26.1二次函数的概念（基础篇）讲义2025-2026学年沪教版（2012）数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的概念这一核心知识点，先明确形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的定义，再通过理解要点（a≠0避免函数类型变化，自变量最高次数为2且二次项存在，表达式为整式）构建概念框架，后续通过识别、列关系式、求参数等练习题形成从概念到应用的学习支架。 资料特色为针对基础薄弱学生设计分层练习，含思维导图辅助知识梳理，能培养数学眼光（从围栏面积、药品降价等现实情境抽象函数关系），通过辨析题发展推理意识（如判断函数是否为二次函数），列关系式题强化模型意识（如正方形花圃面积问题）。课中助力教师精准教学，课后帮助学生借典型例题巩固概念，查漏补缺。

26.1二次函数的概念 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数的定义：一般地，形如（(a)、(b)、(c)是常数，且）的函数叫做二次函数。其中(x)是自变量，(a)、(b)、(c)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数定义的理解要点 · 关于(a)的限制：二次项系数(a)不能为(0)，若，则函数表达式变为，此时为一次函数（当时）或常数函数（当时），不再是二次函数。 · 自变量(x)的最高次数：函数表达式中自变量(x)的最高次数是(2)，且二次项必须存在（即）。 · 表达式的形式：等号右边必须是整式，分母中不含自变量(x)，根号下不含自变量(x)等。 型 习 练 题 二次函数的识别 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 列二次函数的关系式 6．国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为m，该药品的原价是100元，两次降价后的价格是n元，则n与m关系的图象是（   ） A． B． C． D． 7．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 9．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 10．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 根据二次函数的定义求参数 11．当函数是二次函数时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 14．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 15．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1二次函数的概念 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次函数的定义：一般地，形如（(a)、(b)、(c)是常数，且）的函数叫做二次函数。其中(x)是自变量，(a)、(b)、(c)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数定义的理解要点 · 关于(a)的限制：二次项系数(a)不能为(0)，若，则函数表达式变为，此时为一次函数（当时）或常数函数（当时），不再是二次函数。 · 自变量(x)的最高次数：函数表达式中自变量(x)的最高次数是(2)，且二次项必须存在（即）。 · 表达式的形式：等号右边必须是整式，分母中不含自变量(x)，根号下不含自变量(x)等。 型 习 练 题 二次函数的识别 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．，最高次项为一次，不是二次函数； B．，a可能为0，不一定是二次函数； C．，是二次函数； D．，含有分式，不是二次函数； 故选：C． 2．下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 3．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【详解】解：∵， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 4．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：：①为一次函数，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，最高次数为3，不是二次函数； ④，含有分式，不是二次函数； ⑤，可能为0，不一定是二次函数； ∴只有②是二次函数，个数为1， 故选：A． 5．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 列二次函数的关系式 6．国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为m，该药品的原价是100元，两次降价后的价格是n元，则n与m关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据降价规律列出与的函数关系式，再结合函数性质与特殊值分析图象． 先根据降价规律列出二次函数关系式，确定其为开口向上的曲线；再代入特殊值计算得，结合选项验证，选出符合条件的图象． 【详解】解：∵药品原价为100元，平均每次降价的百分率为m， ∴第一次降价后价格：，第二次降价后价格： ∴此函数是二次函数，形式为， ∵， ∴图象是开口向上的曲线，选项B直线，对应一次函数，不符合题意； 在函数中，取特殊值，计算对应n， ， 当时，，与计算结果一致，故选项A符合题意； 当时，，但实际计算得，故选项C不符合题意； 当时，，与计算结果36不符，故选项D不符合题意；． 故选：A． 7．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数的解析式．根据题意，与的平方成正比，可设，再代入已知条件求出比例常数，即可得到函数关系式． 【详解】解；∵ 与成正比， ∴ 设（为常数）， 当时，， ∴ ， 解得，， ∴． 故选：A． 8．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 9．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 10．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 根据二次函数的定义求参数 11．当函数是二次函数时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，二次项系数不能为零． 【详解】解：∵ 函数 是二次函数， ∴ 二次项系数 ， ∴ ． 故选：B． 12．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：B． 13．把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 14．已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 15．关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，进行求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，得：． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $