知反比例函数，且在各自象限内， 随 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（     ） A. B. C. D. 4. 已知点 ， 都在反比例函数的图象上，且 ，则 ， 的关系一定成立的是（     ） A. B. C. D. 5. 如图1， 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点 在反比例函数的图象上，则经过点 的函数图象表达式为____。 6. 如图2是同一直角坐标系中函数和的图象，观察图象可得不等式的解集为（     ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图3，已知 ， 是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点。 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求 的面积； （3）根据图象直接写出不等式时 的解集。 8. 已知电灯电路两端的电压 为220V，通过灯泡的电流强度 （A）的最大限度不得超过0.11A。设选用灯泡的电阻为 ，下列说法正确的是（     ） A. 至少2000 B. 至多2000 C.R至少24.2Ω D.R至多24.2Ω 通过反比例函数的专题复习我们进一步理解了反比例函数的概念、图象及性质，能根据题目所给信息确定反比例函数表达式，能画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，体会到函数的应用价值，逐步学会用数学的眼光考察实际问题，用数学的语言去表达现实世界，学会从函数观点出发，分析实际情境建立函数模型，灵活运用有关知识解决实际问题. 【参考答案】 1.C;2.B;3.B;4.A;5. ;6.D; 7. 解：（1） ∵ 在函数 的图象上， ∴ ， ∴ 反比例函数的表达式为： . ∵ 点 在函数 的图象上， ∴ ， ∴ . ∵ 经过 ， ， ∴ ， 解得 k = -1 , b = -2 ， ∴ 一次函数的表达式为： ； （2） ∵ 是直线 与 轴的交点， ∴ 当 时， ， ∴ 点 ， ∴ ， ∴ ； （3） 不等式 时 的解集为 或 . 8. 解： ∵ 电压 一定时， 电流强度 与灯泡的电阻为 成反比例， ∴ . ∵ 通过灯泡的电流强度 的最大限度不得超过 ， ∴ ， ∴ . 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $