2026年 九年级中考数学专题复习讲义 反比例函数的图象与性质

反比例函数的图象与性质 课标要求 1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 2. 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解和时图象的变化情况.知道当和时反比例函数图象的整体特征（2022版课标调整）. 3. 能用反比例函数解决简单实际问题. 知识·要点梳理 知识点1反比例函数的概念 1. 定义：形如① （是常数，）的函数叫反比例函数. 特别提示：自变量的取值范围是② . 2. 三种解析式：（1）；（2）；（3）. 知识点2反比例函数的图象与性质 解析式 图象 所在象限 第③____象限 第④____象限 增减性 在每个象限内，随的增大而⑤____ 在每个象限内，随的增大而⑥____ 教材链接 1. （人教九下P8习题T2变式）下列关系式中，是的反比例函数的是（     ） A. B. C. D. 2. （教材整合）（1）函数的图象的两个分支分布在第____象限，在每个象限内，随的增大而____； （2）函数的图象的两个分支分布在第____象限，在每一个象限内，随的减小而____. 渐进 趋势 左、右方向无限接近⑦______轴，上、下方向无限接近⑧______轴（图象无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交） 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴是直线⑨______，对称中心是⑩______ 画法 （1）列表：表示几组x与y的数对； （2）描点：以表中各数对为坐标，描出各点； （3）连线：用平滑的曲线顺次连接这些点即可 知识点3反比例函数中k的几何意义 如图所示，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，则所得矩形PMON的面积为⑪________ 拓展1：如图所示，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作x轴（或y轴）的垂线，则所得三角形的面积=⑫________ 拓展2：如图所示，点P与其对称点是反比例函数的图象上两点，过点P作x轴（或y轴）的垂线，则=⑬_____ 温馨提示 一般反比例函数与几何图形（三角形、四边形）结合，可直接利用k的几何意义求面积，若图形为不规则图形，则先将其分割，然后求其面积之和. （3）如图，有反比例函数和的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则=____. 3.（北师大版九上P155想一想拓展） (1)如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B.若四边形PAOB的面积为5，则k的值是（     ） A.10 B. C.5 D. (2)如图，过反比例函数的图象上一点A作轴于点B，连接AO.若，则k的值为（     ） A.2 B.3 知识点4反比例函数解析式的确定 1. 设函数解析式为（k）是常数，（k0）； 2. 根据图象经过点的坐标或已知的对应关系列方程； 3. 解方程，求出待定系数k； 4. 将k代入确定解析式. 知识点5反比例函数的实际应用 利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种： 1. 已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得\（k\）的值； 2. 题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式. 反比例函数实际应用中的常见等量关系： ，， ，， ，. 温馨提示 列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. C.4 D.5 4.（人教版九下P8练习T1变式）已知正比例函数与反比例函数（）的一个交点是，则另一个交点是（，），反比例函数解析式为. 5.(人教版九下P15练习T2变式)小凡驾驶汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为240km，设小汽车的行驶时间为h，行驶速度为，且全程速度限定为不超过. （1）则关于的函数解析式为；（并写出自变量的取值范围） （2）小凡上午9点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点之前（含12点）到达B地，汽车行驶速度的取值范围为. 思考·考点突破 考点1 反比例函数的图象与性质 【典例1】（2024·贵州贵阳二模）若，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（     ） A. B. C. D. 方法点拨 比较反比例函数值大小的方法： （1）直接代入求解：将各自对应的横坐标值代入反比例函数解析式中，求出值，直接比较； （2）利用函数图象判断：先根据反比例函数的值确定反比例函数的增减性，再看两点是否在同一分支上，若不在同一分支上则可直接判断；若在同一分支上则利用增减性判断. 变式训练 1.（2024·贵州铜仁三模）若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，大小关系为（     ） A. B. C. D. 考点2 反比例函数中比例系数的几何意义 【典例2】 （2024·贵州六盘水二模）如图，点在反比例函数的图象上，点的坐标是，点的坐标是，则的面积是（     ） A.30 B.3 C.60 D.6 易错警示 （1）忽略图象所在的象限而导致的符号出错；（2）弄错矩形或三角形面积与的倍数关系. 变式训练 2.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点.若，则_____. 考点3 反比例函数中的图象共存问题 【典例3】 （2024·贵州黔东南一模）已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） 变式训练 3. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） 考点4反比例函数的实际应用 【典例4】（2024·贵州贵阳一模）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降。在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示。 （1）当时，求出与之间的函数关系式； （2）求饮水机自动停止加热到水温降到室温的时间。 【典例5】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点. （1）求，两点的坐标； （2）将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点. 若，求的值. 方法点拨 设问形式 解题指导 确定交点坐标 联立两个函数解析式，利用方程思想求解 确定函数解析式 利用待定系数法，先确定交点坐标，再代入函数的解析式求解 变式训练 4. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、点，以线段为边在第一象限作正方形. 反比例函数在第一象限内的图象经过点. （1）求反比例函数的解析式； （2）将正方形沿轴向上平移几个单位长度能使点落在（1）中所得的双曲线上？ 真题·明晰命题 命题1反比例函数的图象 1.（2022·黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（     ） A.一、二、三    B.一、二、四    C.一、三、四    D.二、三、四 2.（2022·贵阳）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上.根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（     ） A.点P    B.点Q    C.点M    D.点N 命题2反比例函数比例系数k的几何意义 3.（2022·毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图象经过点C，E.若点A（3，0），则k的值是____. 4.（2022·铜仁）如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，.若四边形AOBC的面积为6，，则k的值为____. 命题3反比例函数的图象与性质 5.（2024·贵州）已知点（1，3）在反比例函数的图象上. （1）求反比例函数的解析式； (2)点(，a)，(1，b)，(3，c)都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由. 6.(2022·安顺)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为(4，0)，(4，m)，直线与反比例函数的图象交于C，P(，)两点. （1）求该反比例函数的解析式及m的值； （2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由. 命题4反比例函数和一次函数的综合应用 7.（2023·贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点. （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围. 8.（2022·贵阳）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点. （1）求这个反比例函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围. 素养·熟知考向 1.[新考向]（2024·扬州）在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是（     ） A.0 B.1 C.2 D.4 2.[新情境]（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度. 3.[新考向]（2024·福建）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限.若，则点的坐标为. 参考答案 反比例函数的图象与性质参考答案 知识点1 1. ① ② 知识点2 ③一、三 ④二、四 ⑤减小 ⑥增大 ⑦ ⑧ ⑨ ⑩坐标原点 知识点3 ⑪ ⑫ ⑬ 教材链接 1.B 2.（1）二、四 增大 （2）一、三 增大 (3) 3.(1)D(2)C 4.-2， 5.（1） (2) 思维·考点突破 考点1 【典例1】A 变式训练 1.D 考点2 【典例2】B 变式训练 2. 考点3 【典例3】C 变式训练 3.A 考点4 【典例4】（1）解：（1）设加热过程中函数解析式为，点，在函数图象上， 则有 解得\begin{cases}k = 10, \\ b = 20, \end{cases} ∴当时，与之间的函数关系式为. （2）∵点在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，∴，∴反比例函数解析式为，当时，， ∴自动停止加热到水温降到室温的时间为. 答： 自动停止加热到水温降到室温的时间为. 考点5 【典例5】解：（1）∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，由，解得， ∴，. （2）∵直线向下平移个单位长度，∴直线的解析式为.当时，，∴点的 坐标为.如图，过点作轴于点， ，，， .点在直线上， ，， 点的坐标是. 点在反比例函数的图象上， ，解得（负值舍去）， . 变式训练 4.解：（1）如图， 垂直轴于点. 把代入得， 把代入得， 点，坐标分别为，，， .，， ，. 在和中， . ，，， 点坐标为.反比例函数图象 经过点，，. （2）把代入得，向上平移个 单位长度能使点落在双曲线上. 真题·明晰命题 命题点1 1.B 2.C 命题点2 3.4 4.3 命题点3 5.解：（1）将点代入，得，. （2）方法一：如图，由图象得； 方法二：将点，，代入， 得，，，. 6.解：（1）把代入得，解 得， 反比例函数的解析式为. 在反比例函数的图象上， . 反比例函数的解析式为，. （2）点在反比例函数的图象上，理由 如下： 如图，连接AC，BD交于H. 把，代入，得 解得 直线的解析式是. 在中，令得，. 四边形是菱形，是中点，也是中点. 由，可得，设， ， 解得 ，在中，令得， 点在反比例函数的图象上. 命题点4 7.解：（1）四边形是矩形，点为的中点，， 点的纵坐标为2. 反比例函数的图象分别与，交于点和点， ， 反比例函数解析式为. 把代入，得，解得，. （2）把代入，得，解得， 把代入得，，解得， 的取值范围是. 8.解：（1）一次函数过点， ， 点的坐标为. 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为. （2）反比例函数过点， ，解得. 一次函数值小于反比例函数值， 一次函数图象在反比例函数图象的下方， 在轴左侧，一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为； 在第四象限内，一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为. 一次函数值小于反比例函数值的的取值范围为或. 素养·熟知考向 1.B 2.4 3. 学科网（北京）股份有限公司 $