26.3二次函数y=ax2+bx+c的图（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（2012）数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数图像核心知识点，从抛物线基本形状出发，依次讲解二次项系数a对开口方向和大小的影响，顶点坐标与对称轴的确定方法，与坐标轴交点的判断依据，平移规律以及增减性和最值，构建从基础到应用的学习支架。 该资料适配基础薄弱学生，含思维导图辅助知识梳理，通过图像与系数符号判断、实际问题解决等多样化习题，培养几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中助力分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

26.3二次函数的图像 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次函数图像的基本形状 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线。 二、二次项系数a对图像开口方向和开口大小的影响 1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 2. 开口大小：|a|的大小决定抛物线开口的宽窄。|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。 三、抛物线的顶点坐标与对称轴 1. 对称轴：抛物线是轴对称图形，其对称轴是直线x = - 。 2. 顶点坐标：抛物线的顶点是图像的最高点或最低点，坐标为(- ， )。 四、抛物线与y轴的交点 抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为(0, c)，即交点的纵坐标是常数项c。 五、抛物线与x轴的交点 1. 交点的存在性：抛物线与x轴是否有交点，取决于一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式Δ=b² - 4ac的值。当Δ>0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点（即顶点在x轴上）；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。 2. 交点坐标：若抛物线与x轴相交，交点的横坐标是方程ax²+bx+c=0的两个实数根x₁、x₂，交点坐标为(x₁, 0)和(x₂, 0)。 六、抛物线的平移规律（由y=ax²平移得到y=ax²+bx+c） 二次函数y=ax²+bx+c可以通过配方化为y=a(x + h)² + k的形式（其中h = ，k = ），其图像可由抛物线y=ax²向左（h>0时）或向右（h<0时）平移|h|个单位，再向上（k>0时）或向下（k<0时）平移|k|个单位得到。 七、二次函数图像的增减性 1. 当a>0时，在对称轴左侧（即x < - ），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（即x > - ），y随x的增大而增大。 2. 当a<0时，在对称轴左侧（即x < - ），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（即x > - ，y随x的增大而减小。 八、二次函数的最值 1. 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，当x = - )时，y的最小值为。 2. 当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，当x = - 时，y的最大值为。 型 习 练 题 y=ax²+bx+c的图像与性质 1．若函数的图象过点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图像在第二、四象限，则二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线（a，b，c是常数），且，有下列结论： ①抛物线必过点； ②若，则抛物线与x轴一定有两个不同的交点； ③若，则抛物线的顶点在第四象限； ④若，则． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，随增大而增大 C．图象顶点横坐标为 D．若，则图象与轴交于负半轴 5．二次函数的顶点式为，则p的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 二次函数图像与各项系数符号 6．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 8．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 二次函数图像综合判断 11．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 12．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 13．如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 14．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B． C． D． 15．在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 求对称轴 16．二次函数的图象对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 17．若方程的两个根是和1，则二次函数的图象的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 18．向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为千米，且时间与高度关系为若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 19．若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 20．二次函数图象上的两点与关于对称轴对称，则（   ） A．； B． C．； D．； 求函数值 21．二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 则当时，对应的函数值为（   ） A．7 B．0 C． D． 22．若，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 23．如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 24．已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 25．二次函数的与的部分对应值如下表： -1 0 1 2 5 则当时，的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 最值问题 26．二次函数的开口方向及最值分别为（    ） A．向下，最大值 B．向上，最小值 C．向下，最大值0 D．向上，最小值0 27．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．时，y随x的增大而增大 D．函数的最大值为4 28．某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（　　）． A．20元 B．45元 C．50元 D．70元 29．已知二次函数的解析式为，则该二次函数的最大值是（   ） A．3 B．－3 C．1 D．0 30．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 求函数解析式 31．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 32．若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（   ） A． B． C． D． 33．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 34．将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 35．已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 与抛物线的交点坐标 36．已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 37．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x 的一元二次方程的两个实数根是（   ） A．， B．， C．， D．， 38．已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 39．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与y轴交于点 D．当时，y随x的增大而减小 40．抛物线与y轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 实际问题与二次函数 41．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 42．有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 (1)能否围成一个面积为的矩形？ (2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 43．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 44．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式． (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？ 45．一次铅球训练中，某运动员的铅球运动路线呈抛物线，铅球落地前运动的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数表达式是，铅球运动路线如图所示． (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到3米． 46．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3二次函数的图像 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、二次函数图像的基本形状 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线。 二、二次项系数a对图像开口方向和开口大小的影响 1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 2. 开口大小：|a|的大小决定抛物线开口的宽窄。|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。 三、抛物线的顶点坐标与对称轴 1. 对称轴：抛物线是轴对称图形，其对称轴是直线x = - 。 2. 顶点坐标：抛物线的顶点是图像的最高点或最低点，坐标为(- ， )。 四、抛物线与y轴的交点 抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点坐标为(0, c)，即交点的纵坐标是常数项c。 五、抛物线与x轴的交点 1. 交点的存在性：抛物线与x轴是否有交点，取决于一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式Δ=b² - 4ac的值。当Δ>0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点（即顶点在x轴上）；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。 2. 交点坐标：若抛物线与x轴相交，交点的横坐标是方程ax²+bx+c=0的两个实数根x₁、x₂，交点坐标为(x₁, 0)和(x₂, 0)。 六、抛物线的平移规律（由y=ax²平移得到y=ax²+bx+c） 二次函数y=ax²+bx+c可以通过配方化为y=a(x + h)² + k的形式（其中h = ，k = ），其图像可由抛物线y=ax²向左（h>0时）或向右（h<0时）平移|h|个单位，再向上（k>0时）或向下（k<0时）平移|k|个单位得到。 七、二次函数图像的增减性 1. 当a>0时，在对称轴左侧（即x < - ），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（即x > - ），y随x的增大而增大。 2. 当a<0时，在对称轴左侧（即x < - ），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（即x > - ，y随x的增大而减小。 八、二次函数的最值 1. 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，当x = - )时，y的最小值为。 2. 当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值，当x = - 时，y的最大值为。 型 习 练 题 y=ax²+bx+c的图像与性质 1．若函数的图象过点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向上，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越小，求出点，，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为， ∴由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越小， ∴点，，到对称轴的距离为、、， ∵， ∴， 故选：D． 2．已知反比例函数的图像在第二、四象限，则二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象与性质以及二次函数图象与性质，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负． 首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案． 【详解】解：反比例函数图象在第二、四象限， ， 二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 故选项C符合题意． 故选：C． 3．抛物线（a，b，c是常数），且，有下列结论： ①抛物线必过点； ②若，则抛物线与x轴一定有两个不同的交点； ③若，则抛物线的顶点在第四象限； ④若，则． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 根据条件，可判断抛物线过点，可判断①；由可推导判别式，可判断②；时顶点坐标取决于a的符号，不一定在第四象限，可判断③；时，，可判断④． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ 抛物线过点，故①正确； ∵， ∴， ∴ 抛物线与x轴有两个不同交点，故②正确； ∵，且， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴此时抛物线的顶点坐标为， ∴当时，顶点在第四象限；当时，顶点在第一象限，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，不一定等于1，故④错误． ∴ 正确结论有2个． 故选：B 4．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，随增大而增大 C．图象顶点横坐标为 D．若，则图象与轴交于负半轴 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质特点逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数化成顶点式为． A、由可知，函数图象开口向下，则此项错误，不符合题意； B、由函数的顶点式和可知，当时，随增大而减小，则此项错误，不符合题意； C、由函数的顶点式可知，图象顶点的横坐标为，则此项正确，符合题意； D、因为二次函数与轴的交点坐标为，所以若，则图象与轴交于正半轴，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 5．二次函数的顶点式为，则p的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数顶点坐标公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．通过二次函数顶点横坐标公式，比较给定顶点式中的横坐标值，直接求出p即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点横坐标为：，顶点式为，即顶点横坐标为2， ∴， 故选：B． 二次函数图像与各项系数符号 6．二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口向上得，根据抛物线的对称轴确定，根据抛物线与y轴交于负半轴得即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， 则， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ， 故选：B． 7．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象性质，根据函数的图象，得出开口方向向上，对称轴在轴的正半轴，二次函数与轴有两个交点，当时，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出开口方向向上，故， 观察函数图象，得出对称轴在轴的正半轴，故， 即， ∵， ∴， ∴， 故①是不符合题意； ∵ ∴ ∴是错误的 故③是不符合题意； 观察函数图象，得出二次函数与轴有两个交点，即， 故②是符合题意； 观察函数图象，得出当时，， 即 ∴ 故④是符合题意； 故选：C 8．如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、韦达定理，熟练掌握二次函数图象是解题的关键． 根据二次函数的图象得到，结合一元二次方程根与系数的关系，进行逐项判断即可． 【详解】解： 根据图象可得，该二次函数图象开口向下，交轴于正半轴， 则、 由于对称轴在轴右侧， 则，即 因此①错误， 当时，，即， 则， 因此②说法错误； 根据题意得，二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是， 则令得，， 此时该一元二次方程的解，， 由韦达定理得，， 则 因此选项③④说法正确； 综上所述，正确的有个， 故选：B． 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查二次函数图象与性质（开口、对称轴、与轴交点、判别式）．关键是掌握系数a、b、c及判别式与图象的对应关系，易错点是判断b的符号时忽略a的影响． 由图象开口向下得；对称轴且，得；与y轴交于负半轴得；与x轴有两个交点得．故错误的是B． 【详解】解：选项A：二次函数图象开口向下，故，正确． 选项B：对称轴，且，可得，故该选项错误． 选项C：图象与y轴交点在负半轴，故，正确． 选项D：图象与x轴有两个交点，故，正确． 故选：B． 10．已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质．将代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a的值． 【详解】解：∵过， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：C． 二次函数图像综合判断 11．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的综合判断，利用交点求不等式的解集． 根据图象可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和，则的解集即为抛物线在直线下方时的取值范围． 【详解】解：可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和， ∴当时，x的取值范围是或， 故选：D． 12．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故C选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故D选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，B选项正确． 故选：B． 13．如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象的性质． 解答此题的关键是分两种情况讨论的取值范围，再结合图象的性质分析找到符合条件的选项即可． 【详解】解：当时，，二次函数的图象开口向上，与轴负半轴相交，反比例函数的图象在一、三象限，所以A、B都不符合题意； 当时，，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，反比例函数的图象在二、四象限，所以C不符合题意， D符合题意． 故选D． 14．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 15．在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解题的关键．根据一次函数图象可得，根据反比例函数可得，据此即可求解． 【详解】一次函数的图象经过第一、二、四象限， ， ∴． 反比例函数的图象位于第二、四象限， ． 抛物线的开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴，故B符合题意． 故选：B． 求对称轴 16．二次函数的图象对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数对称轴，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 二次函数的对称轴可通过其图象与轴交点的中点求得． 【详解】解：∵二次函数，其图象与轴的交点横坐标为和， ∴对称轴为两交点中点的横坐标，即， 故选：C． 17．若方程的两个根是和1，则二次函数的图象的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴与一元二次方程根的关系；二次函数的对称轴可通过其对应方程的两根平均值直接求得. 【详解】解：∵ 方程 的两个根是 和 ， ∴ 二次函数 的图象的对称轴是直线 . 18．向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为千米，且时间与高度关系为若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【答案】C 【分析】本题是对二次函数的对称性以及对称轴的性质的应用，要求在哪一刻高度最高，可转化为求函数何时有最大值；结合题目，根据二次函数的对称性，若两个时刻的高度相等，则最高点对应的时刻为这两个时刻的中点． 【详解】 第秒与第秒的高度相等， 对称轴为 ， 最高高度发生在第秒． 19．若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，根据对称性可求出对称轴为直线，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值为， ∴顶点坐标为， 故选：C． 20．二次函数图象上的两点与关于对称轴对称，则（   ） A．； B． C．； D．； 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数对称轴的公式以及关于对称轴对称的点的坐标特征． 先求出二次函数的对称轴，再根据关于对称轴对称点的横坐标之和与对称轴的关系，以及纵坐标的关系来判断选项． 【详解】解：在二次函数中，，所以对称轴为， 因为点与关于对称轴对称，所以两点到对称轴的距离相等，即，由此得， 又因为关于对称轴对称的点纵坐标相等，所以． 故选：A． 求函数值 21．二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 则当时，对应的函数值为（   ） A．7 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的对称性，利用对称点确定对称轴，再通过对称性求函数值，由表格数据可知，当和时，y值均为7，根据二次函数的对称性，对称轴为直线，关于对称轴的对称点为，而时，因此时． 【详解】解：∵和时，， ∴ 对称轴 ， ∵关于对称轴的对称点为， 又∵时，， ∴时，． 故选：C． 22．若，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴关于直线的对称点， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵，，，， ∴， 故选：D． 23．如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于点， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为， 故选：A． 24．已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的对称性．由题意可得互为相反数，即，由此可以确定所求的函数值． 【详解】解：∵在中，抛物线的对称轴是y轴， 当分别取，时，函数值相等， ∴，互为相反数， ∴， 当时，． 故选：B． 25．二次函数的与的部分对应值如下表： -1 0 1 2 5 则当时，的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，由表格可知：当或时，；推出二次函数的对称轴为直线：，那么与时对应的值相同，从而得出答案． 【详解】解：由表格可知：当或时，， ∴二次函数的对称轴为直线：， ∵时，， ∴当时，的值是5， 故选：C． 最值问题 26．二次函数的开口方向及最值分别为（    ） A．向下，最大值 B．向上，最小值 C．向下，最大值0 D．向上，最小值0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次项系数判断开口方向，通过配方化为顶点式求最值即可． 【详解】解：∵二次函数 中 ， ∴图象开口向上． 配方得， ∴顶点坐标为 ， ∵图象开口向上， ∴函数有最小值，最小值为． 故选B． 27．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．时，y随x的增大而增大 D．函数的最大值为4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式中、、对函数开口方向、对称轴、增减性及最值的影响是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质，从开口方向、对称轴、增减性、最值这几个方面逐一分析选项． 【详解】解：∵ 二次函数中，二次项系数 ∴ 开口向上，故选项A正确，不符合题意； ∵ 二次函数顶点式的对称轴为直线，此函数中 ∴ 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； ∵ ，对称轴为直线 ∴ 当时，随的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； ∵ ，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标，无最大值 ∴ 选项D错误，符合题意． 故选：D． 28．某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（　　）． A．20元 B．45元 C．50元 D．70元 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的最值，首先判断出二次项系数为负，故抛物线开口向下，存在最大值，最大值在顶点处取得，进而求解即可． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向下， ∵函数的顶点横坐标为， ∴代入，得． ∴最大利润为 45 元． 故选：B． 29．已知二次函数的解析式为，则该二次函数的最大值是（   ） A．3 B．－3 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的最值与二次项系数的关系． 根据二次函数的二次项系数判断抛物线的开口方向，再结合函数的常数项确定其最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中， ∴抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标， 代入得， ∴函数最大值为． 故选：B． 30．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断． 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴二次函数有最大值为4， ∴水喷出的最大高度是4米． 故选：A． 求函数解析式 31．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ， 点的横坐标为， 当时，， 点到的距离为， 故选：C． 32．若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵图象经过和， ∴设二次函数为 ， ∵图象经过点， ∴， ∴， 当，则， 当，， 当，， 当，， ∵， 故a的值最大为， 故选：B． 33．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 34．将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”和“上加下减”的原则是解题的关键． 根据抛物线平移规律求出平移后的解析式，再代入原点求解a． 【详解】解：由题意得平移后的抛物线表达式为：。 ∵所得新抛物线经过原点(0,0)， ∴ 代入得， 解得， 故选：D． 35．已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 将代入解析式求解． 【详解】解：将代入得． 故选：A． 与抛物线的交点坐标 36．已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确； ∵， ∴图象的顶点坐标是，故B错误； 令，则，解得，， ∴图象与轴的交点坐标是，，故C正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，故D正确； 故选：B． 37．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x 的一元二次方程的两个实数根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的对称轴，关于x的一元二次方程的两实数根，就是二次函数（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：∵二次函数的解析式是（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：． 又∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为， ∴根据抛物线的对称性可知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， ∴关于x的一元二次方程的两实数根分别是，． 故选：A． 38．已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，掌握顶点式的性质是解题关键． 利用顶点式求出对称轴，然后利用轴对称的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴对称轴为直线， 假设抛物线与x轴的另一个交点是， ∴， 解得， ∴另一个交点为， 故选：B． 39．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与y轴交于点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴、与y轴交点及增减性，熟练掌握相关性质是解题的关键，通过将函数化为顶点形式，分析参数即可判断各选项． 【详解】解：∵二次函数，其中， ∴开口向上，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 当 时，，与 y 轴交于点，故选项C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当 时，y随x的增大而减小，故选项D正确， 故选：D． 40．抛物线与y轴交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，掌握交点坐标的特征是解题关键． 求抛物线与y轴的交点，即令，代入解析式计算y值． 【详解】解：当时， ∴交点坐标为． 故选：B． 实际问题与二次函数 41．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 42．有一条长为12m的绳子，用它围成一个矩形，设矩形的长为，面积为 (1)能否围成一个面积为的矩形？ (2)写出与之间的函数关系式，并直接写出面积的最大值． 【答案】(1)能 (2)，9 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据矩形的周长和面积公式建立函数关系，再利用二次函数的性质求解． （1）根据矩形周长求出宽，结合面积公式列方程，判断方程是否有实数解； （2）根据矩形面积公式建立函数关系式，再通过二次函数的性质求面积最大值． 【详解】（1）解：能，理由如下： 设矩形的长为，则宽为． 根据题意可得： 解得． 当时，宽为；当时，宽为，均符合矩形长和宽的实际意义， 能围成面积为的矩形； （2）解：矩形面积公式，． 矩形的长，宽， ， 即函数关系式为． 当时，面积的最大值为9． 答：与的函数关系式为，面积最大值为9． 43．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式即可； （2）将代入抛物线解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴把，代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，． 答：保温墙的高度是米． 44．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式． (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？ 【答案】(1) (2)当销售价定为70元时会获最大利润 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得月销售量为，然后可列出函数关系式； （2）根据（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 月销售量为， ∴； （2）解：由题意，结合（1） ， 又∵， ∴当时，y最大，最大值为9000． 答：当销售价定为70元时会获最大利润． 45．一次铅球训练中，某运动员的铅球运动路线呈抛物线，铅球落地前运动的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数表达式是，铅球运动路线如图所示． (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到3米． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）解方程即可； （2）由题意得：抛物线的对称轴直线为，求出铅球的最大高度即可判断； 【详解】（1）解：令，解方程得： （舍）， ∴铅球推出的水平距离为； （2）解：由题意得：抛物线的对称轴直线为， 当时，， ∴铅球行进高度能达到3米； 46．某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】，是二次函数． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 根据增长率的问题，基数是a万元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】解：依题意得， 此函数是二次函数． 学科网（北京）股份有限公司 $